高中数学 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质教材梳理素材 新人教A版必修2.doc

2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质疱丁巧解牛知识巧学一、直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线平行. 符号语言：a,b ab. 直线与平面垂直的性质可以作为线线平行的判定定理.同时有如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线上各点到平面的距离相等.二、面面垂直的性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言：,=l,a,ala. 只要有两个平面垂直，那么向交线作垂线便得线面垂直，进一步更有线与线的垂直.平面与平面垂直的判定与性质相互结合，为证明线线垂直、线面垂直提供了更多的技巧. 简言之:面面垂直,则线面垂直.三、线线、线面、面面垂直关系的转化： 运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直. 平面与平面的垂直,一般将直线与直线垂直、直线与平面垂直三者结合在一起.问题探究问题1 在一个工件上同时钻很多孔时，常用多头钻，多头钻杆都是互相平行的.在工作时，只要调整工件表面和一个钻杆垂直，工件表面就和其他钻杆都垂直，为什么？探究:根据两平行线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于此平面，可推出若干平行杆都和工件表面垂直.问题2 应用两平面垂直的性质证题时，有哪些需要注意的地方？探究:需要注意的地方有三个：(1)两个垂直的平面；(2)两垂直平面的交线；(3)在其中一个平面内作垂直于交线的直线.典题热题例1 如图2-3-12，在abc中，bac=60，线段ad平面abc，ah平面dbc，h为垂足.图2-3-12求证：h不可能是bcd的垂心.思路解析：证明“不可能”无法下手，从反面“可能”考虑，用反证法. 证明：假设h是bcd的垂心，则bhcd.ah平面dbc，dc平面dbc，ahdc.ahbh=h，cd平面abh. 又ab平面abh，abcd.ad平面abc，ab平面abc，adab. 由于adcd=d，ab平面acd.ac平面acd，abac. 这与已知中bac=60相矛盾.假设不成立.故h不可能是bcd的垂心.误区警示 证明“不可能”“至多”“至少”“没有”“不等”等类型的问题，直接证明不好入手，通常采用反证法.要掌握反证法证题的基本步骤.例2 如图2-3-13，在四面体abcd中，若abcd，adbc，求证:acbd.图2-3-13思路解析：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义(或性质)得出线线垂直. 证明：过a作ao平面bcd，垂足为o， 则aocd.abcd，aoab=a，cd平面abo.bo平面abo，cdbo. 同理,bcdo. 则o为bcd的垂心，cobd.aobd，coao=o，bd平面aco. 又ac平面aco，acbd.深化升华 从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)题中的作用.例3 如图2-3-14,空间四边形pabc中，pa、pb、pc两两相互垂直，pba=45，pbc=60，m为ab的中点.(1)求bc与平面pab所成的角；(2)求证：ab平面pmc.图2-3-14思路解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路. 证明：papb，apb=90. 在rtapb中，abp=45，设pa=a， 则pb=a，ab=.pbpc，在rtpbc中，pbc=60，pb=a,bc=2a，pc=.appc,在rtapc中，ac=2a.(1)pcpa，pcpb，pc平面pab.bc在平面pab上的射影是bp,cbp是cb与平面pab所成的角.pbc=60，bc与平面pba所成的角为60.(2)由上知，pa=pb=a，ac=bc=2a,m为ab的中点，则abpm，abcm.ab平面pcm.深化升华 本题关键要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.例4 如图2-3-15，已知平面pab平面abc，平面pac平面abc，ae平面pbc，e为垂足.(1)求证：pa平面abc；(2)当e为pbc的垂心时，求证：abc是直角三角形.图2-3-15思路解析：已知条件“平面pab平面abc，”，使我们想到面面垂直的性质定理，便有如下解法. 证明：(1)在平面abc内取一点d，作dfac于f. 平面pac平面abc，且交线为ac，df平面pac.pa平面pac，dfap. 作dgab于g.同理，可证dgap.dg、df都在平面abc内，pa平面abc.(2)连结be并延长交pc于h.e是pbc的垂心，pcbe. 又已知ae是平面pbc的垂线，pcab.pc面abe.pcab. 又pa平面abc，paab.ab平面pac.abac， 即abc是直角三角形.方法归纳 (1)已知两个平面垂直时，通常利用面面垂直的性质定理，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则此直线垂直于另一个平面.于是面面垂直转化为线面垂直.由此得到结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.(2)的关键是要灵活利用(1)题的结论.例5 已知平面平面=直线a，、同垂直于平面，又同平行于直线b，如图2-3-16，求证：(1)a；(2)b.思路解析：由求证想判定，欲证线面垂直可转证线线垂直或面面垂直.由已知想性质，面面垂直必能得到线面垂直. 证明：(1)设=ab，=ac，在内作直线pmab，pnac.图2-3-16，pm. 而a，pma. 同理，pna.又pm,pn,a.(2)在直线a上任取一点q，过b与q作一个平面交于直线a1，交于直线a2.b,ba1. 同理,ba2.又a1、a2都过点q且平行于b,a1与a2重合.又a1,a2,a1与a2重合且是、的交线，重合于a.ba1，ba.a，b.深化升华 证明线面垂直不仅可利用线面垂直的判定定理，也可利用面面垂直的性质定理.例6 等边abc的边长为a，沿平行于bc的线段pq折起，使平面apq平面pbcq，设点a到直线pq的距离为x，ab的距离为d.(1)x为何值时，d2取得最小值?最小值是多少？(2)若bac=，求cos的最小值.思路解析：要注意作出正确的图形，构造恰当的函数模型.解：(1)图2-3-17(1)为折叠前的对照图，图2-3-17(2)为折叠后的空间图形. (1) (2)图2-3-17平面apq平面pbcq，arpq，ar平面pbcq.arrb.br2=bd2+rd2=()2+()2,ar2=x2. 故d2=br2+ar2=().当x=时.d2取得最小值.(2)ab=ac=d,bc=a，在等腰abc中，由余弦定理得cos=, 即cos=.当d2=时，cos取得最小值.方法归纳 (1)一般地,求最值问题首先要得到目标函数(求谁的最值，即推谁为目标函数，如本题中的d2和cos)，然后再借助于函数求最值的方法(如配方法、平均值法、判别式法、三角法、反函数法及构