线性代数§5.6配方法.ppt_第1页
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文档简介

一 拉格朗日配方法的具体步骤 5 6配方法化二次型为标准形 用正交变换化二次型为标准形 其特点是保持几何形状不变 问题 有没有其它方法 也可以把二次型化为标准形 问题的回答是肯定的 下面介绍一种行之有效的方法 拉格朗日配方法 1 若二次型含有xi的平方项 则先把含有xi的乘积项集中 然后配方 再对其余的变量同样进行 直到都配成平方项为止 经过非退化线性变换 就得到标准形 拉格朗日配方法的步骤 2 若二次型中不含有平方项 但是aij 0 i j 则先作可逆线性变换 化二次型为含有平方项的二次型 然后再按1中方法配方 k i j 例1 化二次型 为标准形 并求所用的线性变换矩阵 f x12 2x22 5x32 2x1x2 2x1x3 6x2x3 f x12 2x22 5x32 2x1x2 2x1x3 6x2x3 解 用含有x1的项配方 x12 2x1x2 2x1x3 2x22 5x32 6x2x3 x1 x2 x3 2 x22 x32 2x2x3 2x22 5x32 6x2x3 x1 x2 x3 2 x22 4x32 4x2x3 x1 x2 x3 2 x2 2x3 2 令 所用变换矩阵为 f x12 2x22 5x32 2x1x2 2x1x3 6x2x3 y12 y22 解 由于所给二次型中无平方项 f 2x1x2 2x1x3 6x2x3 例2 化二次型 为标准形 并求所用的线性变换矩阵 所以 令 即 代入二次型f 2x1x2 2x1x3 6x2x3 得 f 2y12 2y22 4y1y3 8y2y3 再配方 得 f 2 y1 y3 2 2 y2 2y3 2 6y32 令 即 f 2z12 2z22 6z32 得 所用变换矩阵为 C 2 0 二 小结 将一个二次型化为标准形 可以用正交变换法 也可以用拉格朗日配方法 或者其它方法 这取决于问题的要求 如果要求找出一个正交矩阵 无疑应使用正交变换法 如果只需要找出一个可逆的线性变换 那么各种方法都可以使用 正交变换法的好处是有固定的步骤 可以按部就班一步一步地求解 但计算量通常较大 如果二次型中变量个数较少 使用拉格朗日配方法反而比较简单 需要注意的是 使用不同的方法 所得到的标准形可能不相同 但标准形中含有的项数必定相同 项数等于所给二次型的秩 思考题 f x1x2 x1x3 x2x3 化二次型 为标准形 并求所用的线性变换矩阵 思考题解答 由于所给二次型不含平方项 故令 有 f y1 y3 2 y22 y33 f y12 y22 y1 y2 y3 y1 y2 y3 y12 y22
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