黑龙江省哈尔滨师大附中2017年高考数学四模试题 理（含解析）.doc

2017年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，则集合a的子集的个数为（）a7b8c15d162已知复数z=（i是虚数单位），则复数z的共轭复数是（）a1+ib1icd3对于实数x，y，若p：x+y4，q：x3或y1，则p是q的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4若，则|a0|a1|+|a2|a3|+|a4|a5|=（）a0b1c32d15据统计2016年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布n，则在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为（）附；若xn（，2）a0.4987b0.8413c0.9772d0.99876已知函数f（x）的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计的值约为（）abcd7已知正四棱锥pabcd中，pa=ab=2，e，f分别是pb，pc的中点，则异面直线ae与bf所成角的余弦值为（）abcd8执行如图所示的程序框图，若输入x=0，输出k的值为10，则判断框内可填入的条件是（）ax50？bx90？cx100？dx200？9中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程且前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问题第六天走了”（）a96里b48里c12里d6里10某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是（）abcd11已知函数在0，2）上的最大值为a，在（2，4上的最小值为b，则a+b=（）a2b1c1d212p是双曲线c：x2y2=2左支上一点，直线l是双曲线c的一条渐近线，p在l上的射影为q，f2是双曲线c的右焦点，则|pf2|+|pq|的最小值为（）abcd二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若圆m过三点a（1，3），b（4，2），c（1，7），则圆m直径的长为 14已知平面向量的夹角为，且，若平面向量满足=2，则= 15下列命题中，正确的命题有 回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；用相关指数r2来刻画回归效果，r2越接近0，说明模型的拟合效果越好；用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1160编号，按编号顺序平均分成20组（18号，916号，153160号），若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码为6号16已知数列an满足，则数列anbn满足对任意的nn+，都有b1an+b2an1+bna1=，则数列anbn的前n项和tn= 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17如图，一条巡逻船由南向北行驶，在a处测得山顶p在北偏东15（bac=15）方向上，匀速向北航行20分钟到达b处，测得山顶p位于北偏东60方向上，此时测得山顶p的仰角60，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达d处，问此时山顶位于d处的南偏东什么方向？18甲乙两家快递公司其“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元（1）设甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为f（n），g（n），求f（n），g（n）；（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：若将频率视为概率，回答下列问题：记乙快递公司的“快递小哥”日工资为x（单位：元），求x的分布列和数学期望；小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由19如图，三棱柱abca1b1c1中，a1b平面abc，且abac（1）求证：acbb1；（2）若ab=ac=a1b=2，m为b1c1的中点，求二面角maba1平面角的余弦值20在平面直角坐标系xoy中，f是抛物线c：y2=2px（p0）的焦点，m是抛物线c上的任意一点，当m位于第一象限内时，ofm外接圆的圆心到抛物线c准线的距离为（1）求抛物线c的方程；（2）过k（1，0）的直线l交抛物线c于a，b两点，且，点g为x轴上一点，且|ga|=|gb|，求点g的横坐标x0的取值范围21已知f（x）=2xax2+bcosx在点处的切线方程为（1）求a，b的值及f（x）在0，上的单调区间；（2）若x1，x20，且x1x2，f（x1）=f（x2），求证请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线c1的极坐标方程为=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系xoy（1）若曲线为参数）与曲线c1相交于两点a，b，求|ab|；（2）若m是曲线c1上的动点，且点m的直角坐标为（x，y），求（x+1）（y+1）的最大值选修4-5：不等式选讲23设f（x）=|ax1|，若f（x）2的解集为1，3（1）求实数a的值；（2）若x+y+z=a（x，y，z（0，+），求的最小值2017年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，则集合a的子集的个数为（）a7b8c15d16【考点】16：子集与真子集【分析】由0，可得（x+1）（x2）0，且x2，解得x，根据xz，可得x，a即可得出【解答】解：由0，可得（x+1）（x2）0，且x2，解得1x2，又xz，可得x=1，0，1，a=1，0，1集合a的子集的个数为23=8故选：b2已知复数z=（i是虚数单位），则复数z的共轭复数是（）a1+ib1icd【考点】a5：复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案【解答】解：z=，则复数z的共轭复数是：故选：d3对于实数x，y，若p：x+y4，q：x3或y1，则p是q的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】2l：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由已知可得pq，反之不成立，例如取x=5，y=1【解答】解：p：x+y4，q：x3或y1，则pq，反之不成立，例如取x=5，y=1p是q的充分不必要条件故选：a4若，则|a0|a1|+|a2|a3|+|a4|a5|=（）a0b1c32d1【考点】db：二项式系数的性质【分析】tr+1=（1）rxr，当r为奇数时，0当r为偶数时，0可得|a0|a1|+|a2|a3|+|a4|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5，对，令x=1，即可得出【解答】解：tr+1=（1）rxr，当r为奇数时，0当r为偶数时，0|a0|a1|+|a2|a3|+|a4|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5对，令x=1，可得：a0+a1+a2+a3+a4+a5=（11）2=0故选：a5据统计2016年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布n，则在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为（）附；若xn（，2）a0.4987b0.8413c0.9772d0.9987【考点】cp：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据正态分布的对称性得出p（x2300），从而可得p（x2300）【解答】解：p=0.9974，p（x2300）=（10.9974）=0.0013，p（x2300）=10.0013=0.9987故选d6已知函数f（x）的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计的值约为（）abcd【考点】ce：模拟方法估计概率【分析】根据几何概型的概率计算公式得出阴影部分的面积，再根据定积分的几何意义得出答案【解答】解：矩形部分的面积为s矩形=23=6，由题意可知： =，s阴影=s阴影=故选b7已知正四棱锥pabcd中，pa=ab=2，e，f分别是pb，pc的中点，则异面直线ae与bf所成角的余弦值为（）abcd【考点】hu：解三角形的实际应用【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用数量积公式求向量夹角，得到所求【解答】解：建立空间直角坐标系如图，设pa=4，则a（0，0，0），b（4，0，0），c（4，4，0），p（2，2，2）所以e（3，1，），f（3，3，），所以=（3，1，），=（1，3，），所以异面直线ae与bf所成角的余弦值为： =；故选：c8执行如图所示的程序框图，若输入x=0，输出k的值为10，则判断框内可填入的条件是（）ax50？bx90？cx100？dx200？【考点】ef：程序框图【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得x=0，k=0执行循环体，x=3，k=2不满足条件，执行循环体，x=9，k=4不满足条件，执行循环体，x=21，k=6不满足条件，执行循环体，x=45，k=8，不满足条件，执行循环体，x=93，k=10由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出k的值为10可得判断框内可填入的条件是：x90？故选：b9中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程且前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问题第六天走了”（）a96里b48里c12里d6里【考点】89：等比数列的前n项和【分析】记每天走的路程里数为an，可知an是公比q=的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果【解答】解：记每天走的路程里数为an，可知an是公比q=的等比数列，由s6=378，得s6=378，解得：a1=192，=6故选：d10某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是（）abcd【考点】l!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，根据图中数据计算体积【解答】解：由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，所以几何体的体积为： =；故选c11已知函数在0，2）上的最大值为a，在（2，4上的最小值为b，则a+b=（）a2b1c1d2【考点】6e：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】由函数g（x）=在（，2），（2，+）单调递减，函数h（x）=cos在0，4单调递减，可得函数在0，2），（2，4上单调性，即可求得a，b即可【解答】解：函数g（x）=，函数g（x）是函数y=向右平移2个单位，向上平移1个单位，故函数g（x）在（，2），（2，+）单调递减；对于函数h（x）=cos，由2k（kz），得8kx8k+4，故函数h（x）在0，4单调递减函数在0，2）上单调递减，故其最大值为f（0）=a，a=1，函数在（2，4上单调递减，其最小值为f（4）=b，b=1所以a+b=2，故选d12p是双曲线c：x2y2=2左支上一点，直线l是双曲线c的一条渐近线，p在l上的射影为q，f2是双曲线c的右焦点，则|pf2|+|pq|的最小值为（）abcd【考点】kc：双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的ab，c，以及一条渐近线方程，运用双曲线的定义，可得|pf2|+|pq|=|pf1|+2+|pq|，依题意，当且仅当q、p、f1三点共线，且p在f1，q之间时，|pf1|+|pq|最小，且最小值为f1到l的距离，从而可求得|pf2|+|pq|的最小值【解答】解：双曲线c：x2y2=2的a=b=，c=2，一条渐近线l方程为xy=0，设双曲线的左焦点为f1，连接pf1，由双曲线定义可得|pf2|pf1|=2a=2，|pf2|=|pf1|+2，|pf2|+|pq|=|pf1|+2+|pq|，当且仅当q、p、f1三点共线，且p在f1，q之间时，|pf1|+|pq|最小，且最小值为f1到l的距离，可得f1（2，0）到l的距离d=，|pq|+|pf2|的最小值为2+=3故选：c二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若圆m过三点a（1，3），b（4，2），c（1，7），则圆m直径的长为10【考点】j2：圆的一般方程【分析】设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0（d2+e24f0），代入三点的坐标，解方程可得d，e，f，再化为标准式，可得圆的半径，进而得到直径【解答】解：设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0（d2+e24f0）圆m过三点a（1，3），b（4，2），c（1，7），可得，解方程可得d=2，e=4，f=20，即圆的方程为x2+y22x+4y20=0，即为（x1）2+（y+2）2=25，即有圆的半径为5，直径为10故答案为：1014已知平面向量的夹角为，且，若平面向量满足=2，则=【考点】9r：平面向量数量积的运算【分析】设出向量，夹角为，则与夹角为（），由平面向量满足=2，以及三角函数的平方关系得到cos，再由数量积公式求得【解答】解：设向量，夹角为，则与夹角为（），由平面向量满足=2，得到，整理得到sin，代入sin2+cos2=1得到cos=，所以|=；故答案为：15下列命题中，正确的命题有回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；用相关指数r2来刻画回归效果，r2越接近0，说明模型的拟合效果越好；用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1160编号，按编号顺序平均分成20组（18号，916号，153160号），若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码为6号【考点】bk：线性回归方程【分析】根据回归直线恒过样本点的中心，不一定过样本点判断错误；根据方差是表示数据波动大小的量，判断正确；用相关指数r2刻画回归效果时，r2越接近1说明模型的拟合效果越好判断错误；根据系统抽样原理求出第1组中抽取的号码值，判断正确【解答】解：对于，回归直线恒过样本点的中心，不一定过任一样本点，错误；对于，因为方差是表示数据波动大小的量，将一组数据的每个数都加一个相同的常数后，方差不变，正确；对于，用相关指数r2来刻画回归效果，r2越接近1，说明模型的拟合效果越好，错误；对于，根据系统抽样原理，样本间隔为=8，第16组抽出的号码为158+a0=126，解得a0=6，即第1组中抽取的号码为6号，正确综上，正确的命题序号是故答案为：16已知数列an满足，则数列anbn满足对任意的nn+，都有b1an+b2an1+bna1=，则数列anbn的前n项和tn=【考点】8e：数列的求和【分析】对任意的nn+，都有b1an+b2an1+bna1=，求得n=1的情况，当n2时，将n换为n1，相减求得bn=n，可得anbn=n2n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和【解答】解：数列an满足，由b1an+b2an1+bna1=2nn1，令n=1，则b1a1=21，解得b1=b1an+b2an1+bna1=2nn1，当n2时，b1an1+b2an2+bn2a2+bn1a1=2n1（n1）1，将上式两边同乘公比2得，b1an+b2an1+bn1a2=2nn1可得：bna1=n，（n2），由a1=2，可得bn=n，对n=1也成立，则anbn=n2n，tn=（12+222+323+n2n），可得2tn=（122+223+324+n2n+1），两式相减可得tn=（2+22+23+24+2nn2n+1）=（n2n+1），化简可得tn=故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17如图，一条巡逻船由南向北行驶，在a处测得山顶p在北偏东15（bac=15）方向上，匀速向北航行20分钟到达b处，测得山顶p位于北偏东60方向上，此时测得山顶p的仰角60，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达d处，问此时山顶位于d处的南偏东什么方向？【考点】hu：解三角形的实际应用【分析】（1）解bcp，利用bcp中，在abc中，由正弦定理求得；（2）利用正弦定理和余弦定理，分别解bcd，求得cdb【解答】解：（1）在bcp中，在abc中，由正弦定理得：，所以，船的航行速度是每小时千米（2）在bcd中，由余弦定理得：，在bcd中，由正弦定理得：，所以，山顶位于d处南偏东135018甲乙两家快递公司其“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元（1）设甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为f（n），g（n），求f（n），g（n）；（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：若将频率视为概率，回答下列问题：记乙快递公司的“快递小哥”日工资为x（单位：元），求x的分布列和数学期望；小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由【考点】cg：离散型随机变量及其分布列；ch：离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元，由此能求出甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式f（n），g（n）（2）记乙快递公司的“快递小哥”日工资为x（单位：元），由条形图得x的可能取值为100，106，118，130，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为45，从而乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为115元，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元由此推荐小赵去乙快递公式应聘【解答】解：（1）甲快递公式的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：y=70+n，nn+，f（n）=y=70+n，nn+乙快递公式的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：g（n）=（2）记乙快递公司的“快递小哥”日工资为x（单位：元），由条形图得x的可能取值为100，106，118，130，所以x的分布列为： x 100 106 118 130 p 0.2 0.3 0.4 0.1乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为：420.2+440.4+460.2+480.1+500.1=45，所以乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为70+451=115（元），由知，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元故推荐小赵去乙快递公式应聘19如图，三棱柱abca1b1c1中，a1b平面abc，且abac（1）求证：acbb1；（2）若ab=ac=a1b=2，m为b1c1的中点，求二面角maba1平面角的余弦值【考点】mt：二面角的平面角及求法；lo：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）推导出a1bac，abac，从而ac平面a1abb1，由此能证明acbb1（2）过点a作aya1b，以射线ab，ac，ay为x，y，z正半轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角maba1平面角的余弦值【解答】证明：（1）三棱柱abca1b1c1中，a1b平面abc，a1bac，abac，a1bab=b，ac平面a1abb1，bb1平面a1abb1，acbb1解：（2）过点a作aya1b，a1b平面abc，ay平面abc，又abac，以射线ab，ac，ay为x，y，z正半轴建立空间直角坐标系，由ab=ac=a1b=2，得a（0，0，0），b（2，0，0），c（0，2，0），a1（2，0，2），由，得b1（4，0，2），c1（2，2，2），m为b1c1的中点，m（3，1，2），设平在abm的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得平面abm的法向量，平面aba1的法向量，设二面角maba1的平面角为，由图知锐角，二面角maba1平面角的余弦值为20在平面直角坐标系xoy中，f是抛物线c：y2=2px（p0）的焦点，m是抛物线c上的任意一点，当m位于第一象限内时，ofm外接圆的圆心到抛物线c准线的距离为（1）求抛物线c的方程；（2）过k（1，0）的直线l交抛物线c于a，b两点，且，点g为x轴上一点，且|ga|=|gb|，求点g的横坐标x0的取值范围【考点】k8：抛物线的简单性质【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，点q在fo的垂直平分线上，运用点到直线的距离，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程；（2）设a，b的坐标，运用向量的坐标运算，设直线l：x=my1，并代入到y2=4x中，运用韦达定理，可得m和，运用对勾函数的单调性，可得4m2的范围，求出ab的垂直平分线方程，令y=0，结合不等式的性质，即可得到所求范围【解答】解：（1）f是抛物线c：y2=2px（p0）的焦点（，0），根据题意，点q在fo的垂直平分线上，所以点q到准线x=的距离为，所以c：y2=4x（2）设，设直线l：x=my1代入到y2=4x中得y24my+4=0，所以y1+y2=4m，y1y2=4，由可得4m2=+2，由23可得y=+2递增，即有4m2，又ab中点（2m21，2m），所以直线ab的垂直平分线的方程为y2m=m（x2m2+1），令y=0，可得21已知f（x）=2xax2+bcosx在点处的切线方程为（1）求a，b的值及f（x）在0，上的单调区间；（2）若x1，x20，且x1x2，f（x1）=f（x2），求证【考点】6b：利用导数研究函数的单调性；6h：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求导数，利用函数f（x）=2x+ax2+bcosx在点处的切线方程为y=，求a，b的值，利用导数的正负讨论f（x）在0，上的