自动控制原理-第五章.ppt

5 3对数频率特性及其绘制 5 3 1对数频率特性曲线基本概念对数频率特性曲线是频率法中应用最广泛的曲线 常称为波德 Bode 图 分为对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线 波德图是绘制在以10为底的半对数坐标系中的 它的特点是横坐标采用对数刻度 因此刻度不是线性均匀的 而纵坐标则仍采用均匀的线性刻度 对数频率特性的横坐标如图6 3所示 图中横坐标采用对数比例尺 或称对数标度 横坐标即频率坐标是按 的对数值1g 进行线性分度的 如 1 lg1 0 2 lg2 0 301 3 lg3 0 477 4 lg4 0 602 5 lg5 0 699 6 lg6 0 778 7 lg7 0 845 8 lg8 0 903 9 lg9 0 954 10 lg10 1 标注角频率的真值 以方便读数 每变化十倍 横坐标1g 就增加一个单位长度 记为decade或简写dec 这个单位长度代表十倍频率的距离 故称之为 十倍频 或 十倍频程 由于横坐标按照 的对数来分度 对于 是不均匀的 但对1g 却是均匀的线性分度 由于0频无法表示 横坐标的最低频率是由所需的频率范围来确定的 若横轴上有两点 1与 2 则该两点的距离不是 2 1 而是lg 2 lg 1 如2与20 10与100之间的距离均为一个单位长度 即一个十倍频程 对数幅频特性曲线的纵坐标是将A 取常用对数 并乘上20倍 变成对数幅值L 单位为dB 分贝 由于直接标注L 的数值 纵坐标是均匀的普通比例尺 A 每变大十倍 L 增加20dB 至于对数相频特性 其横坐标与幅频特性的横坐标相同 不是均匀的线性刻度 其纵坐标直接表示相角位移 单位为 度 采用普通比例尺 对数频率特性曲线坐标系如图所示 在绘制函数关系时 相当于lg 为自变量 对数频率特性曲线反映L 20lgA 与 随lg 变化的规律 从而间接反映A 与 随 变化的规律 如惯性环节 的对数幅频特性曲线如图5 28所示 并分别绘制出精确曲线与渐近线 波德图采用半对数坐标具有如下优点 1 缩小了比例尺 使横坐标的低频段大大展宽 而高频段压缩 能够展示更宽的频率范围 便于分析和设计系统 幅频特性采用分贝表示幅值后 纵坐标高段也相对缩小 幅频特性曲线斜率下降 范围更广 图示更清楚 2 大大简化绘制系统频率特性的工作 当系统由许多环节串联构成时 开环频率特性为G j G1 j G2 j Gn j A ej 式中A A1 A2 An 1 2 n 在极坐标中绘制幅相频率特性 要花较多时间 而在绘制对数幅频特性时 有L 20lgA 20lgA1 20lgA2 20lgAn L1 L2 Ln 则复杂的乘除运算变成了简单的加减运算 这样 如果先绘出各环节的对数幅频特性 然后进行加减 就能得到串联各环节所组成系统的对数频率特性 作图大为简化 3 容易看出各环节的单独作用 便于对系统的分析设计 4 可以用分段的直线 渐近线 来代替典型环节的准确的对数幅频特性 而且稍加修正就可得到精确的曲线 5 可根据实测数据绘制出波德图 再求出开环传递函数 便于采用物理实验的方法求取系统或元件的数学模型 5 3 2典型环节的波德图 一般为简化作图过程 常用分段直线近似表示对数幅频特性曲线 这种处理引起的误差一般在允许范围内 当需要精确曲线时 可以对分段直线进行简单的修正 一 比例环节比例环节的频率特性表达式为G j K幅频特性A K 则比例环节的对数幅频特性为L 20lg G j 20lgK 在对数频率特性上表现为平行于横轴的一条直线 若K 100 则L 20lg100 40分贝 如图6 5所示 当K 1时 该平行线位于0dB线之上 当0 K 1时 该平行线位于0dB线之下 当K 1时 该平行线与0dB线重合 比例环节的相频特性仍为 0 与 无关 为相频特性图的横轴 如图5 29所示 K的变化只影响对数幅频特性曲线的升降 不改变其形状与对数相频特性 二 积分环节积分环节的频率特性为幅频特性为A 1 其对数幅频特性为L 20lgA 20lg 1 20lg 绘出对数幅频特性曲线上的几个点 当 0 1时 L 0 1 20dB 当 1时 L 1 0dB 当 10时 L 10 20dB 频率每增加10倍 幅频特性下降20dB 故积分环节的对数幅频特性是一条斜率为 20dB dec的斜线 并且在 1这一点穿过0dB线 实际上由于lg 相当于自变量 从对数幅频特性的表达式可以直接看出 L 跟随lg 变化 二者之间的函数关系是均匀线性的 斜率为 20dB dec 积分环节的对数相频特性为 90 它与频率无关 在0 的频率范围内 为平行于横轴的一条直线 如图5 30所示 当积分环节的比例系数为K时 即频率特性为 则对数幅频特性为L 20lgA 20lg K 20lgK 20lg 相当于整体斜线高度上升20lgK K的变化只影响对数幅频特性曲线的升降 不改变原有形状与对数相频特性 此时L 1 20lgK 对数频率特性曲线在 K这一点穿过0dB线 与积分环节类似 L 跟随lg 变化 二者之间的函数关系是均匀线性的 斜率为20dB dec 频率每增加10倍 幅频特性上升20dB 理想微分环节的对数幅频特性为一条斜率为 20dB 十倍频的直线 它在 1处穿过零分贝线 如图5 31所示 若K值变化将使对数幅频特性曲线上升 K 1 或下降 0 K 1 理想微分环节的相频特性为 90 在0 的范围内 它是平行于横轴的一条直线 积分环节与理想微分环节的对数幅频特性相比较 只相差正负号 二者以 轴为基准 互为镜象 同理 二者的相频特性互以 轴为镜象 三 微分环节理想微分环节的频率特性为G j j 幅频特性为A 对数幅频特性为L 20lgA 20lg 四 惯性环节惯性环节的频率特为幅频特性A 故对数幅频特性为 在时间常数T已知时 可以在 从0变化到 的范围内 逐点求出L 值 从而绘制出精确的对数幅频特性曲线 但十分费时 在工程中 一般采用渐近线近似的方法 这已经满足大多数情况下的要求 可以分段讨论如下 1 低频段在T 1 或 1 T 的区段 可以近似地认为T 0 从而有 故在频率很低时 对数幅频特性可以近似用零分贝线表示 这称为低频渐近线 见图5 32 2 高频段在T 1 或 1 T 的区段 可以近似地认为 L 为因变量 lg 为自变量 因此对数频率特性曲线是一条斜线 斜率为 20dB dec 当频率变化10倍频时 L 变化 20dB 如图5 32 这称为高频渐近线 它与低频渐近线的交点为 T 1 T 高频渐近线和低频渐近线的交点频率 T 1 T称为转折频率 转折频率是绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数 渐近特性和准确特性相比 存在误差 越靠近转折频率 误差越大 如在转折频率这一点 误差最大 精确值为L 1 T 20lg21 2 3dB这说明 在转折频率处 精确值应为用渐近线绘制的对数幅值减去3dB 为简化对数频率特性曲线的绘制 常常使用渐近对数幅频特性曲线 特别是在初步设计阶段 同时 如需由渐近对数幅频特性曲线获取精确曲线 只须分别在低于或高于转折频率的一个十倍频程范围内对渐近对数幅频特性曲线进行修正就足够了 对数相频特性为 arctanT 为了近似绘制相频特性 选择确定以下几个点 见表5 6 同时 由于惯性环节的相位与频率呈反正切函数关系 所以 对数相频特性曲线将对应于 1 T及 45 这一点对称 如图所示 可以清楚地看出在整个频率范围内 呈滞后持续增加的趋势 极限为 90 当惯性环节的时间常数T改变时 其转折频率1 T将在Bode图的横轴上向左或向右移动 与此同时 对数幅频特性及对数相频特性曲线也将随之向左或向右移动 但它们的形状保持不变 五 一阶微分环节一阶微分环节的频率特性为 其幅频特性为 对数幅频特性为 对数相频特性为 arctan 按照与惯性环节相似的作图方法 可以得到图5 34所示对数频率特性 1 低频段在T 1 或 1 T 的区段 可以近似地认为高频渐近线是一条斜线 斜率为20dB dec 当频率变化10倍频时 L 变化20dB 转折频率为 T 1 T 可知 一阶微分环节的对数幅频特性和相频特性与惯性环节的相应特性互以横轴为镜像 精确曲线的修正方法也与惯性环节相同 但需要注意到修正值的符号相反 如转折频率处 T对应的精确值是L T 0 3 3dB 六 二阶振荡环节振荡环节的频率特性为幅频特性为对数幅频特性为 1 低频段T 1 或 1 T 时 并考虑到 0 1 有L 20lg T 2 40lg T 40lgT 40lg dB这说明高频段是一条斜率为 40dB dec的斜线 称为高频渐近线 T 1 T为低频渐近线与高频渐近线交点处的横坐标 称为转折频率 也就是环节的无阻尼自然振荡频率 n 振荡环节对数幅频特性渐近线见图5 35 在 T 1 T附近 用渐近线得到的对数幅频特性存在较大误差 近似值为L T 20lg1 0而准确值为L T 20lg 1 2 只在 0 5时 二者相等 在 不同时 精确曲线如图5 36所示 当 0 707时 可以明显地看出振荡环节出现了谐振 而且 越小 谐振峰值Mr越大 谐振角频率 r越接近于转折频率 T 无阻尼自然振荡频率 n 图5 37二阶系统渐近线的修正曲线 由表5 7可见 当0 4 0 7时 误差小于3分贝 这时可以不对渐近线进行修正 但当 0 7 误差很大 必须对渐近线进行修正 在转折频率附近的修正曲线见图5 37 振荡环节的对数相频特性为 可知 当 0时 0 1 T时 90 时 180 与惯性环节相似 振荡环节的对数相频特性曲线将对应于 1 T及 90 这一点斜对称 振荡环节的对数相频特性既是 的函数 又是 的函数 随阻尼比 不同 对数相频特性在转折频率附近的变化速度也不同 越小 相频特性在转折频率附近的变化速度越大 而在远离转折频率处的变化速度越小 当振荡环节的时间常数T改变时 其转折频率1 T将在Bode图的横轴上向左或向右移动 与此同时 对数幅频特性及对数相频特性曲线也将随之向左或向右移动 但它们的形状保持不变 八 延迟环节延迟环节的频率特性为G j e j 幅频特性为A 1 对数幅频特性为L 20lgA 0dB对数幅频特性L 为一条与横轴重合的直线 如图所示 对数相频特性为 单位为弧度 rad 又有 考虑到波德图是以lg 为自变量 所以有 因此 是呈指数规律下降的曲线 随 增加而滞后无限增加 延迟环节的对数相频特性示于图 相关相位见表5 8 可见 延迟时间 越大 在较低频率 处所引起的相位滞后也越大 从后面的分析可以得出 延迟环节导致的相位滞后对闭环系统的稳定性不利 5 3 3开环波德图的绘制 绘制系统的开环对数幅频特性可先绘出渐近线 再经过简单的修正得到精确的曲线 而求渐近线时可先绘出构成系统的各串联典型环节的对数幅频特性的渐近线 再由各环节的对数幅频特性的纵坐标值相加而得到 绘制开环系统的对数相频特性可根据其表达式计算 描点而得到 也可以由各环节的相频特性相加而得 实际上 与开环奈氏图的绘制相同 当系统全由除延迟环节以外的典型环节构成时 开环传递函数全为左极点与左零点 开环波德图的绘制也具有一定的规律 可以大大简化曲线的绘制过程 一 基本规律 1 由于系统开环幅频特性的渐近线是由各典型环节的对数幅频特性叠加而成 而直线叠加就是斜率相加 所以L 的渐近线必为由不同斜率的线段组成的折线 2 低频渐近线 及其延长线 的确定由前面奈氏图的分析可知 Gk j 的低频段表达式为 对数频率特性的低频渐近线表达式为 低频段为一条斜率为 20vdB dec的斜线 同时 低频渐近线 及其延长线 上在 1时 有L 1 20lgK 如图5 40所示 并有 v90 可见低频段的对数幅频特性与相频特性均与积分环节的个数v有关 3 转折频率及转折后斜率变化量的确定低频段只与积分环节的个数v及开环传递系K有关 而其他典型环节的影响是在各自的转折频率处使L 的斜率发生相应的变化 在惯性环节 的转折频率1 T处 斜率 20dB dec 在一阶微分环节G s s 1 的转折频率1 处 斜率 20dB dec 在振荡环节 的转折频率1 T处 斜率 40dB dec 4 最终斜率与最终相位滞后与n m的关系当 时 由于n m 所以高频段的近似表达式为 对数频率特性的高频渐近线表达式为 高频段为一条斜率为 20 n m dB dec的斜线 并有 n m 90 说明高频段的对数幅频特性与相频特性均与 n m 有关 二 绘制步骤利用以上规律 可以从低频到高频 将L 整条曲线一次画出 步骤如下 1 开环传递函数写成标准的时间常数表达式 确定各典型环节的转折频率 2 选定Bode图坐标系所需频率范围 一般最低频率为系统最低转折频率的1 10左右 而最高频率为最高转折频率的10倍左右 确定坐标比例尺 由小到大标注各转折频率 3 确定低频渐近线 由积分环节个数v与开环传递系数K决定 找到横坐标为 1 纵坐标为20lgK的点 过该点作斜率为 20vdB dec的斜线 4 由低频向高频延伸 每到一个转折频率 斜率根据具体环节作相应的改变 最终斜率为 20 n m dB dec 5 如有必要 可对分段直线进行修正 以得到精确的对数幅频特性 其方法与典型环节的修正方法相同 通常只需修正各转折频率处以及转折频率的二倍频和1 2倍频处的幅值就可以了 对于惯性环节与一阶微分环节 在转折频率处的修正值为 3dB 在转折频率的二倍频和1 2倍频处的修正值为 1dB 对于二阶振荡环节 其幅值示于图5 37 它们是阻尼比的函数 具体可参考前面的内容 系统开环对数幅频特性L 通过0分贝线 即L c 0或A c 1时的频率 c称为幅值穿越频率 幅值穿越频率 c是分析与设计时的重要参数 6 在对数相频特性图上 分别画出各典型环节的对数相频特性曲线 惯性环节 比例微分环节 振荡环节和二阶微分环节的对数相频特性曲线用模型板画更方便 将各典型环节的对数相频特性曲线沿纵轴方向迭加 便可得到系统的对数相频特性曲线 也可求出 的表达式 逐点描绘 低频时有 v 90 最终相位为 n m 90 7 若系统串联有延迟环节 不影响系统的开环对数幅频特性 只影响系统的对数相频特性 则可以求出相频特性的表达式 直接描点绘制对数相频特性曲线 例5 2 设某系统的开环频率特性如下 绘制开环波德图 已知 系统由放大 比例微分 积分 两个惯性环节和一个振荡环节组成 1 画低频段 由系统的开环频率特性知k 10 v 1 一般将放大和积分环节统一考虑 因为v 1 所以起始段的斜率为 20dB dec 在 1处 起始段的高度为 2 系统各环节的转折频率由小到大为 经过各个转折频率斜率变化情况 惯性环节 一阶微分 惯性环节 振荡环节 分析对数幅频特性可见 系统L 由5段折线构成 而且在 2与 3之间穿过0dB线 曲线穿过0dB线时所对应的频率称为幅值穿越频率 幅值穿越频率 c可以通过坐标系直接读出 也可根据简单的计算求出 1 由低频渐近线可求得L 1 L 1 25 20lgK 20lg1 25 18 1 dB 2 由于 1点与 2点位于同一条斜线 斜率为 40dB dec 则L 2 可如下求得 求出L 2 5 6 1 dB 3 同理 c可如下求取 求出 c 5rad s 由于振荡环节的阻尼比为 0 1 因此 渐近线在振荡环节的转折频率处有较大的误差 应该加以修正 4 根据开环系统对数相频特性的表达式进行计算 对于相频特性曲线 主要了解其大致趋向 幅值穿越频率 c处的相位十分重要 本例中 c 5时的相位为 c 141 1 如图所示 在低频区的渐近线斜率为 20dB dec 相位起点约为 90 2 在频率 1附近 L 斜率减小到 40dB dec 则相位呈减小的趋势 而在频率 2附近 微分环节的作用使 相位减小的趋势比较平缓 3 在频率 4附近 L 从 40dB dec斜率减小到 80dB dec 而 相位也急剧下降 最大滞后为 360 5 3 4最小相位系统 一 基本概念控制系统的开环传递函数一般是关于s的有理真分式 系统的性质是由开环传递函数的零点与极点的性质决定的 根据零极点的不同 一般分为以下两种系统1 最小相位系统 系统的传递函数的所有极点 零点均位于s左半平面 2 非最小相位系统 系统传递函数有开环零点或极点位于s右半平面 最小相位 这一概念来源于网络理论 它是指具有相同幅频特性的一些环节 其中相角位移有最小可能值的 称为最小相位环节 反之 其中相角位移大于最小可能值的环节称为非最小相位环节 下面以一个简单例子来说明最小相位系统的慨念 有两个系统 其开环传递函数分别为 两者的对数幅频特性是相同的 而相频特性则有 1 arctan arctanT 2 arctan arctanT 根据绘制规律绘出两者的波德图如图5 42所示 从传递函数看 这二者均有相同的储能元件数 但是由于G2 s 的零点在右半s平面 它产生了附加的相位滞后位移 因而G1 s 具有较小的相位变化范围 0 90 为最小相位环节 而G2 s 为非最小相位环节 相位变化范围较大 0 180 从波德图上看 最小相位系统为具有相同幅频特性的许多系统中其相移范围为最小可能值的系统 可以推出如下结论 若系统只包含除延迟环节之外的典型环节 并且无局部正反馈回路时 开环传递函数的分子 分母必无正实根 该系统必定为最小相位系统 原因为 由于延迟环节按幂级数分解之后 其各项系数有正负 因而必定有具有正实部的零点 所以延迟环节属于非最小相位系统 同样 若系统有局部正反馈回路 则必有具有正实部的开环极点 二 性质1 最小相位系统 或环节 有一个重要特征 这就是 最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性是一一对应的 也就是说 对于最小相位系统 一条对数幅频特性只有一条对数相频特性与之对应 知道其对数幅频特性 也就知道其对数相频特性 因此 利用Bode图对最小相位系统进行分析时 往往只分析其对数幅频特性L 2 最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性的变化趋势相同 即若L 的斜率减小 或增大 则 的相位也相应地减小 或增大 如果在某一频率范围内 对数幅频特性L 的斜率保持不变 则在这些范围内 相位也几乎保持不变 由前面的分析可知 1 对数频率特性的低频渐近线为斜率为 20vdB dec的斜线 90v 低频段的对数幅频特性与相频特性均与积分环节的个数v有关 2 在 时 由于n m 所以高频渐近线为斜率为 20 n m dB dec的斜线 90 n m 高频段的对数幅频特性与相频特性均与 n m 有关 最小相位系统的性质给出了一个重要的结论 对于最小相位系统 可以通过实验的方法测量并绘制出开环对数幅频特性曲线L 就可以唯一确定此系统 推出相应的 写出其开环传递函数 5 3