应用随机过程第三章习题解.pdf

第三章习题解 3 1乘客按照更新流 S1 S2 到达长途汽车站 假设每次到达一人 只要凑够 45 人就发一辆车 将乘客全部运走 计算每个乘客的平均候车时 间 解解解 记平均更新间隔为 根据题意可得总的候车时间为 45 j 1 S45 Sj 那么每个乘客的候车时间就是 E 45 j 1 S45 Sj 45 22 其中 E Sj j j 1 2 45 3 2设更新过程 N t 的更新间隔有离散分布 P Xn 1 P Xn 2 0 5 对于 k 1 2 3 计算 pj P N k j 解解解 因为 pj P N k j P Sj k Sj 1 又已知 P Xn 1 P Xn 2 0 5 所以 1 k 1 p0 P S0 1 1 0 5 p1 P S1 1 S2 P X1 1 0 5 2 k 2 p1 P S1 2 2 P X1 1 X2 2 P X1 2 X2 1 P X1 2 X2 2 0 75 p2 P S2 2 S3 P X1 X2 2 P X1 1 X2 1 0 25 1 第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程 3 k 3 p1 P S1 3 3 P X1 2 X2 2 0 25 p2 P S2 3 3 0 625 p3 P S3 3 0 是否能找到 来自总体 T 的随机变量 Ti 使得将 N t 的第 i 个更新间隔扩大 Ti后 得到强度为 的泊松过程 解解解 可以找到 因为只要找到 Ti 使得 TiXi 服从 即可 设 Ti的密度函数为 g t g t f x tx x dx 3 第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程 其中 f t tx 是 Xi与 TiXi的联合密度函数 当 Xi与 TiXi独立时 有 g t exp tx f x x dx 所以这样的 Ti是存在的 3 6如果 p P X 0 则称 X 是广义的随机变量 设 X 是广 义随机变量 当更新过程 N t 的更新间隔 Xn是来自总体 X 的随机变 量时 用 lim t N t 表示 0 中的更新次数 计算 的概率分布和数学期望 解解解 因为 p P X 0 所以 P X 1 p k 0 中更新次数为 k P k P Sk Sk 1 P X1 Xk Xk 1 P X1 P Xk P Xk 1 1 p kp E k 0 kP k p k 0 k 1 1 p k p k 0 1 p k p k 0 1 p k 1 p k 0 1 p k p k 0 1 p k 1 p p 1 1 p 1 p 1 p 1 1 p 1 3 7对于泊松过程验证定理 1 2 2 成立 证证证明明明 对于泊松过程 N t 有 m t E N t t 而 t 是连续的且 在 t 0 时是严格增加的 当然是单调不减的 也即定理 1 2 2 对于泊松过 程是成立的 3 8设更新过程N t 的更新间隔是来自总体 X 的随机变量 a 当 X 服从 B 5 p 时 计算 Pr N t k b 当 X 服从 P 时 计算 Pr N t k 4 第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程 证证证明明明 Pr N t k Pr Sk t t 0 j t Pr k i 1 Xi j Xk 1 t j a 当 X 服从 B 5 p 时 0 j t P k i 1 Xi j Xk 1 t j 0 j t 5k j pjq5k jP X1 t j b 当 X 服从 P 时 0 j t P k i 1 Xi j Xk 1 t j 0 j t k jexp k P X1 t j j 3 9设更新过程 N t 的更新间隔是 Xn i1 i2 in是 1 2 n 的一 个全排列 对于 n 2 证明 a 在条件 N t n 下 X1 X2 Xn 和 Xi1 Xi2 Xin 同分布 b E X1 X2 XN t N t n nE X1 N t n c E X1 X2 XN t N t N t 0 E X1 X1 0 X1 0 E E X1 X2 XN t N t N t n X1 t E X1 X2 Xn n X1 t 1 n n i 1 E Xi X1 t 又因为 X1 X2 Xn 则 n i 1 E Xi X1 t nE X1 X1 0 E X1 X1 0 95 可解得 n 3 3 12已知甲虫横穿公路需要 3 分钟 汽车流构成更新流 平均 5 分钟 一辆通过该公路 忽略汽车的长度 a 更新间隔服从指数分布时 计算甲虫被撞的概率 b 更新间隔服从均匀分布时 计算甲虫被撞的概率 c 更新间隔是常数时 计算甲虫被撞的概率 解解解 汽车每次通过为一次更新 假设更新的时间间隔为 Xi EXi 5 因 为甲虫横穿公路需要 3 分钟 所以 t 时甲虫被撞相当于汽车通过的剩余时 间 R t 3 a 因为 Xi服从 Exp 而 EXi 5 故 1 5 P R t 3 1 e 5 1 e 5 3 0 4512 b 因为 Xi服从 U 0 10 F x x 10 P R t 3 1 5 3 0 1 x 10 dx 0 51 c 因为 Xi c c 为常数 故 P R t 3 3 5 0 6 3 13更新过程的更新间隔服从 k 分布 密度函数是 f t ktk 1 k 1 e t 7 第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程 对于充分大的 t 估算剩余寿命的密度 解 根据定理 5 1 易知 limt P R t y 1 y 0 F s ds 其中 EX1 F s P X1 s 对上式两边同时对 y 求导可得密度函数为 1 F y 所以 limt fR t y k y ktk 1 k 1 e tdt k y e ssk 1ds 令 s t 3 14假设所用的手机失手落地 N 次后就更换新手机 设手机落地的事 件按强度为 的泊松流发生 a 当 N 9 时 计算手机更新间隔的分布和数学期望 并对手机的剩余 寿命证明 limt ER t 5 b 当 N 服从参数为 p 的几何分布时 计算手机更新间隔的分布和数学 期望 给出剩余寿命 R t 的分布 解 a 因为手机落地事件按强度为 的泊松流发生 所以两次落地事 件发生的时间间隔 X 服从参数为 的指数分布 于是可知手机更新间 隔 Y 9 i 1Xi 其中 Xi iid 由指数分布的可加性可知 Y 9 且易知 EY 9 由定理 5 1 可知 limt ER t EY 2 2EY 9 2 81 2 2 9 9 b 由题意可知 Y N i 1Xi 其中 P N k q k 1p k 1 2 所以 Y 的分布函数为 P Y y k 1 P Y t N k P N k k 1 P k i 1 Xi t qk 1p k 1 y 0 ktk 1 k 1 e tqk 1pdt 8 第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程 又因为 k 1 ktk 1 k 1 q k 1 k 1 tq k 1 k 1 e tq 故 P Y y y 0 tq e tpdt y 0 pe ptdt 综上所述 更新间隔 Y 是服从参数为 p 的指数分布 EY 1 p 再根据泊 松过程的性质可知 剩余寿命 R t 也是服从参数为 p 的指数分布 3 15对于更新过程的年龄 A t 和剩余寿命 R t 计算 P R t x A t s P R t 2x A t x s 解解解 P R t x A t s N t n P Sn 1 t x t Sn s Sn 1 t P Sn 1 t x t Sn s Sn 1 t P t Sn s Sn 1 s Sn 1 t P Xn 1 x s P Xn 1 s F t s F s 3 16在有偿更新过程中 当 N t 的更新间隔不是格点随机变量 且 数学期望有限时 以下结论是否成立 lim t E 在 t t s 中的收益 sE 一个更新间隔中的收益 更新间隔的平均长度 解解解 题中结论可以表示为 lim t E M t s M t s EY EX 9 第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程 其中 EY EX 为每个更新间隔的平均费用 该结论在 EY 存在时均成立 下 面证明 因因因为更新过程 N t 由更新间隔 Xj决定 与 Yi独立 所以利用瓦尔德 定理 定理 2 1 得到 EM t E N t j 1 Yj EN t E 两边除以 t 后 由定理 2 2 得到结论 lim t EM t t lim t EN t t EY EY EX 从而可以得到 lim t E M t s M t lim t EN t s EY ENEY lim t m t s m t EY s EX EY sEX EY 其中 m t EN t 是更新函数 最后一步用到定理 2 3 1 3 17对于更新过程的年龄 A t 和剩余寿命 R t 和 XN t 1 A t R t 计算 a lim t t 0 A s ds t b lim t t 0 R s ds t c lim t t 0 XN t 1ds t 解解解 a 设在 t 处收益 A t 则更新间隔 Xi内收益为 i Xi 0 tdt 0 5X2 i 10 第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程 单位时间内平均收益为 lim t t 0 A s ds t EY EX EX2 2 b 用 a 的方法 同理可得 lim t t 0 R s ds t EX2 2 c lim t t 0 XN t 1ds t lim t t 0 A s ds t lim t t 0 R s ds t EX2 2 EX2 2 EX2 3 18自行车的使用寿命由分布函数 F t 当自行车摔坏或者使用了三 年就换新车 假设一辆旧车可以卖 80 元 摔坏的车只能卖 10 元 购买一 辆新车用 元 计算自行车每年的平均费用 解解解 一辆自行车实际使用时间为 xn min 3 tn 在 tn时刻的费用为 Yn 80 tn 3 10 tn 3 其中 与 t 独立 所以 Yn 80 I tn 3 10 I tn x dx 0 P 3 x t x dx 3 0 P t x dx 3 0 F x dx 因为 M t j 1 N t Yj 所以 EM t t EY1 EX1 70F 3 E 80 3 0 F x dx 3 19乘客按照平均更新间隔为 分钟的更新流到达渡口 每次到达一 位乘客 当有 N 个人候船时就开出一艘船 假设每开出一船渡口有收益 m 元 有 n 个人在渡口候船时 每分钟还有收益 nc 元 计算该渡口每分钟的 平均收益 解解解 定义一艘船离开渡口为一次循环 得到一个有酬更新过程 一个有 酬更新过程的时间为等待 N 个乘客到达的时间 N 所以 E 一次循环的收益 E cX1 2cX2 N 1 cXN 1 m N N 1 2 c m 因此每分钟平均收益为 N N 1 2 c m N 3 20出租车加满油后可以运营 X 小时 然后再加满油 再运营 如果 每次加油的费用是 Y 元 计算每小时的平均油费 解解解 设加一次油完成一次更新 且 t 时刻内加油次数为 N t 即 E N t i 1 Yi t 12 第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程 为所求 由瓦尔德定理知 E N t i 1 Yi t EN t EY t m t EY t 其中 m t 为更新函数 由基本更新定理有 lim t m t t 1 EX 所以当 t 充分大时 E N t i 1 Yi t EY EX 3 21乘客按照每分钟 个人的泊松流到达渡口 每次到达一位乘客 有 n 个人在渡口侯船时 每分钟渡口有收益 nc 元 现在渡口每 T 分钟发 一艘船 计算该渡口在单位时间内的平均收益 解 设乘客到达渡口的泊松流为 Sj j 1 2 对应泊松过程 N t 则发船时渡口在 T 时间段内的获利为 Y c N T i 1 SN T Si 则由 E Sj N T n jT n 1 知 渡口每分钟的平均收益为 EY T 1 T E E Y N T n cE n n 1 2 n 1 此处 n Piosson T 3 22产品在生产线上依次经过 12 道工序 第 i 道工序的加工时间是 来自总体 Ti的随机变量 每道工序需要加工的时间是相互独立的 对于充 分大的 t 计算 t 时一件产品正处于第 i 道工序的概率 解 这是一个拥有 12 个工作状态的系统 每一道工序就是一个状态 总体是 X T1 T2 T12 更新间隔是 Xi Xi Ti1 Ti2 Ti12 i 1 2 对应的更新过程 N t 即 N t 为拥有 12 个工作状态的更新过程 lim t P 处于第 i 道工序 ETi ET1 ET2 ET12 3 23试验结果 A 出现的概率是 0 5 在独立重复试验中 计算 a 等待结果 AA AA 出现的平均试验次数 b 计算 A A 和 AA AA 中 谁出现的频率更高 解 记 Yi表示每次试验的结果 可知 Yi 为 i i d 且 P Yi A 0 5 P Xi A 0 5 13 第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程第第第三三三章章章 更更更新新新过过过程程程 设 N n 表示前 n 次试验中的更新次数 设 t 表示 t 的整数部分 则 N n N t t 0 是一个延迟更新过程 设更新在 t n 处发生的充 要条件为 P Yn 3 Yn 2 Yn 1 Yn P A A A A P n 处有更新 P Yn 3 Yn 2 Yn 1 Yn P A A A A 0 55 n 4 P n 处无更新 1 0 54 n 4 更新间隔 X1 X2为周期为 1 的格点随机变量 由定理 7 2 6 可知 P n 处有更新 P ND n 1 n 1 E ND n ND n 1 mD n mD n 1 1 EX2 a 平均等待时间 EX2 0 5 4 b 事件 A A 出现的概率为 lim t