黑龙江省海林市高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 导数与单调性导学案 新人教A版选修1-1.doc

3.3.1 导数在研究函数中的应用【课标学习目标】1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间2能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式3会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)目标解读1重点是利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间2难点是利用导数证明一些简单不等式【情境引入】中国是世界上人口最多的发展中国家人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱是中国现阶段的基本国情，统筹解决人口问题始终是中国实现经济发展、社会进步和可持续发展面临的重大而紧迫的战略任务从20世纪70年代以来，中国政府坚持不懈地在全国范围推行计划生育基本国策，鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子，依照法律法规合理安排生育第二个子女经过30年的努力，有效地控制了人口过快增长，实现了人口再生产类型由高出生率、低死亡率、高自然增长率向低出生率、低死亡率、低自然增长率的历史性转变研究人口增长问题需要用到导数，从下图可以看出中国人口每增长2亿人所经历的时间越来越短函数的单调性与导数有怎样的关系呢？提示：导数的符号决定函数的单调性【新知探究】1在某个区间(a，b)内，如果_，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果_，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减2利用导数判别函数的单调性的法则如下：如果函数yf(x)在x的某个开区间内，总有f(x)0，则f(x)在这个区间上_；如果函数yf(x)在x的某个开区间内，总有f(x)0且a1)； (2)f(x)(1x1时，lna0，axax0，f(x)0，函数f(x)在(，)上是增函数当0a1时，lna0，f(x)0，函数f(x)在(，)上是减函数(2)此函数为奇函数，且在(1,1)上连续，只需讨论函数在(0,1)上的单调性当0x0，则f(x)0，函数在(0,1)上是减函数；若b0，函数在(0,1)上是增函数又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，当b0时，函数f(x)在(1,1)上是减函数当b0且a1)讨论f(x)的单调性解析函数的定义域为r，f(x).当a1时，lna0，f(x)0；当0a1时，lna0，f(x)1时，f(x)在r上单调递增，0a0，f(x)x33x在xr上单调递增(2)要使函数y有意义，必须2xx20，即0x2.函数的定义域为0,2f(x)()(2xx2) (2xx2).令f(x)0，则0，即0x1.【评析】求单调区间应先考虑函数定义域另外，单调区间不可写成并集的形式题型三函数单调性的综合应用【例3】已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集r上单调递增，求实数a的取值范围；(2)证明：f(x)x3ax1的图象不可能总在直线ya的上方【分析】本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力【解析】(1)由已知得f(x)3x2a.f(x)在(，)上是单调递增函数，f(x)3x2a0在r上恒成立3x20，a0.又a0时，f(x)3x20(只有x0时，f(x)0)，此时f(x)x31在r上仍为单调递增函数，a0.(2)证明：f(1)a20(或f(x)0)仅是f(x)在某区间上单调的充分条件本题应用f(x)在(a，b)上单调的充要条件f(x)0或f(x)0恒成立，且f(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.变式训练2 已知函数f(x)x3ax1，是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解析存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减假设存在，则f(x)3x2a0，在(1,1)上恒成立即a3x2在x(1,1)上恒成立a3.【课堂小结】1在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开2若f(x)在区间d上是增(或减)函数，则f(x)在区间d上“0”(或“0”)恒成立由不等式恒成立求参数取值范围时要根据不等式的具体特点选择合适的求解方法【当堂检测】1函数f(x)x33x21的单调递减区间为()a(2，) b(，2)c(，0) d(0,2)解析：f(x)3x26x3x(x2)令f(x)0，得0x0)，f(x)lnx1.令f(x)0，得x.函数f(x)的递增区间为(，)答案：d3函数f(x)x3ax2在区间(1，)内是增函数，则实数a的取值范围是()a3，) b3，)c(3，) d(，3)解析：f(x)3x2a，令3x2a0，a3x2，x(1，)a3.答案：b 4若函数yx22bx6在(2,8)内是增函数，则实数b的取值范围是_解析：y2x2b0在(