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南京市高三数学试卷第页(共6页)南京市2011届高三第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)201101参考公式：1. 样本数据x1，x2，xn的方差s2(xi)2，其中是这组数据的平均数2. 柱体、锥体的体积公式：V柱体Sh，V锥体Sh，其中S是柱(锥)体的底面面积，h是高一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 函数y的定义域是_2. 已知复数z满足(z2)i1i(i为虚数单位)，则z的模为_(第4题)3. 已知实数x、y满足则z2xy的最小值是_4. 如图所示的流程图，若输入的x9.5，则输出的结果为_5. 在集合A2,3中随机取一个元素m，在集合B1,2,3中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2y29内部的概率为_6. 已知平面向量a、b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为.以a、b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为_7. 为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如右图，则该组数据的方差为_8. 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若1，则角A的大小为_9. 已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为_10. 已知正数数列an对任意p、qN*，都有apqapaq.若a24，则a9_.11. 已知l、m是两条不同的直线，、是两个不同的平面下列命题： 若l，m，l，m，则； 若l，l，m，则lm； 若，l，则l； 若l，ml，则m.其中真命题是_(写出所有真命题的序号)12. 已知f(x)log2(x2)若实数m、n满足f(m)f(2n)3，则mn的最小值是_13. 在ABC中，已知BC2，1，则ABC面积的最大值是_14. 若直角坐标平面内两点P、Q满足条件： P、Q都在函数f(x)的图象上； P、Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)已知函数f(x)则f(x)的“友好点对”有_个二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)已知函数f(x)2sin(x)(0,0)的最小正周期为，且f().(1) 求、的值；(2) 若f()(0)，求cos2的值(本小题满分14分)如图，在棱长均为4的三棱柱ABCA1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点(1) 求证：A1D1平面AB1D；(2) 若平面ABC平面BCC1B1，B1BC60，求三棱锥B1ABC的体积17. (本小题满分14分)如图，在半径为30 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上(1) 怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；(2) 若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积18. (本小题满分16分)在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点(2，1)到两焦点的距离之和为4.(1) 求椭圆C的方程；(2) 过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B两点，其中点A在x轴下方，且3.求过O、A、B三点的圆的方程19. (本小题满分16分)将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知表中的第一列数a1，a2，a5，构成一个等差数列，记为bn，且b24，b510.表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，构成数列cn，其前n项和为Sn.(1) 求数列bn的通项公式；(2) 若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a131. 求Sn； 记Mn|(n1)cn，nN*，若集合M的元素个数为3，求实数的取值范围20. (本小题满分16分)已知函数f(x)x1alnx(aR)(1) 若曲线yf(x)在x1处的切线的方程为3xy30，求实数a的值；(2) 求证：f(x)0恒成立的充要条件是a1；(3) 若a0，且对任意x1，x2(0,1，都有|f(x1)f(x2)|4，求实数a的取值范围.南京市高三数学附加题试卷第页(共2页)南京市2011届高三第一次模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修41：几何证明选讲如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A、B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E.求证：CBCE.B. 选修42：矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，直线l：xy20在矩阵M对应的变换作用下得到直线m：xy40，求实数a，b的值C. 选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C：10cos和直线l：3cos4sin300相交于A、B两点，求线段AB的长D. 选修45：不等式选讲解不等式|2x4|4|x|.【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，A1A，M是CC1的中点(1) 求证：A1BAM；(2) 求二面角BAMC的平面角的大小23. 已知等比数列an的首项a12，公比q3，Sn是它的前n项和求证：.南京市高三数学参考答案第页(共4页)南京市2011届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. 0,22. 3. 14. 15. 6. 7. 58. 9. 110. 51211. 12. 713. 14. 215. 解：(1) 由函数的周期为，可知，所以2.(2分)又由f()，得2sin()，所以cos.又(0，)，所以.(5分)(2) (方法1)由f()，得sin().(7分)因为(0，)，所以(，)又sin()0，所以(，)，所以cos().(10分)所以cos2sin(2)2sin()cos().(14分)(方法2)由f()，得sin().(7分)因为(0，)，所以(，)又sin()0，所以(，)，所以cos().(10分)所以coscos()cos()cossin()sin.所以cos22cos212()21.(14分)(方法3)由f()，得sin().(7分)所以sincos.所以1sin2，即sin2.(10分)因为(0，)，所以(，)又sin()0，所以(，)，即(，)，2(，2)所以cos2.(14分)16. (1) 证明：如图，连结DD1.在三棱柱ABCA1B1C1中，因为D、D1分别是BC与B1C1的中点，所以B1D1BD，且B1D1BD.所以四边形B1BDD1为平行四边形，所以BB1DD1，且BB1DD1.又AA1BB1，AA1BB1，所以AA1DD1，AA1DD1，所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以A1D1AD.(4分)又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D，故A1D1平面AB1D.(6分)(2) 解：(方法1)在ABC中，因为ABAC，D为BC的中点，所以ADBC.因为平面ABC平面B1C1CB，交线为BC，AD平面ABC，所以AD平面B1C1CB，即AD是三棱锥AB1BC的高(10分)在ABC中，由ABACBC4，得AD2.在B1BC中，B1BBC4，B1BC60，所以B1BC的面积SB1BC424.所以三棱锥B1ABC的体积，即三棱锥AB1BC的体积VSB1BCAD428.(14分)(方法2)在B1BC中，因为B1BBC，B1BC60，所以B1BC为正三角形，因此B1DBC.因为平面ABC平面B1C1CB，交线为BC，B1D平面B1C1CB，所以B1D平面ABC，即B1D是三棱锥B1ABC的高(10分)在ABC中，由ABACBC4得ABC的面积SABC424.在B1BC中，因为B1BBC4，B1BC60，所以B1D2.所以三棱锥B1ABC的体积VSABCB1D428.(14分)17. 解：(1) (方法1)连结OC.设BCx，矩形ABCD的面积为S.则AB2，其中0x30.(2分)所以S2x2x2(900x2)900.(4分)当且仅当x2900x2，即x15时，S取最大值为900 cm2.答：取BC为15 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900 cm2.(6分)(方法2)连结OC.设BOC，矩形ABCD的面积为S.则BC30sin，OB30cos，其中0.(2分)所以SABBC2OBBC900sin2.(4分)所以当sin21，即时，S取最大值为900 cm2，此时BC15.答：取BC为15 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900 cm2.(6分)(2) (方法1)设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V.由AB22r，得r，所以Vr2h(900xx3)，其中0x30.(10分)由V(9003x2)0，得x10，因此V(900xx3)在(0,10)上是增函数，在(10，30)上是减函数(12分)所以当x10时，V的最大值为.答：取BC为10 cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为 cm3.(14分)(方法2)连结OC，设BOC，圆柱底面半径为r，高为h，体积为V，则圆柱的底面半径为r，高h30sin，其中0.所以Vr2hsincos2(sinsin3)(10分)设tsin，则V(tt3)由V(13t2)0，得t，因此V(tt3)在(0，)上是增函数，在(，1)上是减函数(12分)所以当t时，即sin，此时BC10时，V的最大值为.答：取BC为10 cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为 cm3.(14分)18. (1) 解：由题意，设椭圆C：1(ab0)，则2a4，a2.(2分)因为点(2，1)在椭圆1上，所以1，解得b，故所求椭圆方程为1.(5分)(2) 证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)点F的坐标为F(3,0)由3，得即(7分)又A、B在椭圆C上，所以解得所以B(，)，代入得A点坐标为(2，)(12分)因为0，所以OAAB.所以过O、A、B三点的圆就是以OB为直径的圆，其方程为x2y2xy0.(16分)19. 解：(1) 设数列bn的公差为d，则解得所以bn2n.(4分)(2) 设每一行组成的等比数列的公比为q.由于前n行共有135(2n1)n2个数，且321342，所以a10b48.所以a13a10q38q3.又a131，解得q.因此cn2n()n1.(7分)所以Snc1c2c3cn.Sn.因此Sn44.解得Sn8.(10分) 由知，cn，不等式(n1)cn，可化为.设f(n)，计算得f(1)4，f(2)f(3)6，f(4)5，f(5).因为f(n1)f(n)，所以当n3时，f(n1)f(n)(14分)因为集合M的元素的个数为3，所以的取值范围是(4,5(16分)20. (1) 解：因为f(x)1，所以f(1)1a.所以曲线yf(x)在x1处切线的斜率为1a.因为曲线yf(x)在x1处的切线为3xy30，所以1a3，解得a2.(3分)(2) 证明： 充分性当a1时，f(x)x1lnx，f(x)1，所以当x1时，f(x)0，所以函数f(x)在(1，)上是增函数；当0x1时，f(x)0，所以函数f(x)在(0,1)上是减函数所以f(x)f(1)0.(5分) 必要性(方法1)f(x)1，其中x0.() 当a0时，f(x)0恒成立，所以函数f(x)在(0，)上是增函数而f(1)0，所以当x(0,1)时，f(x)0，与f(x)0恒成立相矛盾所以a0不满足题意(7分)() 当a0时，因为当xa时，f(x)0，所以函数f(x)在(a，)上是增函数；当0xa时，f(x)0，所以函数f(x)在(0，a)上是减函数所以f(x)f(a)a1alna.因为f(1)0，所以当a1时，f(a)f(1)0，此时与f(x)0恒成立相矛盾所以a1.综上所述，f(x)0恒成立的充要条件是a1.(10分)(方法2)f(x)1，其中x0.() 当a0时，因为f(x)0恒成立，所以函数f(x)在(0，)上是增函数而f(1)0，所以当x(0,1)时，f(x)0，与f(x)0恒成立相矛盾所以a0不满足题意(7分)() 当a0时，因为当xa时，f(x)0，所以函数f(x)在(a，)上是增函数；当0xa时，f(x)0，所以函数f(x)在(0，a)上是减函数所以f(x)f(a)a1alna.于是，由f(x)0恒成立可知，存在a0，使得f(a)a1alna0.记函数(x)x1xlnx，则(x)lnx，当0x1时，(x)0，所以函数(x)在(0,1)上是增函数，当x1时，(x)0，所以函数(x)在(1，)上是减函数，所以(x)(1)0，所以a1.综上所述，f(x)0恒成立的充要条件是a1.(10分)(3) 解：由(2)可知，当a0时，函数f(x)在(0,1上是增函数又函数y在(0,1上是减函数不妨设0x1x21，则|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x1)，所以|f(x1)f(x2)|4等价于f(x2)f(x1)，即f(x2)f(x1).设h(x)f(x)x1alnx，则|f(x1)f(x2)|4等价于函数h(x)在区间(0,1上是减函数(13分)因为h(x)1，所以x2ax40在x(0,1时恒成立，即ax在x(0,1上恒成立，即a不小于yx在区间(0,1内的最大值而函数yx在区间(0,1上是增函数，所以yx的最大值为3.所以a3.又a0，所以a3,0)(16分)南京市高三数学附加题参考答案第页(共2页)南京市2011届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. A. 选修41：几何证明选讲证明：(方法1)连结BE.因为AB是半圆O的直径，E为圆周上一点，所以AEB90，即BEAD.又因为ADl，所以BEl.所以DCECEB.(5分)因为直线l是圆O的切线，所以DCECBE.所以CBECEB.所以CECB.(10分)(方法2)连结AC、BE，在DC延长线上取一点F.因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，所以ACB90，即BCFACD90.又因为ADl，所以DACACD90.所以BCFDAC.(5分)又因为直线l是圆O的切线，所以CEBBCF.又DACCBE，所以CBECEB.所以CECB.(10分)B. 选修42：矩阵与变换解：(方法1)在直线l：xy20上取两点A(2,0)，B(0，2)A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A、B.因为，所以A的坐标为(2，2b)；，所以B的坐标为(2a，8)(6分)由题意A、B在直线m：xy40上，所以解得a2，b3.(10分)(方法2)设直线l：xy20上任意点(x，y)在矩阵M对应的变换作用下对应于点(x，y)因为，所以xxay，ybx4y.解得x，y.(6分)因此20，即(b4)x(a1)y(2ab8)0.因为直线l在矩阵M对应的变换作用下得到直线m：xy40.所以.解得a2，b3.(10分)C. 选修44：坐标系与参数方程解：分别将圆C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C：x2y210x，即(x5)2y225，圆心C(5,0)直线l：3x4y300.(6分)因为圆心C到