高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式导学案 新人教A版必修4.doc

31.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式1能根据两角差的余弦公式导出并记住两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并灵活运用2能熟练地把asin xbcos x化为asin(x)的形式和角、差角公式如下表：名称公式简记差的正弦sin()_s()差的余弦cos()_c()差的正切tan()_t()和的正弦sin()_s()和的余弦cos()_c()和的正切tan()_t()逻辑联系(1)与差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin()sin sin ，cos()cos cos ，tan()tan tan .(2)和差角公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差角公式的特例如sin(2)sin 2cos cos 2sin 0cos 1sin sin .当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便(3)使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin()cos cos()sin 时，不要将sin()和cos()展开，而应采用整体思想，进行如下变形：sin()cos cos()sin sin ()sin .这也体现了数学中的整体原则(4)注意公式的结构特征和符号规律：对于公式c()，c()可记为“同名相乘，符号反”；对于公式s()，s()可记为“异名相乘，符号同”【做一做11】 若tan 3，tan ，则tan()()a3 b c3 d.【做一做12】 sin 75的值为()a. b.c. d.【做一做13】 cos 75_.答案：sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin sin 【做一做11】 dtan().【做一做12】 dsin 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30.【做一做13】 cos 75cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.化简asin bcos (ab0)剖析：逆用两角和与差的正弦公式，凑出sin cos cos sin 的形式来化简asin bcos ，221，可设cos ，sin .则tan (又称为辅助角)asin bcos (sin cos cos sin )sin()特别是当1、时，是特殊角，此时取、.例如，3sin 3cos 666sin.在公式asin bcos sin()中，(1)sin ，cos ，在使用时不必死记上述结论，而重在理解这种逆用公式的思想(2)asin bcos 中的角必须为同角，否则不成立题型一 给角求值问题【例1】 求下列各式的值：(1)sin 347cos 148sin 77cos 58；(2)sincos.分析：本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解，本题(2)可构造两角和的正弦公式求解反思：解答此类题目的方法就是活用、逆用c()，s()公式，在解答过程中常利用诱导公式实现角的前后统一题型二 给值(式)求值问题【例2】 已知cos ，sin ，是第三象限角求sin()，sin()的值分析：求出sin ，cos 的值，代入公式s()即可反思：分别已知，的某一三角函数值，求sin()，cos()，tan()时，其步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求出，其余的三角函数值；(2)代入公式s()，c()，t()计算即可题型三 利用角的变换求值【例3】 已知cos()，cos()，2，求cos 2的值分析：解答本题关键是探寻，与2之间的关系，再利用两角和的余弦公式求解反思：解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，如本题(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式题型四 易错辨析【例4】 已知2，且满足cos ，cos()，求.错解：cos ，cos()，且2，sin ，sin().sin sin()sin()cos cos()sin .2，0.或.错因分析：以上错解是由于求的三角函数值时，函数选择不当所致由于满足sin 且(0，)的有两值，两值的取舍就是个问题，事实上cos ，故，只有一值，故应计算角的余弦值反思：此类题目是给值求角问题，一般步骤是：(1)先确定角的范围，且使这个范围尽量小；(2)根据(1)所得范围来确定求tan ，sin ，cos 中的一个值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求的一个三角值；(4)写出的大小答案：【例1】 解：(1)原式sin(36013)cos(18032)sin(9013)cos(9032)sin 13cos 32cos 13sin 32sin(1332)sin 45.(2)原式222sin2sin.【例2】 解：cos ，sin .sin ，是第三象限角，cos .sin()sin cos cos sin .sin()sin cos cos sin .【例3】 解：cos()，2，sin().cos()，sin().cos 2cos()()cos()cos()sin()sin().【例4】 正解：cos ，cos()，且2，sin ，sin().cos cos()cos()cos sin()sin .2，0.1(2011山东青岛高三质检)已知cos ，且，则等于()a b7 c. d72化简的结果是()a bc d3_.4在abc中，cos a且cos b，则cos c的值是_5已知tan()，tan ，且，(0，)(1)求tan 的值；(2)求2的值答案：1d由于，则sin ，所以tan ，所以7.2d原式.3.4.由于在abc中，cos a，可知a为锐角，sin a.由于