【教学设计】《 圆的一般方程》（北师大版）.docx

圆的一般方程 教材分析圆的一般方程是学习圆锥曲线的基础，由于圆的方程应用及其广泛，所以对圆的一般方程的要求层次是掌握，又由于圆的一般方程中含有三个餐变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难，但是圆的一般方程是学生在学习了圆的标准方程后，又掌握了利用待定系数法求圆的标准方程的基础上进行研究的。 教学目标【知识与能力目标】在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径。掌握方程x2y2DxEyF=0表示圆的条件；能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程能用待定系数法求圆的方程；培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。【过程与方法目标】通过对方程x2y2DxEyF=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。【情感态度价值观目标】渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。 教学重难点【教学重点】圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F。【教学难点】对圆的一般方程的认识、掌握和运用。 课前准备 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 教学过程一、导入部分已知圆心(a，b)，半径为r，写出圆的标准方程。二、研探新知，建构概念 1.电子白板投影出上面实例。解：(xa)2(yb)2r2。上述方程能否化为二元二次方程的形式？ 答：能。若给出方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，能否判断它表示一个圆？ 可以，但有一定条件。给出二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0，若该方程表示圆的方程，可否根据圆的标准方程确定成立的条件？答：可以。2.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。（1）方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形方程条件图形x2y2DxEyF0D2E24F0不表示任何图形D2E24F0表示一个点（-D2，-E2）D2E24F0表示以（-D2，-E2）为圆心，以12D2+E2-4F为半径的圆 （2）圆的一般方程当D2E24F0时，称二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0为圆的一般方程。注意：圆的一般方程：x2y2DxEyF0具有以下特征： x2项和y2项的系数相等，且不为零。 是二元二次方程且没有xy这样的二次项。参数D、E、F满足D2E24F0。三、质疑答辩，发展思维 1.举例：圆x2y24x6y30的圆心和半径分别为()A(4，6)，r16B(2，3)，r4 C(2,3)，r4 D(2，3)，r16解析：方程化为(x2)2(y3)216，故圆心为(2,3)，半径为4。答案：C 2.思考：圆的标准方程和一般方程的形式是怎样对应的？解：条件标准方程一般方程圆心在原点x2y2r2(r0)x2y2r20(r0)圆过原点(xa)2(yb)2a2b2x2y2DxEy0圆心在x轴上(xa)2y2r2x2y2DxF0圆心在y轴上x2(yb)2r2x2y2EyF0圆心在x轴上且过原点(xa)2y2a2x2y2Dx0圆心在（a，b）(xa)2（y-b）2r2x2y2Dx+Ey+F03.例题例1 判断方程x2y24mx2my20m200能否表示圆若能表示圆，求出圆心和半径。解：法一：由方程x2y24mx2my20m200，可知D4m，E2m，F20m20，D2E24F16m24m280m8020(m2)2，因此，当m2时，它表示一个点；当m2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为r=12D2+E2-4F=5m-2。法二：原方程可化为(x2m)2(ym)25(m2)2，因此，当m2时，它表示一个点；当m2时，表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为r=5m-2。例2 已知ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标解析：法一：设其外接圆的方程是x2y2DxEyF0，把A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)代入上述方程，整理得5E+F+25=0D-2E+F+5=03D+4E-F-25=0解之得D=6E=-2F=-15则所求圆的方程为x2y26x2y150.配方得(x3)2(y1)225。法二：AB的中点坐标为(12,32)，斜率为kAB=-2-51=-7，AB边的垂直平分线的方程为y-32=17(x-12)，即x7y100。BC的中点为(1，3)，斜率为kBC=-4+2-3-1=12，BC边的垂直平分线方程为y32(x1)，即2xy70。由x-7y+10=02x+y+5=0解得x=-3y=1圆心为(3,1)半径r=(0+3)2+（5-1）2=5，所求圆的方程为(x3)2(y1)225。4.巩固练习（1）下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径。2x2y27x50；x2xyy26x7y0；x2y22x4y100； 2x22y24x0。解析： 2x2y27x50，x2的系数为2，y2的系数为1。21，不能表示圆。x2xyy26x7y0，方程中含xy项，此方程不能表示圆。x2y22x4y100，法一：由x2y22x4y100知D2，E4，F10。D2E24F(2)2(4)24102040200，此方程不能表示圆法二：x2y22x4y100。配方：(x1)2(y2)25，方程x2y22x4y100不能表示圆。 2x22y24x0，x2y22x0，(x1)2y21，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆。 (2) 经过P(2,4)，Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程。解析：设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P，Q点的坐标分别代入得2D-4E-F=203D-E+F=-10令y0，得x2DxF0设x1，x2是方程的两根，则x1x2D，x1x2F. 由|x1x2|6得(x1x2)24x1x236，有D24F36.由解得D2，E4，F8或D6，E8，F0，所以所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0。四、课堂小结：（1）方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形方程条件图形x2y2DxEyF0D2E24F0不表示任何图形D2E24F0表示一个点（-D2，-E2）D2E24F0表示以（-D2，-E2）为圆心，以12D2+E2-4F为半径的圆（2）圆的一般方程当D2E24F0时，称二元二