结构动力学多自由度PPT课件.ppt

多自由度体系的振动分析 1 运动方程 多自由度体系的动力平衡方程 即 考虑几何刚度 或 2 弹性特性 刚度的定义 表示一个自由度发生相应单位位移而其他节点不动时在结构中所产生的的力 3 弹性特性 柔度的定义 在j坐标施加单位荷载而引起的i坐标的挠度 则任意荷载组合下 用矩阵表示 4 结构的基本概念 应变能 由于应变能恒大于零 故 为正定矩阵 故 互为逆矩阵 5 Betti定律 情况1 情况2 6 Betti定律 由能量相等原理 Betti定律说明 第一组荷载在第二组荷载所引起的位移上所做的功 等于第二组荷载在第一组荷载所引起的位移上所做的功 由Betti原理 故 均为对称矩阵 7 单元刚度矩阵 单元刚度系数表示由单位节点位移所引起的节点力 单元刚度系数由虚位移法求得 例如 课本P106图11 5所示简支梁中 令a端发生单位转角 并给该处一竖向虚位移 零外力所做的功 等于内力所做的功 8 单元刚度矩阵 等截面梁的刚度矩阵 当结构的全部有限自由度的刚度系数均以求得后 只要适当地叠加单元的刚度系数 就能得到整个结构的刚度 这就叫做直接刚度法 结构的任何一个刚度系数 都能通过与这些节点相连的单元 所对应的刚度系数叠加求得 9 质量特性 集中质量矩阵 任何结构的质量特性 最简单的方法是假定全部质量凝聚在某些需要计算平移位移的点上 为了确定配置在每一个节点上的点质量 常用的方法是假定结构分割成段 以节点做为连接点 一致质量矩阵 10 阻尼特性 其中 c x 表示分布的粘滞阻尼特性 一致节点荷载 若荷载的分布形式不随时间变化 11 几何刚度 几何刚度表示结构在轴向荷载分量作用下引起的屈曲趋势 它不仅依赖于结构的外形 而且依赖于荷载条件 对某一微段 对于梁系的线性近似形式 结构的几何刚度矩阵具有三对角形式两个相邻单元提供了对角线项 单个单元提供了各个非对角线项 或称耦合项 一致几何刚度 12 静力凝聚 从刚度矩阵中消去不要的自由度的过程叫做静力凝聚 13 无阻尼自由振动 振动频率分析 略去阻尼矩阵和施加的荷载向量的影响 假定以上多自由度体系的振动是简谐振动 表示体系的形状 不随时间变化 14 无阻尼自由振动 振动频率分析 即 上式的N个根 表述体系可能存在的N个振型的频率 可以证明 稳定的结构体系具有实的 对称的 正定的质量和刚度矩阵 频率方程所有的根都是实的和正的 15 称为频率方程或特征方程 将频率方程展开 可得到一个关于w2的n次代数方程 从频率方程可解得n个正实根 开方得到各阶频率 记作 如果方程存在非零解 则系数行列式必为零 即 16 频率谱 w1 w2 wn 分别称作第1阶频率 第2阶频率 第n阶频率 动力学问题转变为矩阵求特征值问题 频率向量 17 将频率方程展开 可得到关于w2的n次代数方程 从频率方程可解得n个正实根 开方得到各阶频率 频率方程 Nextstep 振型 Modeshapes 多自由度体系的自由振动方程 18 无阻尼自由振动 振型分析 则 上式中 振型的幅值不能确定 振动体系的形状可以按照任何一个坐标所表示的各点位移来确定 振型可理解为各自由度幅值的相对值 19 无阻尼自由振动 振型分析 展开 从而 20 无阻尼自由振动 振型分析 即 故 以上为求解第n阶频率对应振型的方法 21 第i个振型方程中的n个方程中只有n 1个是独立的 无法得到j1i j2i jni的确定值 但可以确定各质点振幅之间的相对比值 振型的幅值是任意的 但形状是惟一的 j称为振型矩阵 ji称为对应于第i阶频率wi的主振型 简称第i阶振型 为了描述振型的形状 进行规格化处理 振型规格化处理方式很多 原则 保持形状不变 最简单可取ji的第一个元素j1i 1 振型方程 4 15 22 按j1i 1进行振型规格化 得到按j1i 1规格化的振型 4 19 4 18 23 对于有n个自由度的体系 可以得到n个线性无关的主振型 规格化的主振型矩阵 4 19 24 无阻尼多自由度结构体系自由振动方程 第i阶振型的特解 用规格化振型表示成 这样的特解有n个 25 振型的物理意义 26 无阻尼自由振动 振型分析 将N个振型中的每一振型形式 用F表示N个振型所组成的方阵 以上矩阵为结构的振型矩阵 为一N N方阵 27 无阻尼自由振动 振动分析的柔度法 各项前乘 可得 即 注意 即使质量矩阵和柔度矩阵都是对称的 它们的乘机也是不对称的 求解结构特征值的另一种方法 28 无阻尼自由振动 轴向力的影响 频率方程 此时 只须将组合刚度中的矩阵代替弹性刚度矩阵 分析方法如前所述 对于任何给定的轴向荷载都可以计算其几何刚度以及组合刚度 体系在轴向压力作用下 减小了结构的有效刚度 振动频率亦因此降低 自由振动情况 29 无阻尼自由振动 轴向力的影响 引入基准荷载作用下的几何刚度 屈曲荷载 若振动频率为零 则 实际上 只有第一阶屈曲荷载以及形状才是有意义的 30 无阻尼自由振动 轴向力的影响 动力平衡方程 简谐振动的屈曲 若结构受外力作用 定义 31 无阻尼自由振动 轴向力的影响 若允许荷载向量的幅值趋近于零 零轴向荷载条件引起不受力结构按自振频率振动屈曲 It sinterestingtonotethatazero axial loadconditioncauses buckling attheunstressednatural vibrationfrequencyaccordingtothisdefinition 32 If 两个n维向量A1和A2存在如下关系 称向量A1和A2正交 If 存在一个方阵B 使得 称向量A1和A2加权正交 称向量A1和A2对矩阵B正交 B称为权矩阵 无阻尼自由振动 正交条件 33 无阻尼自由振动 正交条件 由教材图12 1 m处惯性力在n处产生的挠度 等于n处惯性力在m处产生的挠度 自由振动关系 则 又因为 34 2020 1 8 35 无阻尼自由振动 正交条件 故 当时 在二个振型频率不相同情况下 上述正交条件成立 同理 当时 正交条件仅对二个振型频率不相同情况适用 而对具有相同频率的两个振型 不适用 36 无阻尼自由振动 振型的规格化 特征值问题的解得到的振型幅值是任意的 任何幅值都满足基本频率方程 只有振型的形状是唯一的 一个自由度的幅值取1 并以这个指定值为基准确定其他位移 这叫做关于特定坐标的振型的规格化 另一种规格化方法是 取最大的一个振幅为1 而不取特定的坐标值 最常用的规格化方法 是调整每个振型振幅 使满足 37 无阻尼自由振动 振型的规格化 由于 只需将振型除以即可 此外 由于 此方法规格化的振型叫做对应于质量矩阵正交规格化振型 38 动力反应的分析 位移状态是用位移向量v的N个分量来确定的 在线性体系的动力反应中 自由振动的振型是表示位移的一种非常有用的方法 这些振型构成了N个独立的位移模式 其振幅可以作为广义坐标以表示任意形式的位移 振型F的作用是 将广义坐标Y转换成几何坐标v 这些振型幅值的广义坐标叫做结构的正规坐标 39 Y 位移 j 振型 v 振型系数 体系的位移可以分解为各阶振型的线性组合 40 给定位移向量Y 广义坐标向量v可按下式计算 两边左乘可得 利用正交性 正规坐标 动力反应的分析 41 多自由度体系无阻尼自由振动方程 不耦合的运动方程 无阻尼 即 对各项左乘 由于 42 多自由度体系无阻尼自由振动方程 不耦合的运动方程 无阻尼 可化为 设 则 广义质量 广义刚度 广义荷载 43 多自由度体系无阻尼自由振动方程 不耦合的运动方程 无阻尼 频率的关系 对于结构的每一个振型 可以先求得一个独立的单自由度方程 因此采用正规坐标就可以将质量与刚度矩阵有非对角线项耦合的N个联立运动微分方程转换成为N个独立的正规坐标方程 由此确定动力反应时首先分别求解每一个正规 振型 坐标的反应 然后叠加即可得出用原始坐标 自然坐标 表示的反应 这种方法叫振型叠加法 44 多自由度体系有阻尼自由振动方程 不耦合的运动方程 有阻尼 正规坐标的形式 由于m n时 仿照以上关系 设m n时 上式写成 45 多自由度体系有阻尼自由振动方程 不耦合的运动方程 有阻尼 或 其中 广义质量 广义刚度 广义荷载 广义阻尼 46 其中和为任意的比例系数 不耦合的运动方程 有阻尼 假定正规坐标变换按惯性力和弹性力不耦合的同样方法用于阻尼力不耦合的情形中 Rayleigh指出如下形式的阻尼矩阵 阻尼正交性条件 求解系数 由质量矩阵和刚度矩阵的正交性 阻尼矩阵的一般形式为 47 不耦合的运动方程 有阻尼 同理 故 48 不耦合的运动方程 有阻尼 另一种方法 49 不耦合的运动方程 有阻尼 体系的对角广义质量矩阵 50 不耦合的运动方程 有阻尼 在上式中 每一振型对阻尼矩阵起的作用与振型的阻尼比成比例 因此 任何无阻尼的振型对阻尼矩阵不起作用 51 振型叠加法概要 第一步 运动方程 第二步 振型和频率分析 第三步 广义质量和荷载 第四步 不耦合的振型反应 52 振型叠加法概要 第五步 对荷载的振型反应 第六步 振型自由振动 53 振型叠加法概要 第七步 在几何坐标中的位移反应 第八步 弹性力反应 即 54 运动方程的变分形式 广义坐标 广义坐标的定义 N个自由度体系的广义坐标用任意一组N个独立的量来定义 这些量是完全独立的 所以广义坐标之间不得以任何方式通过体系上的几何约束相关连 几何约束条件 55 运动方程的变分形式 Lagrange方程 Hamilton原理 动能可以用广义坐标和它们的一次导数表示 位能可以单独用广义坐标表示 非保守力在广义坐标的一组任意变分所引起的虚位移上所做的虚功 可以表示为这些变分的线性函数 56 运动方程的变分形式 Lagrange方程 代入Hamilton原理公式 由分部积分公式 由 57 运动方程的变分形式 Lagrange方程 故 Lagrange运动方程 58 运动方程的变分形式 普遍运动方程 由算例 此时 Lagrange运动方程写为 59 运动方程的变分形式 普遍运动方程 Lagrange运动方程 注意 包括阻尼力在内的全部非保守力都包含在广义力函数Q1 Q2 QN里 例 一个弯曲构件的侧向挠度 若m x 为构件单位长度的质量 动能表示为 60 运动方程的变分形式 普遍运动方程 其中 类似地 若EI x 为构件的刚度 弯曲变形能表示为 其中 61 运动方程的变分形式 普遍运动方程 为了得到广义力函数Q1 Q2 QN 必须求得非保守力所做的虚功dWnc 它指对体系施加任意一组虚位移dq1 dq2 dqN时 由作用 或潜在于 弯曲构件上的全部非保守力所做的功 假定弯曲构件的材料服从单向应力应变关系 假定弯矩 位移关系 上式中 第一项由保守力产生 第二项由非保守力产生 62 运动方程的变分形式 普遍运动方程 非保守力所做的虚功 假定非保守力仅限于横向分布荷载p x t 这些力