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文档简介

2014届高三模拟考试试卷(二)数学(满分160分,考试时间120分钟)20143参考公式:柱体的体积公式:VSh,其中S为柱体的底面积,h为柱体的高圆柱的侧面积公式:S侧2Rh,其中R为圆柱的底面半径,h为圆柱的高一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分1. 函数f(x)lnx的定义域为_(第3题)2. 已知复数z12i,z2a2i(i为虚数单位,aR)若z1z2为实数,则a的值为_3. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩,并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在300,350)内的学生人数共有_4. 盒中有3张分别标有1,2,3的卡片从盒中随机抽取一张记下号码后放回,再随机抽取一张记下号码,则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为_5. 已知等差数列an的公差d不为0,且a1,a3,a7成等比数列,则的值为_6. 执行如图所示的流程图,则输出的k的值为_(第6题)(第7题)7. 函数f(x)Asin(x)(A、为常数,A0,0,0)的图象如图所示,则f的值为_8. 在平面直角坐标系xOy中,双曲线1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y24x的准线相交于A、B两点若AOB的面积为2,则双曲线的离心率为_9. 表面积为12的圆柱,当其体积最大时,该圆柱的底面半径与高的比为_10. 已知|1,|2,AOB,则与的夹角大小为_11. 在平面直角坐标系xOy中,过点P(5,3)作直线l与圆x2y24相交于A、B两点若OAOB,则直线l的斜率为_12. 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当0x1时,f(x)x2,当x1时,f(x1)f(x)f(1)若直线ykx与函数yf(x)的图象恰有5个不同的公共点,则实数k的值为_13. 在ABC中,点D在边BC上,且DC2BD,ABADAC3k1,则实数k的取值范围为_14. 设函数f(x)axsinxcosx.若函数f(x)的图象上存在不同的两点A、B,使得曲线yf(x)在点A、B处的切线互相垂直,则实数a的取值范围为_二、 解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAB平面ABCD,PAPB,BPBC,E为PC的中点求证:(1) AP平面BDE;(2) BE平面PAC.16. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,角的顶点是坐标原点,始边为x轴的正半轴,终边与单位圆O交于点A(x1,y1),.将角终边绕原点按逆时针方向旋转,交单位圆于点B(x2,y2)(1) 若x1,求x2;(2) 过A、B作x轴的垂线,垂足分别为C、D,记AOC及BOD的面积分别为S1、S2,且S1S2,求tan的值17.(本小题满分14分)如图,经过村庄A有两条夹角为60的公路AB、AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A),要求PMPNMN2(单位:km)如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2,一条准线方程为x2.P为椭圆C上一点,直线PF1交椭圆C于另一点Q.(1) 求椭圆C的方程;(2) 若点P的坐标为(0,b),求过P、Q、F2三点的圆的方程;(3) 若,且,求的最大值19. (本小题满分16分)已知函数f(x)ex,a、bR,且a0.(1) 若a2,b1,求函数f(x)的极值;(2) 设g(x)a(x1)exf(x) 当a1时,对任意x(0,),都有g(x)1成立,求b的最大值; 设g(x)为g(x)的导函数若存在x1,使g(x)g(x)0成立,求的取值范围20. (本小题满分16分)已知数列an的各项都为正数,且对任意nN*,a2n1,a2n,a2n1成等差数列,a2n,a2n1,a2n2成等比数列(1) 若a21,a53,求a1的值;(2) 设a1a2,求证:对任意nN*,且n2,都有. 2014届高三模拟考试试卷(二)数学附加题(满分40分,考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分若多做,则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修41:几何证明选讲)如图,ABC为圆的内接三角形,ABAC,BD为圆的弦,且BDAC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.(1) 求证:四边形ACBE为平行四边形;(2) 若AE6,BD5,求线段CF的长B. (选修42:矩阵与变换)已知矩阵A的一个特征值为2,其对应的一个特征向量为.(1) 求矩阵A;(2) 若A,求x、y的值C. (选修44:坐标系与参数方程)在极坐标系中,求曲线2cos关于直线(R)对称的曲线的极坐标方程D. (选修45:不等式选讲)已知x、yR,且|xy|,|xy|,求证:|x5y|1.【必做题】 第22、23题,每小题10分,共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 某中学有4位学生申请A、B、C三所大学的自主招生若每位学生只能申请其中一所大学,且申请其中任何一所大学是等可能的(1) 求恰有2人申请A大学的概率;(2) 求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)23.设f(n)是定义在N*上的增函数,f(4)5,且满足: 任意nN*,有f(n)Z; 任意m、nN*,有f(m)f(n)f(mn)f(mn1)(1) 求f(1),f(2),f(3)的值;(2) 求f(n)的表达式2014届高三模拟考试试卷(二)(南京)数学参考答案及评分标准1. (0,12. 43. 3004. 5. 26. 47. 18. 9. 10. 6011. 1或12. 2213. 14. 1,115. 证明:(1) 设ACBDO,连结OE.因为ABCD为矩形,所以O是AC的中点因为E是PC中点,所以OEAP.(4分)因为AP平面BDE,OE平面BDE,所以AP平面BDE.(6分)(2) 因为平面PAB平面ABCD,BCAB,平面PAB平面ABCDAB,BC平面ABCD,所以BC平面PAB.(8分)因为AP平面PAB,所以BCPA.因为PBPA,BCPBB,BC,PB平面PBC,所以PA平面PBC.(12分)因为BE平面PBC,所以PABE.因为BPBC,E为PC中点,所以BEPC.因为PAPCP,PA、PC平面PAC,所以BE 平面PAC.(14分)16. 解:(1) 因为x1,y10,所以y1.所以sin,cos.(2分)所以x2coscoscossinsin.(6分)(2) S1sincossin2.因为,所以.所以S2sincossincos2.(8分)因为S1S2,所以sin2cos2,即tan2.(10分)所以,解得tan2或tan.因为,所以tan2.(14分)17. 解:解法1:设AMN,在AMN中,.因为MN2,所以AMsin(120)(2分)在APM中,cosAMPcos(60)(6分)AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2(120)422sin(120)cos(60)(8分)sin2(60)sin(60)cos(60)41cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150),(0,120)(12分)当且仅当2150270,即60时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.答:设计AMN为60时,工厂产生的噪声对居民的影响最小(14分)解法2:设AMx,ANy,AMN.在AMN中,因为MN2,MAN60,所以MN2AM2AN22AMANcosMAN,即x2y22xycos60x2y2xy4.(2分)因为,即,所以siny,cos.(6分)cosAMPcos(60)cossiny.(8分)在AMP中,AP2AM2PM22AMPMcosAMP,即AP2x2422xx24x(x2y)42xy.(12分)因为x2y2xy4,4xyx2y22xy,即xy4.所以AP212,即AP2.当且仅当xy2时,AP取得最大值2.答:设计AMAN2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小(14分)18. (1) 解:由题意得解得c1,a22,所以b2a2c21.所以椭圆的方程为y21.(2分)(2) 因为P(0,1),F1(1,0),所以PF1的方程为xy10.由解得或所以点Q的坐标为.(4分)解法1:因为kPF1kPF21,所以PQF2为直角三角形(6分)因为QF2的中点为,QF2,所以圆的方程为.(8分)解法2:设过P、Q、F2三点的圆为x2y2DxEyF0,则解得所以圆的方程为x2y2xy0.(8分)(3) 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则(x11,y1),(1x2,y2)因为,所以即所以解得x2.(12分)所以x1x2y1y2x2(1x2)yx(1)x2(1).(14分)因为,所以22,当且仅当,即1时,取等号所以,即的最大值为.(16分)19. 解:(1) 当a2,b1时,f(x)ex,定义域为(,0)(0,),所以f(x)ex.(2分)令f(x)0,得x11,x2,列表x(,1)1(1,0)f(x)00f(x)极大值极小值由表知f(x)的极大值是f(1)e1,f(x)的极小值是f4.(4分)(2) 因为g(x)(axa)exf(x)ex,当a1时,g(x)ex.因为g(x)1在x(0,)上恒成立,所以bx22x在x(0,)上恒成立(8分)记h(x)x22x(x0),则h(x).当0x1时,h(x)0,h(x)在(0,1)上是减函数;当x1时,h(x)0,h(x)在(1,)上是增函数所以h(x)minh(1)1e1.所以b的最大值为1e1.(10分) 因为g(x)ex,所以g(x)ex.由g(x)g(x)0,得exex0,整理得2ax33ax22bxb0.存在x1,使g(x)g(x)0成立,等价于存在x1,2ax33ax22bxb0成立(12分)因为a0,所以.设u(x)(x1),则u(x).因为x1,u(x)0恒成立,所以u(x)在(1,)上是增函数,所以u(x)u(1)1,所以1,即的取值范围为(1,)(16分)20. (1) 解:因为a3,a4,a5成等差数列,设公差为d,则a332d,a43d.因为a2,a3,a4成等比数列,所以a2.(3分)因为a21,所以1,解得d2或d.因为an0,所以d.因为a1,a2,a3成等差数列,所以a12a2a32(32d).(5分)(2) 证法1:因为a2n1,a2n,a2n1成等差数列,a2n,a2n1,a2n2成等比数列,所以2a2na2n1a2n1,aa2na2n2.所以aa2n2a2n,n2.所以2a2n.因为an0,所以2.(7分)即数列是等差数列所以(n1)()由a1,a2及a2n1,a2n,a2n1是等差数列,a2n,a2n1,a2n2是等比数列,可得a4.所以(n1)().所以a2n.所以a2n2.(10分)从而a2n1.所以a2n1. 当n2m,mN*时,0.(14分) 当n2m1,mN*,m2时,0.综上,对一切nN*,且n2,都有.(16分)证法2: 若n为奇数且n3时,则an,an1,an2成等差数列因为0,所以.(9分) 若n为偶数且n2时,则an,an1,an2成等比数列,所以.(11分)由可知,对任意n2,nN*,.(14分)因为,因为a1a2,所以0,即.综上,对一切nN*,且n2,都有.(16分)2014届高三模拟考试试卷(二)(南京)数学附加题参考答案及评分标准21. A. (1) 证明:因为AE与圆相切于点A,所以BAEACB.因为ABAC,所以ABCACB.所以ABCBAE.所以AEBC.因为BDAC,所以四边形ACBE为平行四边形(4分)(2) 解:因为AE与圆相切于点A,所以AE2EB(EBBD),即62EB(EB5),解得BE4.根据(1)有ACBE4,BCAE6.设CFx,由BDAC,得,即,解得x,即CF.(10分)C. 解法1:以极点为坐标原点,极轴为x轴建立直角坐标系,则曲线2cos的直角坐标方程为(x1)2y21,且圆心C为(1,0)(4分)直线的直角坐标方程为yx,因为圆心C(1,0)关于yx的对称点为(0,1),所以圆C关于yx的对称曲线为x2(y1)21.(8分)所以曲线2cos关于直线对称的曲线的极坐标方程为2sin.(10分)解法2:设曲线2cos上任意一点为(,),其关于直线对称点为(,),则 (6分)将(,)代入2cos,得2cos,即2sin.所以曲线2cos关于直线(R)对称的曲线的极坐标方程为2sin.(10分)D. 证明:因为|x5y|3(xy)2(xy)|.(5分)由绝对值不等式性质,得|x5y|3(x

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