高等数学 曲线积分与曲面积分.pdf

曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 前一章我们已经把积分概念从积分范围的角度 从数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一个 区域 在应用领域 有时常常会遇到计算密度不 均匀的曲线的质量 变力对质点所作的功 通过 某曲面的流体的流量等 为解决这些问题 需要 对积分概念作进一步的推广 引进曲线积分和曲 面积分的概念 给出计算方法 这就是本章的中 心内容 此外还要介绍 前一章我们已经把积分概念从积分范围的角度 从数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一个 区域 在应用领域 有时常常会遇到计算密度不 均匀的曲线的质量 变力对质点所作的功 通过 某曲面的流体的流量等 为解决这些问题 需要 对积分概念作进一步的推广 引进曲线积分和曲 面积分的概念 给出计算方法 这就是本章的中 心内容 此外还要介绍 Green 公式 公式 Gauss公 式 和 公 式 和 Stokes 公式 这些公式揭示了存在于各 种积分之间的某种联系 公式 这些公式揭示了存在于各 种积分之间的某种联系 重点重点 第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法 Green公式 公式 Gauss 公式公式 曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件 难点难点 第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算 基本要求基本要求 正确理解曲线积分和曲面积分概念 正确理解曲线积分和曲面积分概念 熟练掌握曲线积分与曲面积分的计算方法 熟练掌握曲线积分与曲面积分的计算方法 掌握几种积分间的联系 明确它们在概念 性质 计算方法上的异同 掌握几种积分间的联系 明确它们在概念 性质 计算方法上的异同 掌握第二型曲线积分与路径无关的条件 掌握第二型曲线积分与路径无关的条件 牢固掌握 牢固掌握Green公式及其成立条件公式及其成立条件 牢固掌握 牢固掌握 Gauss 公式及其成立条件公式及其成立条件 对弧长的曲线积分及其计算对弧长的曲线积分及其计算 一 问题的提出一 问题的提出 实例 实例 曲线形构件的质量 匀质之质量 曲线形构件的质量 匀质之质量 sM ox y A B 1 M 2 M 1 i M i M 1 n M L ii 分割分割 121in sMMM L iii s 取取 iiii sM 求和求和 1 n i iii sM 近似值近似值 lim 1 0 取极限取极限 n i iii sM 精确值精确值 二 对弧长的曲线积分的概念二 对弧长的曲线积分的概念 1 定义定义 1 121 n i iii iii iii n sf sf i si nLMMMLL yxfxoyL 并作和 作乘积 点个小段上任意取定的一 为第又个小段的长度为设第个小段 分成把上的点用上有界在 函数面内一条光滑曲线弧为设 并作和 作乘积 点个小段上任意取定的一 为第又个小段的长度为设第个小段 分成把上的点用上有界在 函数面内一条光滑曲线弧为设 L ox y A B 1 n M i M 1 i M 2 M 1 M ii L lim 0 1 0 n i iii L L sfdsyxf dsyxf L yxf 即记作线积分 第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧 则称此极限为函数这和的极限存在 时长度的最大值如果当各小弧段的 即记作线积分 第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧 则称此极限为函数这和的极限存在 时长度的最大值如果当各小弧段的 积分弧段积分弧段 被积函数被积函数 积分和式积分和式 曲线形构件的质量曲线形构件的质量 L dsyxM 2 存在条 件 存在条 件 存在对弧长的曲线积分 上连续时在光滑曲线弧当 存在对弧长的曲线积分 上连续时在光滑曲线弧当 L dsyxf Lyxf 3 推广推广 曲线积分为 上对弧长的在空间曲线弧函数 曲线积分为 上对弧长的在空间曲线弧函数 zyxf lim 1 0 i n i iii sfdszyxf 注意 注意 1 21 LLLL 是分段光滑的或若是分段光滑的或若 2121 LLLL dsyxfdsyxfdsyxf 2 L dsyxf Lyxf 曲线积分记为 上对弧长的在闭曲线函数 曲线积分记为 上对弧长的在闭曲线函数 4 性质性质 1 LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf 2 为常数为常数kdsyxfkdsyxkf LL 3 21 LLL dsyxfdsyxfdsyxf 21 LLL 三 对弧长曲线积分的计算三 对弧长曲线积分的计算 22 dtttttfdsyxf tt t ty tx L Lyxf L 且上具有一阶连续导数在 其中的参数方程为 上有定义且连续在曲线弧设 且上具有一阶连续导数在 其中的参数方程为 上有定义且连续在曲线弧设定理定理 注意 注意 1 一定要小于上限定积分的下限一定要小于上限定积分的下限 2 而是相互有关的不彼此独立中而是相互有关的不彼此独立中yxyxf 特殊情形特殊情形 1 bxaxyL 1 2 dxxxxfdsyxf b aL 2 dycyxL 1 2 dyyyyfdsyxf d cL 推广推广 ttztytx 222 ayxayx 三 设螺旋形弹簧一圈的方程为 三 设螺旋形弹簧一圈的方程为taxcos taysin ktz 其中 其中 20t 它的线密度 它的线密度 222 zyxzyx 求 1 它关于 求 1 它关于Z轴的转动轴的转动 Z I惯量惯量 2 它的重心 2 它的重心 练习题答案练习题答案 一 1 一 1 L dsyx 2 的弧长 2 的弧长L 3 弧长 4 二 1 3 弧长 4 二 1 2 4 2 ae a 2 9