高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义 例谈点的轨迹方程的“完备性和纯粹性”的处理方法素材 苏教版选修21.doc_第1页
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2.5 例谈点的轨迹方程的“完备性和纯粹性”的处理方法求满足条件的动点的轨迹方程，是解析几何的常见问题，大部分同学很容易忽视求出的方程要满足完备性和纯粹性，在这实际解题中也不太会讨论，下面给出了求出点的轨迹方程后去检验“完备性和纯粹性”的几种常见情况。一、利用三角形的顶点不共线。bayoxm 例1、已知点a（a，0），b（a，0），若mab是以点m为直角顶点的直角三角形，求顶点m的轨迹方程。解：设m（x，y），依题意得|ma|2|mb|2|ab|2（）2（）2（2a）2 化简得 x2y2a2 mab的顶点m、a、b不共线m不能在x轴上x0故点m的轨迹方程为x2y2a2（x0）二、利用直线的斜率必须存在。例2、已知点a（1,0），b（1,0），动点p使直线pa和pb的斜率之积为2，求动点p的轨迹方程。bayoxp解：设p（x，y）则kpakpb2化简得2x2y22 直线pa和pb的斜率存在x1故点p的轨迹方程为2x2y22（x1）三、利用点所在的区域范围。yoxbam例3、已知点a、b分别在x、y轴的正半轴上运动，且|ab|2a（a0），求ab中点m的轨迹方程。解：设m（x，y），由中点坐标公式得a（2x，0）b（0，2y）2a化简得x2y2a2 点a、b分别在x、y轴的正半轴上点m在第一象限即x0y0故点m的轨迹方程为x2y2a2（x0且y0）四、根据条件解不等式。例4、abc中，已知b（1,0），c（5,0），a点在x轴上方，且tanbtanc4，求顶点a的轨迹方程。解：设a（x，y）,则tanbkabtanckac（）4化简得yx26x5yoxabc a点在x轴上方y0即x26x50解得1x5故顶点a的轨迹方程为yx26x5（1x5）五、讨论点的特殊位置。 例5、已知点b（1，0），c（1，0），动点a使得bac135，求点a的轨迹方程cbyoxaa解：设a（x，y）则kabkac当点a在x轴上方时，直线ab到ac的角为135tan1351化简得x2y22y10 当点a在x轴下方时，直线ac到ab的角为135tan1351化简得x2y22y10故点a的轨迹方程为x2y22y10（y0）或x2y22y10（y0）简析：本题需要对点a的位置进行讨论，才能避免漏掉一种情况六、讨论直线斜率不存在。cyoxba例6、abc中，已知b（1,0），c（1,0），点a在第三象限，且bc45，求顶点a的轨迹方程解：设a（x，y）（x0，y0）则tanbkab（x1）tanckac由bc45得tan（bc）tan45 tan（bc）=1 化简得x2y22xy10当x1时，b90，由bc45得c45此时abc为等腰直角三角形，a的坐标为（1，
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