黑龙江省海林市高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例导学案 新人教A版选修1-1.doc

3.4生活中的优化问题举例【课标学习目标】了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用，并能正确利用导数这一工具求出最大(小)值情景引入寻求优化是人类的一种本能，不仅是人类，整个大自然中都充斥着这一现象像蜜蜂所造的蜂窝，更是省到家了，其结构的巧妙，能如此省材料更让人折服在人们的日常生活中，最优化无处不在，刷牙时会发现，牙膏的包装有大有小其价格也不相同，你想过大小包装与其价格之间的关系吗？吃东西时，想过营养成分的搭配吗？开灯关灯时，想过灯的位置与照明度的题目吗？开、关窗户时，想过窗户的面积与采光量的题目吗？总而言之，在经济如此发展，竞争如此剧烈，资源日渐紧张的今天，人们做任何事，无不探求事半功倍之术，以求或提效、或增收、或节约等等【课前预习】1求利润最大、用料最省，效率最高问题，这些问题通常称为_2利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法和注意问题：(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式_，根据实际问题确定yf(x)的_(2)求f(x)，解方程_，得出所有实数根(3)比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值应注意的问题：求实际问题的最大(小)值时，要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值就应舍去在实际问题中，由f(x)0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的_【题型探究】【例1】用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【解析】设容器高为x cm，容器的容积为v(x) cm3，则v(x)x(902x)(482x)4x3276x24 320x(0x24)求v(x)的导数，得v(x)12x2552x4 32012(x246x360)12(x10)(x36)令v(x)0，得x110，x236(舍去)当0x10时，v(x)0，那么v(x)为增函数；当10x24时，v(x)0，那么v(x)为减函数因此，在定义域(0,24)内，函数v(x)只有当x10时取得最大值，其最大值为v(10)10(9020)(4820)19 600 (cm3)答：当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.【评析】在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域开区间内存在最大(小)值，而且f(x)在这个定义域开区间内又只有唯一的极值点，那么可以立即判定，这个极值点的函数值就是最大(小)值，这一点在解决实际问题中很有用【例2】有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边a处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的b处，乙厂到河岸的垂足d与a相距50km，两厂在此岸边合建一个供水站c，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站c建在岸边何处才能使水管费用最省？【解析】根据题意可知，只有点c在线段ad上某一适当位置，才能使总运费最省，设c点距d点x km，则bd40，ac50x，bc，又设总的水管费用为y元，依题意有y3a(50x)5a(0x50)y3a，令y0，解得x30.当0x30时，y0；当30x0.因此函数在x30km处取得最小值，此时ac50x20 km.供水站建在a，d之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省【评析】(1)本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力(2)根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变量，构造相应的函数关系，这是解决本题的方法和技巧例3 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x，y分别为多少(精确到0.001 m)时m用料最省？【分析】用料最省问题最终转化为所列函数的最小值问题【解析】依题意，有xyx8，所以y(0x4)，于是框架用料长度为l2x2y2x.l.令l0，即0，解得x184，x248(舍去)当0x84时，l0；当84x0，所以当x84时，l取得最小值此时，x842.343(m)，y2.828(m)即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省【评析】本题利用面积8 m2，找出x，y之间的关系，然后将框架的周长表示成x的函数方法一是利用导数求最值方法二是利用基本不等式求最值两种方法均是求函数最值的基本方法，都应该掌握，至于选用哪种方法简便，应具体问题具体分析就本题而言，方法二简便些，无论使用哪种方法都应注意定义域的确定课堂小结1解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程2利用导数解决优化问题，往往归结为求函数的最大值或最小值问题3利用导数解决优化问题时，要注意以下几点：(1)当问题中涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量间的关系式；(2)确定函数关系式中自变量的取值范围；(3)所得的结果要符合问题的实际意义当堂检测1某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y117x2(x0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产()a6千台 b7千台 c8千台 d9千台解析：设利润为y，则yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0)，y6x236x6x(x6)令y0，解得x0或x6，经检验知x6既是函数的极大值点又是函数的最大值点答案：a 2某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为()a32米，16米 b30米，15米c40米，20米 d36米，18米解析：设新建堆料场与原墙平行的一边长为x米，其他两边长为y米，则xy512，新建围墙的长lx2y2y(y0)，令l20，解得y16(另一负根舍去)，当0y16时，l16时，l0，所以当y16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x32. 选择：a3以长为10的线段ab为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()a10 b15 c25 d50解析：设矩形的一边长为x，则另一边长为2，于是矩形面积s(x)2x，则s(x)，令s(x)0得x(x舍去)，因此当x时面积取最大值为s()25。选择:c4做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是