高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.2 集合间的基本关系教材梳理素材 新人教A版必修1.doc

1.1.2 集合间的基本关系疱丁巧解牛知识巧学升华一、子集1.子集的定义 一般地，对于两个集合a、b，如果集合a中任何一个元素都是集合b中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合a为集合b的子集，子集是研究集合间的包含关系的，它仅仅与构成两个集合的元素有关. 记作：ab（或ba），读作“a包含于b”（或b包含a）. 辨析比较 注意此处空半格元素和集合是从属关系，符号“”用在元素与集合之间；集合与集合之间是包含或相等的关系，符号“”用在集合与集合之间.2.子集的图形表示 在数学中，我们经常用平面上封闭的内部代表集合，这种图称为venn图.这样，上述集合a和集合b的包含关系，可以用下图表示. 对于集合a、b、c，如果ab，bc，则ac. 任何一个集合a都是它自身的子集，即aa.若ab，则可用venn图表示它们之间的关系. 即表示集合a、b的区域完全重合，或区域a在区域b的内部. 要点提示 注意此处空半格（1）集合中的元素具有传递性.它类似于不等式的传递性，即若ab，bc，则ac.（2）venn图可以形象直观地表示集合间的关系，表示集合的venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线等. 资料剖析 注意此处空半格(教材p8)思考研析aa表示的是集合与集合之间的关系，即集合a是集合a的子集，而aa表示的是集合的元素与集合之间的从属关系，即a是集合a的元素，如11,2，3,而11,2，3.3.子集的语言表示 集合a中的任何一个元素x，都满足xb，即任意xa，都有xb.或 abxa,xb. 例如：已知集合a=1，2，集合b=1，2，3，因为a中所有的元素1b，2b，所以ab. 对于元素个数较少的有限集是如此，当给定的集合是元素个数较多的有限集或无限集呢？那只能根据给定集合的元素的性质去证明，若xa，则xb即可.特别地，当给定集合a、b的代表元素都是函数值时，要证明“ab”，只需比较两个函数的函数值的取值范围即可.例如：已知集合a=y|y=x2+1，xr，集合b=m|m=n2，nr，则集合a与b存在怎样的包含关系呢？显然集合a、b的代表元素都是实数，结合二次函数的性质化简它们得a=y|y1，b=m|m0，因为a中的所有元素都属于b，所以ab. 那么，如何证明集合a不是集合b的子集呢？如果集合a中存在元素不是集合b的元素，我们就说集合a不是集合b的子集，记作“ab”或“ba”，读作“a不包含于b”或“b不包含a”.例如：已知集合a=1，2，集合b=1，3，试判断a、b的包含关系.因为2a，且2b，所以ab；又因为3b，且3a，所以ba.由此可见，判断两个集合的“包含”与“不包含”关系，关键是看两个集合中元素的关系.你能据此写出常见数集n*、n、z、q、r之间的包含关系吗？ 方法点拨 注意此处空半格（1）判断a、b之间的包含关系，通常将集合a、b化成最简形式.（2）若证明ab，只需在a中找一个元素a，使得ab即可.也就是说，要否定一个问题，只需举一反例即可.二、集合相等1.集合相等的定义 如果集合a是集合b的子集（ab），且集合b是集合a的子集（ba），此时，集合a与集合b中的元素是一样的，我们就说集合a与集合b相等，记作a=b. 集合“a=b”可用韦恩图表示为 即表示集合a、b的区域完全重合. 要点提示 注意此处空半格集合“a=b”是指集合a、b中的元素完全相同，与a、b中元素的排列顺序无关.2.集合相等的证明 所谓“a=b”就是集合a、b中的元素完全一致.例如：试比较集合a=xx2-1=0与集合b=-1，1的关系.化简集合a=-1，1，与集合b的元素完全一致，所以a=b；当集合a、b中的元素较多或无限多时，要证明“a=b”，只需根据集合中元素的性质证明ab，且ba即可. 辨析比较 注意此处空半格集合“a=b”可与实数中的结论“若ab，且ba，则a=b”相类比，即“若ab，且ba，则a=b”.三、真子集 如果集合a是集合b的子集，并且b中至少有一个元素不属于a，那么集合a叫做集合b的真子集，记作ab或ba，读作“a真包含于b”或“b真包含a”. 若ab，可用韦恩图表示为 即把表示a的区域画在表示b的区域内，但区域a不能与b重合. 对于集合a、b、c，如果ab，bc，则ac.例如：11，2，1，21，2，3，所以11，2，3.证明ab，应先证明ab，再证明b中至少有一个元素a，使得aa即可. 要点提示 注意此处空半格（1）真子集是以子集为前提，研究集合间的关系.若a不是b的子集，则a一定不是b的真子集.（2）由子集、集合相等及真子集的定义可知，子集包括集合相等与真子集两种情况.（3）“ab”或“ab”都具有传递性.（4）任何集合都不是自身的真子集.四、空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.例如：x2+1=0的实数根，|x|-1的解组成的集合，都因找不到它们的元素，所以它们的解集都是空集，规定空集是任何集合的子集，即a.有的同学说，可以把子集定义为：子集是由原来集合中的部分元素组成的集合，你认为这种说法妥当吗？答案是否定的.因为空集是不含任何元素的集合，它不可能是由某一集合的部分元素组成的，集合本身也无法理解为它是由它的部分元素组成的，aa.由以上子集的定义及详解，你能写出集合a=1，2的所有子集吗？答案显然是、1、2、1，2. 虽然空集是任何集合的子集，但是不是任何集合的真子集？你能结合实例与定义，说明以上两个问题吗？根据真子集的定义及详解，你能写出集合a=1，2的真子集吗？显然答案是、1、2. 要点提示 注意此处空半格（1）空集也是空集的子集，即.空集是任何非空集合的真子集.（2）一个集合的子集，除了空集外，其他子集可看作是由原集合的部分或全部元素组成的集合. 资料剖析 注意此处空半格(教材p8)例3 注意：在写出某个集合的子集时，可以按照集合元素的多少逐一写出，但一定要考虑空集这一特殊的集合，因为空集是任何集合的子集；若是要求写出某个集合的真子集，则不能将集合本身也计算在内，因为任何一个集合都是本身的子集，但不是本身的真子集.问题思路探究问题1 0与、 与有何区别？思路：从的定义、集合与元素的概念以及二者之间的关系考虑.探究：0是由一个元素0组成的有限集合，是不含任何元素的集合.因此，0，而不能写成=0或0；同样道理，是由一个元素组成的有限集合，是不含任何元素的集合.因此有：或 或.问题2 集合中元素的个数与该集合的子集、真子集的个数之间有何关系？思路：可通过举例，从而归纳出一般规律.探究：如写出a,b、a,b,c的所有子集，a,b的所有子集为：，a,b,a,b，所以子集有4个，真子集3个；a,b,c的所有子集为：,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c，子集共8个，真子集共7个. 因此，一个集合的子集个数与集合中的元素个数有关，若一个集合含有n个元素，则它有 2n个子集， 2n-1个真子集， 22-2个非空真子集.典题热题新题例1 m=x|3x4=,a=，则下列关系正确的是（ ）a. am b. am c. am d.am思路解析：元素与集合之间的关系是与的关系，所以a不正确；又34,所以am，故b不正确；集合与集合的关系是、的关系，而不能用与表示，因此c不正确；am显然成立.答案：d例2 判断如下a与b之间有怎样的包含或相等关系.（1）a=x|x=2k-1.kz,b=x|x=2m+1,mz；（2）a=x|x=2m.mz,b=x|x=4n,nz.思路解析：判断两个集合的包含或相等关系，主要观察两个集合间元素的关系.解：（1）因为a=x|x=2k-1,kz，b=x|x=2m+1,mz,故a、b都是由奇数构成的，即a=b.（2）因 a=x|x=2m,mz，b=x|x=4n,nz，又x=4n=22n，即若有xb,则xa,所以ba.例3 已知m=2，a，b，n=2a，2，b2，且m=n，求a，b的值.思路解析：由m=n可知，两个集合中的元素应该完全相同，由此，可用集合中元素的性质解题.解法一：根据集合中元素的互异性，有或 解方程组得或或再根据集合中元素的互异性，得或解法二：m=n，m、n中元素分别对应相同.即集合中元素互异，a、b不能同时为0.b0.由得a=0或b=. 当a=0时，由知b=1或b=0（舍去）；当b=时，由得a=.或 深化升华 注意此处空半格两个集合相等，是指两个集合的元素完全相同.元素个数较少时，可直接分析对应元素相等，以此为依据列方程或方程组求解，但求解后一定要根据集合中元素的互异性这一性质进行检验.例4 在下列各式中：10，1，2；10，1，2；0，1，20，1，2；0，1，2；0，1，2=2，0，1.其中错误命题的个数为（ ）a.1 b.2 c.3 d.4思路解析：元素与集合之间是从属关系，而集合与集合之间是“包含”或“相等”关系；空集是任何非空集合的真子集；两个集合如果元素完全相同，则这两个集合相等.所以正确，错误，正确，正确，正确.答案：a例5 已知集合a=1，2，b=1，2，3，4，5，且amb，写出满足上述条件的集合m.思路解析：关键是要搞清满足条件amb的集合m是由哪些元素组成的.am，m中一定含有a的全部元素1、2，且至少含有一个不属于a的元素.又mb，m中的元素除了含有b的元素1、2外，还有元素3、4、5中的1个、2个或3个.故求m的问题转化为研究集合3，4，5的非空子集的问题，显然所求集合m有23-1=7个，按元素的多少把它们一一列举出来即可.答案：满足条件的集合m是1，2，3、1，2，4、1，2，5、1，2，3，4、1，2，3，5、1，2，4，5、1，2，3，4，5 . 深化升华 注意此处空半格集合是由元素构成的，要确定一个集合，一是把集合中的元素一一找出来，用列举法去表示；二是明确集合中元素的范围及其满足的性质，用描述法表示.例6 集合a=x|-2x5，b=x|m+1x2m-1（1）若ba，求实数m的取值范围.（2）若xz时，求a的非空真子集的个数.（3）当xr时，没有元素使xa与xb同时成立，求实数m的取值范围.思路解析：ba，即b是a的子集，包括b可能是空集，解决有关集合之间的关系，空集这一重要的集合不能忘.解：（1）当 m+12m-1即m2时，b=满足ba. 当m+12m-1即m2时，要使ba成立， 需