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集合的含义 到20以内的所有质数 我国从1991到2003年的13年内所发射的所有人造卫星 金星汽车厂2003年生产的所有汽车 2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家 所有的正方形 到直线的距离等于定长所有的点 方程的所有实数根 新华中学2004年9月入学的高一学生全体 一般地 我们把研究对象统称为元素 把一些元素组成的总体叫做集合 简称集 集合中元素具的有几个特征 确定性 因集合是由一些元素组成的总体 当然 我们所说的 一些元素 是确定的 互异性 即集合中的元素是互不相同的 如果出现了两个 或几个 相同的元素就只能算一个 即集合中的元素是不重复出现的 无序性 即集合中的元素没有次序之分 例子1A 1 3 问3 5哪个是A的元素 2B 素质好的人 能否表示成为集合 3C 2 2 4 表示是否正确 4D 太平洋 大西洋 E 大西洋 太平洋 集合D E是不是表示相同的集合 4 常用的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为自然数集 记为 所有正整数组成的集合称为正整数集 记为全体整数组成的集合称为整数集 记为 全体有理数组成的集合称为有理数集 记为 全体实数组成的集合称为实数集 记为 我们通常用大写拉丁字母 表示集合 用小写拉丁字母a b c 表示集合中的元素 元素与集合之间的关系 如果a是集合 中的元素 就说a属于集合 记作 如果a不是集合 中的元素 就说a不属于集合 记作 例如 所有能被 整除的整数 1 用属于与不属于填空 1 0 N 2 Q 3 1 5 R 2 实数有相等关系 大小关系 如5 7 2 2 等等 类比实数之间的关系 那集合之间有没有类似的 大小 关系呢 思考 6 集合的表示方法 列举法 把集合中的元素一一列举出来 并用花括号 括起来表示集合的方法叫列举法 如 1 2 3 4 5 说明 书写时 元素与元素之间用逗号分开 一般不必考虑元素之间的顺序 在表示数列之类的特殊集合时 通常仍按惯用的次序 集合中的元素可以为数 点 代数式等 列举法可表示有限集 也可以表示无限集 当元素个数比较少时用列举法比较简单 若集合中的元素较多或无限 但出现一定的规律性 在不发生误解的情况下 也可以用列举法表示 对于含有较多元素的集合 用列举法表示时 必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号 象自然数集 用列举法表示为 例1 用列举法表示下列集合 1 小于5的正奇数组成的集合 2 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合 3 从51到100的所有整数的集合 4 小于10的所有自然数组成的集合 5 方程的所有实数根组成的集合 由1 20以内的所有质数组成的集合 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 称为描述法 方法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 或变化 范围 再画一条竖线 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 一般格式 如 x x 3 2 x y y x2 1 x 直角三角形 说明 描述法表示集合应注意集合的代表元素 如 x y y x2 3x 2 与 y y x2 3x 2 是不同的两个集合 只要不引起误解 集合的代表元素也可省略 例如 整数 即代表整数集Z 辨析 这里的 已包含 所有 的意思 所以不必写 全体整数 写法 实数集 R 也是错误的 例2 用描述法表示下列集合 1 由适合x2 x 2 0的所有解组成的集合 2 到定点距离等于定长的点的集合 3 方程的所有实数根组成的集合 4 由大于10小于20的所有整数组成的集合 列举法和描述法的优缺点 说明 列举法与描述法各有优点 应该根据具体问题确定采用哪种表示法 要注意 一般集合中元素较多或有无限个元素时 不宜采用列举法 6 反馈演练 1 填空题 现有 不大于的正有理数 我校高一年级所有高个子的同学 全部长方形 全体无实根的一元二次方程 四个条件中所指对象不能组成集合的 设集合 2 1 0 1 2 数式的值 则 中的元素是 3 0 1 2 选择题 以下四种说法正确的 A 实数集 可记为 R 或 实数集 B a b c d 与 c d b a 是两个不同的集合 C 我校高一年级全体数学学得好的同学 不能组成一个集合 因为其元素不确定 已知2是集合M 中的元素 则实数为 A 2 B 0或3 C 3 D 0 2 3均可 7 小结 集合的含义元素与集合之间的关系集合中元素的三个特征 课后活动探究 数集A满足条件 若a A 则1 1 a A a 1 1 若2 A 试求出A中其他所有元素 2 自己设计一个数属于A 然后求出A中其他元素 3 从上面两小题的解答过程中 你能悟出什么道理 并大胆地证明你发现的这个道理 下面几个例子 你能发现两个集合间的关系吗 1 设A为一颗苹果树上所有的苹果 B为这棵苹果树上所有的烂苹果 2 设A x x是平行四边形 B x x是正方形 3 设A为高一 1 班的全体学生组成的集合 B为高一 1 班所有的男生组成的集合 4 设A a b c B a b c e 共性 集合B中的任何一个元素都是集合A的元素 观察1 一般地 对于两个集合A B 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 我们就说这两个集合有包含关系 称集合A为集合B的子集 1 子集的概念 知识要点 A B 2 在数学中 经常用平面上的封闭曲线的内部代表集合 这种图称为Venn图 与的区别 前者表示集合与集合之间的关系 后者表示元素与集合之间的关系 注意 一般地 a表示一个元素 而 a 表示只有一个元素的一个集合 a a 是错误的 C 例2 若AB BC 则A C B A 示例2 观察下面两个集合 找出它们之间的关系 A x x是两条边相等的三角形 B x x是等腰三角形 例1 判断下列写法是否正确 1 2 3 任何集合是它本身的集合 即 练习 填空 1 0 x 0 3 2 1 x 3x 2 0 2 0 1 N 2 集合相等的概念 BA A x x是两边相等的三角形 B x x是等腰三角形 有A B BA 则A B 若A B B A 则A B 2 集合相等 示例2 下面两个集合 你能发现什么 观察 1 A x x是两条边相等的三角形 B x x是等腰三角形 2 A 2 4 6 B 6 4 2 共性 集合B中元素与集合A的元素是一样的 练习1 观察下列各组集合 并指明两个集合的关系 A Z B N A x x2 3x 2 0 B 1 2 A 长方形 B 平行四边形方形 练习1 观察下列各组集合 并指明两个集合的关系 A Z B N A B A x x2 3x 2 0 B 1 2 A 长方形 B 平行四边形方形 练习1 观察下列各组集合 并指明两个集合的关系 A Z B N A B A B A x x2 3x 2 0 B 1 2 A 长方形 B 平行四边形方形 练习1 观察下列各组集合 并指明两个集合的关系 A Z B N A B A B A B A x x2 3x 2 0 B 1 2 A 长方形 B 平行四边形方形 例3设集合A 1 a b B a a2 ab 若A B 求实数a b 例6已知A x x2 2x 3 0 B x ax 1 0 若B A 求实数a的值 示例3 A 1 2 7 B 1 2 3 7 示例3 A 1 2 7 B 1 2 3 7 3 真子集 如果A B 但存在元素x B 且x A 称A是B的真子集 示例3 A 1 2 7 B 1 2 3 7 3 真子集 如果A B 但存在元素x B 且x A 称A是B的真子集 3 集合相等与真子集的概念 知识要点 读作 A真包含于B 或B真包含A 对于实数a 有a a 则对于集合A 有 结论 任何一个集合都是它本身的子集 AB 或BA 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 我们规定 不含有任何元素的集合叫做空集 记作 知识要点 示例4 考察下列集合 并指出集合中的元素是什么 A x y x y 2 B x x2 1 0 x R A表示的是x y 2上的所有的点 B没有元素 4 空集 不含任何元素的集合为空集 记作 示例4 考察下列集合 并指出集合中的元素是什么 A x y x y 2 B x x2 1 0 x R A表示的是x y 2上的所有的点 B没有元素 4 空集 规定 空集是任何集合的子集 空集是任何集合的真子集 不含任何元素的集合为空集 记作 示例4 考察下列集合 并指出集合中的元素是什么 A x y x y 2 B x x2 1 0 x R A表示的是x y 2上的所有的点 B没有元素 4 空集 规定 空集是任何集合的子集 空集是任何集合的真子集 B是A的真子集 不含任何元素的集合为空集 记作 例5写出集合的所有子集 并指出哪些是它的真子集 例6 集合 a b c 则其子集为 a b c a b a c b c a b c 共8 个 其真子集有7 个 子集个数为 真子集个数为 1 概念 子集 集合相等 真子集 空集2 性质 1 空集是任何集合的子集 A 2 空集是任何非空集合的真子集 A A 3 任何一个集合是它本身的子集 课堂小结 4 含n个元素的集合的子集数为 非空子集数为 真子集数为 非空真子集数为 课堂小结 1 1 3集合的基本运算 思考 类比引入 两个实数除了可以比较大小外 还可以进行加法运算 类比实数的加法运算 两个集合是否也可以 相加 呢 思考 类比引入 考察下列各个集合 你能说出集合C与集合A B之间的关系吗 1 A 1 3 5 B 2 4 6 C 1 2 3 4 5 6 2 A x x是有理数 B x x是无理数 C x x是实数 集合C是由所有属于集合A或属于B的元素组成的 一般地 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合 称为集合A与B的并集 Unionset 记作 A B 读作 A并B 即 A B x x A 或x B Venn图表示 说明 两个集合求并集 结果还是一个集合 是由集合A与B的所有元素组成的集合 重复元素只看成一个元素 并集概念 例1 设A 4 5 6 8 B 3 5 7 8 求AUB 解 例2 设集合A x 1 x 2 B x 1 x 3 求AUB 并集例题 解 可以在数轴上表示例2中的并集 如下图 并集性质 A A A A B A A B B A B A B AB A 思考 类比引入 求集合的并集是集合间的一种运算 那么 集合间还有其他运算吗 思考 类比引入 考察下面的问题 集合C与集合A B之间有什么关系吗 1 A 2 4 6 8 10 B 3 5 8 12 C 8 2 A x x是新华中学2004年9月在校的女同学 B x x是新华中学2004年9月入学的高一年级同学 C x x是新华中学2004年9月入学的高一年级女同学 集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的 一般地 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 称为A与B的交集 intersectionset 记作 A B 读作 A交B 即 A B x x A且x B Venn图表示 说明 两个集合求交集 结果还是一个集合 是由集合A与B的公共元素组成的集合 交集概念 交集的概念 求 例3新华中学开运动会 设 A x x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学 B x x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学 解 就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合 所以 x x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学 交集例题 交集性质 A A A A B B A A B A A B B A B AA B 问题 实例引入 在下面的范围内求方程的解集 1 有理数范围 2 实数范围 并回答不同的范围对问题结果有什么影响 解 1 在有理数范围内只有一个解2 即 2 在实数范围内有三个解2 即 2 已知集合A x 2 x 4 B xx a 若A B 求实数a的取值范围 若A B A 求实数a的取值范围 1 已知x R 集合A 3 x2 x 1 B x 3 2x 1 x2 1 如果A B 3 求A B 一般地 如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素 那么就称这个集合全集 Universeset 通常记作U 全集概念 对于一个集合A 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集 complementaryset 简称为集合A的补集 Venn图表示 说明 补集的概念必须要有全集的限制 补集概念 记作 A即 A x x U且xA U A A 性质 1 2 U 补集例题 例5 设U x x是小于9的正整数 A 1 2 3 B 3 4 5 6 求A B 解 根据题意可知 U 1 2 3 4 5 6 7 8 所以 A 4 5 6 7 8 B 1 2 7 8 说明 可以结合Venn图来解决此问题 补集例题 例6 设全集U x x是三角形 A x x是锐角三角形 B x x是钝角三角形 求A B A B 解 根据三角形的分类可知 A B A B x x是锐角三角形或钝角三角形 A B x x是直角三角形 例7 设全集为R 求 1 求集合的并 交 补是集合间的基本运算 运算结果仍然还是集合 知识小结 3 注意结合Venn图或数轴进而用集合语言表达 增强数形结合的思想方法 2 区分交集与并集的关键是 且 与 或 在处理有关交集与并集的问题时 常常从这两个字眼出发去揭示 挖掘题设条件 集合 集合含义与表示 集合间关系 集合基本运算 列举法 描述法 图示法 子集 真子集 补集 并集 交集 一 本章知识结构 相等 空集 全集 1 2函数及其表示 设在一个变化过程中有两个变量x与y 如果对于x的每一个值 y都有惟一的值与它对应 则称x是自变量 y是x的函数 其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域 和自变量x的值对应的y的值叫做函数的值域 1 初中学习的函数概念是什么 一 回忆过去 学习过程 2 请问 我们在初中学过哪些函数 3 请同学们考虑以下两个问题 显然 仅用初中函数的概念很难回答这些问题 因此 需要从新的高度认识函数 环节1 实例 1 一枚炮弹发射后 经过26s落到地面击中目标 炮弹的射高为845m 且炮弹距地面的高度h 单位 m 随时间t 单位 s 变化的规律是h 130t 5t2 炮弹飞行时间t的变化范围是数集A t 0 t 26 炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B h 0 h 845 从问题的实际意义可知 对于数集A中的任意一个时间t 按照对应关系 在数集B中都有惟一的高度h和它对应 二 高中函数定义 归纳以上实例 我们看到 实例中变量之间的关系可以描述为 对于数集A中的每一个x 按照某种对应关系f 在数集B中都有惟一确定的y和它对应 记作f A B 环节2 函数的定义 函数的定义 设A B是非空数集 如果按照某种对应关系f 使对于集合A中的任意一个数x 在集合B中都有惟一确定的数f x 和它对应 那么就称f A B为从集合A到集合B的一个函数 记作y f x x A x叫做自变量 x的取值范围A叫做函数的定义域 与x的值相对应的y的值叫做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域 环节3 回顾已学函数 初中各类函数的对应法则 定义域 值域分别是什么 R R R R R 1 试说明函数定义中有几个要素 定义域 值域 对应法则 定义域 值域 对应关系是决定函数的三要素 是一个整体 值域由定义域 对应法则惟一确定 函数符号y f x 表示 y是x的函数 而不是表示 y等于f与x的乘积 判断正误1 函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应2 函数的定义域和值域一定是无限集合3 定义域和对应关系确定后 函数值域也就确定4 若函数的定义域只有一个元素 则值域也只有一个元素5 对于不同的x y的值也不同6 f a 表示当x a时 函数f x 的值 是一个常量 定义域和对应法则是否给出 根据所给对应法则 自变量x在其定义域中的每一个值 是否都有惟一确定的一个函数值y和它对应 判断下列对应能否表示y是x的函数 1 y x 2 y x 3 y x2 4 y2 x 5 y2 x2 1 6 y2 x2 1 1 能 2 不能 5 不能 3 能 4 不能 6 不能 判断下列图象能表示函数图象的是 D 设a b是两个实数 而且a b 我们规定 1 满足不等式a x b的实数x的集合叫做闭区间 表示为 a b 2 满足不等式a x b的实数x的集合叫做开区间 表示为 a b 1 满足不等式a x b或a x b的实数x的集合叫做半开半闭区间 表示为 a b 或 a b 环节4 区间的概念 请阅读课本P17关于区间的内容 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点 实数集R可以用区间表示为 读作 无穷大 满足x a x a x b x b的实数的集合分别表示为 a a b b 实数集R可以表示为 试用区间表示下列实数集 1 x 5 x 6 2 x x 9 3 x x 1 x 5 x 2 4 x x 9 x 9 x 20 注意 区间是一种表示连续性的数集 定义域 值域经常用区间表示用 实心点表示包括在区间内的端点 用空心点表示不包括在区间内的端点 求函数的定义域 三 例题演示 注意 研究一个函数一定在其定义域内研究 所以求定义域是研究任何函数的前提 函数的定义域常常由其实际背景决定 若只给出解析式时 定义域就是使这个式子有意义的实数x的集合 练习 求下列函数的定义域 1 2 4 5 C C 探究结论 实数集R 使分母不等于0的实数的集合 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合 使各部分式子都有意义的实数的集合 即各集合的交集 使实际问题有意义的实数的集合 自变量x在其定义域内任取一个确定的值时 对应的函数值用符号表示 练习 问题 如何判断两个函数是否相同 练习 P19练习3 两个函数相等 由函数的定义可知 一个函数的构成要素为 定义域 对应关系和值域 由于值域是由定义域和对应关系决定的 所以 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致 我们就称这两个函数相等 练习1 下列说法中正确的有 1 y f x 与y f t 表示同一个函数 2 y f x 与y f x 1 不可能是同一个函数 3 f x 1与g x x0是同一函数 4 定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数A 1个B 2个C 3个D 4个 练习2 下列各组函数表示同一函数的是 A D 四 要点小结 3 会求简单函数的定义域和函数值 4 理解区间是表示数集的一种方法 会把不等式转化为区间 数学天才 莱布尼兹 函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的 以描述曲线的一个相关量 如曲线的斜率或者曲线上的某一点 莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数 数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类 对于可导函数可以讨论它的极限和导数 此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系 是微积分学的基础 复合函数 已知f g x 的定义域为D 则f x 的定义域为g x 在D上值域 已知复合函数定义域求原函数定义域 例如 若函数y f x 1 的定义域为 2 3 则y f 2x 1 的定义域是 A 0 5 2 B 1 4 C 5 5 D 3 7 A 三 函数的值域 函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域 例1 求函数的值域 例2 求函数的值域 例3 函数的值域为 A 5 B 0 C 5 D 0 5 D 练习 函数的值域为 A 2 B 4 C 2 4 D 2 C 例4 求函数的值域 练习 求函数的值域 本节小结 1 函数的概念 2 函数的三要素 3 函数的定义域与值域的求解 4 两个函数相等 函数 定义域 奇偶性 图象 值域 单调性 二次函数 指数函数 对数函数 函数的复习主要抓住两条主线 1 函数的概念及其有关性质 2 几种初等函数的具体性质 反比例函数 函数的概念 B C x1x2x3x4x5 y1y2y3y4y5 y6 A 函数的三要素 定义域 值域 对应法则 A B是两个非空的集合 如果按照某种对应法则f 对于集合A中的每一个元素x 在集合B中都有唯一的元素y和它对应 这样的对应叫做从A到B的一个函数 反比例函数 1 定义域 2 值域 3 图象 k 0 k 0 二次函数 1 定义域 2 值域 3 图象 a 0 a 0 指数函数 1 定义域 2 值域 3 图象 a 1 0 a 1 R y x o 1 y x o 1 对数函数 1 定义域 2 值域 3 图象 a 1 0 a 1 R 1 1 在同一平面直角坐标系内作出幂函数y x y x2 y x3 y x1 2 y x 1的图象 0 减 0 减 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 公共点 0 减 增 增 0 增 增 单调性 奇 非奇非偶 奇 偶 奇 奇偶性 y y 0 0 R 0 R 值域 x x 0 0 定义域