黑龙江省哈尔滨市2017年高考数学四模试卷 理（含解析）.doc

2017年黑龙江省哈尔滨市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知集合a=x|x22x30，xz，集合b=x|x0，则集合（za）b的子集个数为（）a3b4c7d82已知复数z=，则z=（）a ibcd i3若实数x，y满足不等式组，则x2y的最大值为（）a1b2c0d44设函数f（x）=，则f（27）+f（log43）的值为（）a6b9c10d125等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，设sn是数列an的前n项和，则s10的值为（）a110b90c55d456已知双曲线c：=1（a0，b0）的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为，双曲线的方程为（）abcd7若函数则函数f（x）的图象关于（）a原点轴对称bx轴对称cy轴对称dy=x对8执行如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的s值为（）abcd9已知函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期为4，且对xr，有f（x）f（）成立，则关于函数f（x）的下列说法中正确的是（）=函数f（x）在区间，上递减；把g（x）=sin的图象向左平移得到f（x）的图象；函数f（x+）是偶函数abcd10已知甲，乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待已知甲、乙两车装货物需要的时间都为30分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（）abcd11已知菱形abcd中，dab=60，ab=3，对角线ac与bd的交点为o，把菱形abcd沿对角线bd折起，使得aoc=90，则折得的几何体的外接球的表面积为（）a15bcd712已知函数f（x）在定义域r内是增函数，且f（x）0，则g（x）=x2f（x）的单调情况一定是（）a在（，0）上递增b在（，0）上递减c在r上递减d在r上递增二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在机读卡上相应的位置13的展开式中，常数项为20，则实数a的值为 14设满足且（+），则（）的值为 15已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 16已知以f为焦点的抛物线c：y2=2px（p0）上的两点a，b满足=3，若弦ab的中点到准线的距离为，则抛物线的方程为 三、解答题：本大题共5小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17在abc中，设边a，b，c所对的角分别为a，b，c，且ac已知abc的面积为，b=3（）求a，c的值；（）求sin（bc）的值18某厂每日生产一种大型产品2件，每件产品的投入成本为1000元产品质量为一等品的概率为0.5，二等品的概率为0.4，每件一等品的出厂价为5000元，每件二等品的出厂价为4000元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产1件产品还会带来1000元的损失（）求在连续生产的3天中，恰有两天生产的2件产品都为一等品的概率；（）已知该厂某日生产的这种大型产品2件中有1件为一等品，求另1件也为一等品的概率；（）求该厂每日生产这种产品所获利润（元）的分布列和期望19如图所示，三棱柱abca1b1c1的底面是边长为2正三角形，d是a1c1的中点，且aa1平面abc，aa1=3（）求证：a1b平面b1dc；（）求二面角db1cc1的余弦值20椭圆c：过点p（，1）且离心率为，f为椭圆的右焦点，过f的直线交椭圆c于m，n两点，定点a（4，0）（）求椭圆c的方程；（）若amn面积为3，求直线mn的方程21已知函数f（x）=（x+a）lnx在x=1处的切线方程为y=x1（）求a的值及f（x）的单调区间；（）记函数y=f（x）的图象为曲线c，设点a（x1，y1），b（x2，y2）是曲线c上不同的两点，如果在曲线c上存在点m（x0，y0），使得x0=；曲线c在点m处的切线平行于直线ab，则称函数f（x）存在“中值相依切线”试证明：函数f（x）不存在“中值相依切线”请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线（t为参数），以原点为极点，以x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线（）写出曲线c1的普通方程，曲线c2的直角坐标方程；（）若m（1，0），且曲线c1与曲线c2交于两个不同的点a，b，求的值选修4-5：不等式选讲23设f（x）=|3x2|+|x2|（）解不等式f（x）8；（）对任意的非零实数x，有f（x）（m2m+2）|x|恒成立，求实数m的取值范围2017年黑龙江省哈尔滨六中高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知集合a=x|x22x30，xz，集合b=x|x0，则集合（za）b的子集个数为（）a3b4c7d8【考点】1e：交集及其运算【分析】运用二次不等式的解法和补集的定义，化简集合za，再由交集的定义和集合子集的个数（n个元素的集合的子集为2n），即可得到所求【解答】解：集合a=x|x22x30，xz，za=x|x22x30，xz=x|1x3，xz=1，0，1，2，3，集合b=x|x0，则集合（za）b=1，2，3，可得集合（za）b的子集个数为23=8，故选：d2已知复数z=，则z=（）a ibcd i【考点】a7：复数代数形式的混合运算【分析】计算=，可得=即可得出【解答】解： =， =z=故选：c3若实数x，y满足不等式组，则x2y的最大值为（）a1b2c0d4【考点】7c：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【解答】解：由z=x2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点a时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，得，即a（4，0）代入目标函数z=x2y，得z=4，目标函数z=x2y的最大值是4故选：d4设函数f（x）=，则f（27）+f（log43）的值为（）a6b9c10d12【考点】3t：函数的值【分析】根据分段函数的表达式分别代入进行求解即可【解答】解：f（27）=log927=，f（log43）=+=3+，则f（27）+f（log43）=+3+=6，故选：a5等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，设sn是数列an的前n项和，则s10的值为（）a110b90c55d45【考点】85：等差数列的前n项和【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程，求出首项，由此能求出s10【解答】解：等差数列an的公差为2，a2，a4，a8成等比数列，（a1+32）2=（a1+2）（a1+72），解得a1=2，设sn是数列an的前n项和，则s10=10a1+=102+=110故选：a6已知双曲线c：=1（a0，b0）的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为，双曲线的方程为（）abcd【考点】kc：双曲线的简单性质【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式可得e=2，即c=2a，又由双曲线的性质可得b=，结合c2=a2+b2，计算可得a2的值，将a2、b2的值代入双曲线方程即可得答案【解答】解：根据题意，双曲线c：=1（a0，b0）的离心率为2，则e=2，即c=2a，又由右焦点到一条渐近线的距离为，则有b=，又由c2=a2+b2，即4a2=a2+3，则有a2=1，则双曲线的方程为：x2=1；故选：b7若函数则函数f（x）的图象关于（）a原点轴对称bx轴对称cy轴对称dy=x对【考点】3o：函数的图象【分析】判断f（x）的奇偶性，即可得出结论【解答】解：f（x）的定义域为r，f（x）=x（1）=xf（x）=x=x=f（x），f（x）是偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，故选：c8执行如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的s值为（）abcd【考点】ef：程序框图【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得n=5，s=1，i=1执行循环体，s=6，i=2不满足条件i5，执行循环体，s=，i=3不满足条件i5，执行循环体，s=4，i=4不满足条件i5，执行循环体，s=，i=5不满足条件i5，执行循环体，s=，i=6满足条件i5，退出循环，输出s的值为故选：c9已知函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期为4，且对xr，有f（x）f（）成立，则关于函数f（x）的下列说法中正确的是（）=函数f（x）在区间，上递减；把g（x）=sin的图象向左平移得到f（x）的图象；函数f（x+）是偶函数abcd【考点】2k：命题的真假判断与应用【分析】根据题意，求出函数f（x）的解析式，再判断题目中的命题是否正确即可【解答】解：函数f（x）=sin（x+）（0）的最小正周期为4，t=4，=；又对xr，有f（x）f（）成立，x=时，函数f（x）取得最大值，+=+2k，kz，解得=+2k，kz，又|，=，正确；f（x）=sin（x+），当x，时， x，x+，函数f（x）不是单调递减函数，错误；把g（x）=sin的图象向左平移，得y=sin（x+）=sin（x+）的图象，即为f（x）的图象，正确；函数f（x+）=sin（x+）+=sin（x+），它不是偶函数，错误综上，正确的命题是故选：a10已知甲，乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待已知甲、乙两车装货物需要的时间都为30分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（）abcd【考点】cf：几何概型【分析】设现在时间是0，甲乙到场的时间分别是x y，那么就会有0x60，0y60，|xy|如果小于20，就是等待事件，否则不用等待了由此能求出至少有一辆车需要等待装货物的概率【解答】解：设现在时间是0，甲乙到场的时间分别是x y那么就会有：0x60，0y60，|xy|30，就是等待事件，否则不用等待了画出来坐标轴如下图两条斜直线间的面积是等待，外面的两个三角形面积是不等待，至少有一辆车需要等待装货物的概率p=；故选：d11已知菱形abcd中，dab=60，ab=3，对角线ac与bd的交点为o，把菱形abcd沿对角线bd折起，使得aoc=90，则折得的几何体的外接球的表面积为（）a15bcd7【考点】lg：球的体积和表面积【分析】利用几何体求出外接球的半径，然后求解几何体的表面积即可【解答】解：菱形abcd中，dab=60，ab=3，三角形abd的外接圆的半径为： =，内切圆的半径为：，对角线ac与bd的交点为o，把菱形abcd沿对角线bd折起，使得aoc=90，则折得的几何体的外接球的半径为： =外接球的表面积为：4=15故选：a12已知函数f（x）在定义域r内是增函数，且f（x）0，则g（x）=x2f（x）的单调情况一定是（）a在（，0）上递增b在（，0）上递减c在r上递减d在r上递增【考点】3e：函数单调性的判断与证明【分析】根据函数f（x）在定义域r内是增函数则f（x）0在定义域r上恒成立，然后求出导函数g（x），讨论x，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间【解答】解：函数f（x）在定义域r内是增函数f（x）0在定义域r上恒成立g（x）=x2f（x）g（x）=2xf（x）+x2f（x）当x0时，而f（x）0，则2xf（x）0，x2f（x）0所以g（x）0即g（x）=x2f（x）在（，0）上递增当x0时，2xf（x）0，x2f（x）0，则g（x）的符号不确定，从而单调性不确定故选a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在机读卡上相应的位置13的展开式中，常数项为20，则实数a的值为1【考点】db：二项式系数的性质【分析】利用通项公式即可得出【解答】解：的通项公式为：tr+1=arx62r令62r=0，或62r=1，解得r=3，r=（舍去）a3=20，解得a=1故答案为：114设满足且（+），则（）的值为5【考点】9r：平面向量数量积的运算【分析】根据向量的数量积和向量模的计算即可【解答】解：，|=2（+），（+）=+=0，即=4，（）=41=5，故答案为：515已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【考点】l!：由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，代入体积计算公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，底面面积s=48=32，高h=4，故体积v=，故答案为：16已知以f为焦点的抛物线c：y2=2px（p0）上的两点a，b满足=3，若弦ab的中点到准线的距离为，则抛物线的方程为y2=8x【考点】k8：抛物线的简单性质【分析】设直线l的方程代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k的值，根据中点坐标公式求得m的横坐标，则m到准线的距离d=x+=，即可求得d的值，求得抛物线方程【解答】解：抛物线c：y2=2px的焦点f（，0），由题意可知直线ab的斜率显然存在，且不为0，设直线ab的方程y=k（x），设a（x1，y1），b（x2，y2），ab的中点m（x，y），=（x1，y1），=（x2，y2），由=3，则x1=3（x2），则3x2+x1=2p，整理得：k2x2（k2+2）px+=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，由解得：x1=，x2=，代入，解得：k2=3，则x=，m到准线的距离d=x+=，=，解得：p=4，抛物线的方程为y2=8x故答案为：y2=8x三、解答题：本大题共5小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17在abc中，设边a，b，c所对的角分别为a，b，c，且ac已知abc的面积为，b=3（）求a，c的值；（）求sin（bc）的值【考点】ht：三角形中的几何计算【分析】（1）由，得sinacosbcosasinb+sin（a+b）=，即sinb=由余弦定理得：，又sabc=，ac=6，由解得a，c（）由余弦定理得cosc=，则sinc=即可得sin（bc）=sinbcosccosbsinc的值【解答】解：（）由，得sinacosbcosasinb+sin（a+b）=即2sinacosb=，sina0，sinb=由余弦定理得：又sabc=，ac=6由解得ac，a=3，c=2（）由余弦定理得cosc=，则sinc=sin（bc）=sinbcosccosbsinc=18某厂每日生产一种大型产品2件，每件产品的投入成本为1000元产品质量为一等品的概率为0.5，二等品的概率为0.4，每件一等品的出厂价为5000元，每件二等品的出厂价为4000元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产1件产品还会带来1000元的损失（）求在连续生产的3天中，恰有两天生产的2件产品都为一等品的概率；（）已知该厂某日生产的这种大型产品2件中有1件为一等品，求另1件也为一等品的概率；（）求该厂每日生产这种产品所获利润（元）的分布列和期望【考点】ch：离散型随机变量的期望与方差；cg：离散型随机变量及其分布列【分析】（i）利用相互独立事件的概率公式计算；（ii）使用条件概率公式计算；（iii）列出所有可能的取值及对应的概率，再计算数学期望【解答】解：（i）设一天生产的2件产品都为一等品为事件a，则p（a）=0.52=0.25，在连续生产的3天中，恰有两天生产的2件产品都为一等品的概率p=0.250.250.75= （ii）设一天中生产的2件产品中，有一件是一等品为事件b，另一件是一等品为事件c，则p（bc）=p（a）=0.25，p（b）=0.50.5+0.50.42+0.50.12=0.75，该厂某日生产的这种大型产品2件中有1件为一等品，另1件也为一等品的概率为p（c|b）=（iii）的可能取值为8000，7000，6000，2000，1000，4000，的分布列为：800070006000200010004000pe（）=8000+7000+6000+2000+1000+（4000）=600019如图所示，三棱柱abca1b1c1的底面是边长为2正三角形，d是a1c1的中点，且aa1平面abc，aa1=3（）求证：a1b平面b1dc；（）求二面角db1cc1的余弦值【考点】mt：二面角的平面角及求法；ls：直线与平面平行的判定【分析】（1）连结bc1，b1c，交于点o，连结od，则oda1b，由此能证明a1b平面b1dc（2）以d为原点，dc1为x轴，db1为y轴，过d作平面a1b1c1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角db1cc1的余弦值【解答】证明：（1）连结bc1，b1c，交于点o，连结od，三棱柱abca1b1c1的底面是边长为2正三角形，d是a1c1的中点，oda1b，a1b平面b1dc，od平面b1dc，a1b平面b1dc（2）三棱柱abca1b1c1的底面是边长为2正三角形，d是a1c1的中点，且aa1平面abc，aa1=3以d为原点，dc1为x轴，db1为y轴，过d作平面a1b1c1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则d（0，0，0），b1（0，0），c（1，0，3），c1（1，0，0），=（1，3），=（1，0，3），=（0，0，3），设平面b1dc的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（3，0，1），设平面b1cc1的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（），设二面角db1cc1的平面角为，则cos=二面角db1cc1的余弦值为20椭圆c：过点p（，1）且离心率为，f为椭圆的右焦点，过f的直线交椭圆c于m，n两点，定点a（4，0）（）求椭圆c的方程；（）若amn面积为3，求直线mn的方程【考点】kl：直线与椭圆的位置关系【分析】（1）由题意可得： =1， =，又a2=b2+c2，联立解得：a2，b2，c可得椭圆c的方程（2）f（2，0）若mnx轴，把x=2代入椭圆方程可得： +=1，解得y则samn3，舍去若mn与x轴重合时不符合题意，舍去因此可设直线mn的方程为：my=x2把x=my+2代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+4my2=0可得|y1y2|=利用samn=3即可得出【解答】解：（1）由题意可得： =1， =，又a2=b2+c2，联立解得：a2=6，b2=2，c=2椭圆c的方程为：（2）f（2，0）若mnx轴，把x=2代入椭圆方程可得： +=1，解得y=则samn=23，舍去若mn与x轴重合时不符合题意，舍去因此可设直线mn的方程为：my=x2把x=my+2代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+4my2=0y1+y2=，y1y2=，|y1y2|=则samn=3=3，解得m=1直线mn的方程为：y=（x2）21已知函数f（x）=（x+a）lnx在x=1处的切线方程为y=x1（）求a的值及f（x）的单调区间；（）记函数y=f（x）的图象为曲线c，设点a（x1，y1），b（x2，y2）是曲线c上不同的两点，如果在曲线c上存在点m（x0，y0），使得x0=；曲线c在点m处的切线平行于直线ab，则称函数f（x）存在“中值相依切线”试证明：函数f（x）不存在“中值相依切线”【考点】6h：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出函数f（x）的导函数，得到函数在x=1处的切线方程，结合已知切线方程求得a值，进一步求得函数的单调区间；（）假设函数f（x）存在“中值相依切线”设a（x1，y1），b（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0x1x2，则y1=x1lnx1，y2=x2lnx2求出kab及f（）由题意列等式可得1+ln=，整理得：，令（t1）换元，则令g（t）=（t1），利用导数求得g（t）的最小值小于1ln2，说明计算错误，函数f（x）不存在“中值相依切线”【解答】解：（）由f（x）=（x+a）lnx，得f（x）=lnx+f（1）=1+a，又f（1）=0，函数f（x）=（x+a）lnx在x=1处的切线方程为y=（1+a）（x1）=（1+a）x1a1+a=1，得a=0则f（x）=xlnx，f（x）=lnx+1由f（x）=lnx+1=0，得x=当x时，f（x）0，当x时，f（x）0f（x）在上单调递减，在上单调递增；（）假设函数f（x）存在“中值相依切线”设a（x1，y1），b（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0x1x2，则y1=x1lnx1，y2=x2lnx2由f（x）=xlnx的导数为f（x）=1+lnx，可得1+ln=，整理得：，令（t1），则令g（t）=（t1），则g