高中数学椭圆-优秀数学教材.ppt

命题预测 1 有关圆锥曲线的选择题 填空题仍将注重对圆锥曲线的定义 标准方程 焦点坐标 准线方程 离心率 渐近线等基本知识 基本技能及基本方法的考查 以容易题为主 2 作为解答题考查本章内容时 通常为一道解析几何综合题 重点考查直线与圆锥曲线的位置关系 求曲线的轨迹方程 关于圆锥曲线的定值 最值问题 求圆锥曲线中参数的取值范围问题等 3 热点问题是用待定系数法求曲线方程 动点的轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系等 4 特别提醒注意在知识交汇点命题 可能是一道以平面向量为载体的综合题或以平面几何图形为背景 构建轨迹方程的探索性问题 着重考查数形结合 等价转化等数学思想方法 备考指南 1 注重 三基 训练 重点掌握椭圆 双曲线 抛物线的定义和性质 要善于多角度 多层次思考问题 不断巩固和强化 三基 使知识得以深化和升华 2 突出主体内容 要以高考试题为标准 紧紧围绕解析几何的两大任务来复习 即根据已知条件求曲线的方程和通过方程研究圆锥曲线的性质 其中求曲线的方程是重点 所以要熟练掌握求曲线方程的一般方法 直接法 定义法 待定系数法 相关点法 参数法等 3 关注 热点 问题 直线与圆锥曲线的位置关系问题一直是高考命题的热点 这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识点 分析问题时要注意数形结合思想和设而不求的思想以及弦长公式 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的熟练应用 4 重视对数学思想方法的归纳提炼 实现优化解题思维 简化解题过程 本章复习中要特别重视函数方程思想 数形结合思想以及坐标法的渗透作用 5 着力抓好 运算关 解析几何问题的解题思路容易分析出来 但往往由于运算不过关而半途而废 因此 在复习中要注意寻求合理的运算方案 以及简化运算的基本途径与方法 亲身经历运算困难的发生与克服困难的完整过程 增强解决复杂问题的信心 基础知识一 椭圆的定义和方程1 椭圆定义 1 平面内到两定点F1 F2的距离的和等于的点的轨迹叫椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点的距离叫做椭圆的焦距 2 平面内到定点F的距离和到定直线l的距离d之比为的点M的轨迹叫做椭圆 即 常数 大于 F2F2 常数e 0 e 1 定点是椭圆的一个焦点 定直线是椭圆的相应准线 2 椭圆的方程 1 焦点在x轴上的椭圆的标准方程 2 焦点在y轴上的椭圆的标准方程 3 一般表示 二 椭圆的简单几何性质 a2 b2 c2 a ex0 a ex0 a ey0 a ey0 易错知识一 椭圆的定义失误1 1 已知F1 4 0 F2 4 0 到F1 F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是 答案 线段F1F2 2 已知F1 4 0 F2 4 0 到F1 F2两点的距离之和为6的点的轨迹是 答案 不存在 3 到点F1 4 0 F2 4 0 两点的距离之和等于点M 5 3 到F1 F2的距离之和的点的轨迹是 答案 椭圆 二 忽视焦点的位置产生的混淆2 中心在原点 对称轴为坐标轴 离心率为 长轴为8的椭圆方程为 3 已知椭圆的离心率则k 解题思路 由于椭圆的焦点位置不确定 应分两种情况进行讨论 1 当椭圆的焦点在x轴上时 a2 k 8 b2 9 c2 a2 b2 k 8 9 k 1 2 当椭圆的焦点在y轴上时 a2 9 b2 k 8 c2 1 k 卡盟排行榜卡盟 MicrosoftOfficePowerPoint 是微软公司的演示文稿软件 用户可以在投影仪或者计算机上进行演示 也可以将演示文稿打印出来 制作成胶片 以便应用到更广泛的领域中 利用MicrosoftOfficePowerPoint不仅可以创建演示文稿 还可以在互联网上召开面对面会议 远程会议或在网上给观众展示演示文稿 MicrosoftOfficePowerPoint做出来的东西叫演示文稿 其格式后缀名为 ppt pptx 或者也可以保存为 pdf 图片格式等 故满足条件的k 28或k 失分警示 知识不全 考虑问题不全面 易漏解 或者错记成c2 a2 b2而导致运算出错 三 忽视条件产生错误4 如图所示 ABC中 A B C所对的三边分别为a b c 且B 1 0 C 1 0 求满足b a c 且b a c 成等差数列时 顶点A的轨迹方程 解题思路 b a c成等差数列 b c 2a 2 2 4 即 AB AC 4 动点A x y 符合椭圆的定义 且椭圆方程中的 A点的轨迹方程是由于b c 即 AC AB 可知A点轨迹是椭圆左半部 还必须除去点所以所求轨迹方程为 失分警示 忽视了点A 点B与点C构成三角形和b a c条件致误 回归教材1 2009 陕西 7 m n 0 是 方程mx2 ny2 1表示焦点在y轴上的椭圆 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 把椭圆方程化成若m n 0 则0 所以椭圆的焦点在y轴上 反之 若椭圆的焦点在y轴上 即有m n 0 故选C 答案 C 2 教材P1142题改编 椭圆25x2 16y2 1的焦点坐标为 解析 椭圆方程可化为 椭圆的焦点在y轴上且c2 故选D 答案 D 3 设F1 F2是椭圆的焦点 P为椭圆上一点 则 PF1F2的周长为 A 16B 18C 20D 不确定解析 由椭圆定义 PF1 PF2 10 F1F2 8 故 PF1 PF2 F1F2 18 故选B 答案 B 4 若椭圆的长轴长是短轴长的2倍 椭圆经过点P 2 0 则椭圆的标准方程为 解析 由题意知若a 2 则焦点在x轴上 b 1 方程为若b 2 则焦点在y轴上 a 4 方程为综上可知 方程为答案 C 5 若椭圆的短轴长为6 焦点F到长轴的一个端点的距离等于9 则椭圆的离心率e 解析 b 3 a c 9或a c 9 此时 受c 0制约 不符又 b2 a2 c2 a c a c 9 则a c 1 a 5 c 4 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 两个焦点的坐标分别是 12 0 12 0 椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于26 2 焦点在坐标轴上 且经过点A和B 3 焦距是2 且过点 分析 根据题意 先判断椭圆的焦点位置 后设椭圆的标准方程 求出椭圆中的a b即可 若判断不出焦点在哪个坐标轴上 可采用标准方程的统一形式 解答 1 因为椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 2a 26 2c 24 a 13 c 12 b2 a2 c2 132 122 25 所求的椭圆标准方程为 2 方法一 若焦点在x轴上 设所求椭圆方程为由两点在椭圆上可得若焦点在y轴上 设所求椭圆方程为 同上可解得 不合题意 舍去 故所求的椭圆标准方程为 方法二 设所求椭圆方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 且m n 则椭圆的标准方程为 3 由已知得2c 2 c 1 当焦点在x轴上时当焦点在y轴上时 求满足下列各条件的椭圆的标准方程 1 短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形 且焦点到同侧顶点的距离为 2 经过点A 0 2 B 两点 3 与椭圆有相同离心率且经过点 2 所求椭圆的标准方程为 2 设经过两点A 0 2 的椭圆标准方程为mx2 ny2 1 将A B两点坐标代入得 所求椭圆标准方程为 3 由题意 设所求椭圆的方程为因为椭圆过点所以故所求椭圆标准方程为 例2 2009 东北三校 1 已知椭圆1 a b 0 F1 F2分别是其左 右焦点 A为椭圆的左顶点 过F2作垂直于x轴的一条直线交椭圆于B C两点 若 BAC 则椭圆的离心率为 2 F1 F2是椭圆 a b 1 的左 右焦点 若椭圆上存在点P 使 F1PF2 90 则椭圆的离心率的取值范围是 探究 求椭圆离心率 即由题设建立一个含有a b c的等式 解析 1 如图 设C c y 代入椭圆方程又 AF2 a c F2AC 2009 江西 6 过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P F2为右焦点 若 F1PF2 60 则椭圆的离心率为 答案 B 解析 PF1 PF2 2a 又 F1PF2 60 PF1 2a PF2 在Rt PF1F2中 PF1 2 F1F2 2 PF2 2 2009 重庆 15 已知椭圆的左 右焦点分别为F1 c 0 F2 c 0 若椭圆上存在点P使则该椭圆的离心率的取值范围为 答案 1 1 解析 在 PF1F2中 由正弦定理知又 P在椭圆上 PF1 PF2 2a 将 代入得 PF2 解答 由于椭圆方程为且a 3 b c 2 e 2a 6 1 如图 a 所示 过P向椭圆左准线作垂线 垂足为Q则由椭圆第二定义知 从而 PA PF PA PQ 显然 当A P Q共线时 PA PQ 最小 最小值为此时P 1 a 2 如图 b 设椭圆右焦点为F1 则 PF PF1 6 PA PF PA PF1 6 利用 AF1 PA PF1 AF1 当P A F1共线时等号成立 PA PF 6 PA PF 6 b 总结评述 一般地 遇到有关焦点 或准线 问题 首先应考虑用定义来解题 椭圆上的点到两焦点的距离考虑第一定义 椭圆上的点到焦点及到准线的距离考虑第二定义 2009 浙江温州十校联考 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1 则椭圆长轴的最小值为 答案 D解析 易得bc 1 又 bc 长轴 2a 故选D 在平面直角坐标系xOy中 设P x y 是椭圆 y2 1上的一个动点 则S x y的最大值为 答案 C解析 本题主要考查曲线的参数方程的基本知识 考查运用参数方程解决数学问题的能力 方法一 因椭圆的参数方程为故可设动点P的坐标为 sin 其中0 2 因此 S x y sin 2 所以 当 时 S取得最大值2 方法二 将S x y看作直线x y S 0与椭圆 y2 1有公共点 即 x S 2 1 4x2 6Sx 3S2 3 0因此 0即36S2 16 3S2 3 0 S2 4 2 S 2 故选C 例4 2009 陕西西安名校一模 已知椭圆 1的两个焦点分别是F1 F2 P是椭圆在第一象限的点 且满足过点P作倾斜角互补的两条直线PA PB 分别交椭圆于A B两点 1 求点P的坐标 2 求直线AB的斜率 2009 安徽 18 已知椭圆的离心率为以原点为圆心 椭圆短半轴长为半径的圆与直线y x 2相切 1 求a与b 2 设该椭圆的左 右焦点分别为F1和F2 直线l1过F2且与x轴垂直 动直线l2与y轴垂直 l2交l1于点P 求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程 并指明曲线类型 命题意图 本小题主要考查椭圆 抛物线的方程 点到直线的距离公式 直线与曲线的位置关系等基础知识 考查综合运用知识分析问题 解决问题的能力 2 解法一 由得F1 1 0 F2 1 0 设M x y 则P 1 y 由 MF1 MP 得 x 1 2 y2 x 1 2 y2 4x 此轨迹是抛物线 解法二 因为点M在线段PF1的垂直平分线上 所以 MF1 MP 即M到F1的距离等于M到l1的距离 此轨迹是以F1 1 0 为焦点 l1 x 1为准线的抛物线 轨迹方程为y2 4x 1 椭圆中任意一点M到焦点F的所有距离中 长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离 且最大距离为a c 最小距离为a c 2 过焦点