（全国版）2017版高考数学一轮复习 几何证明选讲 2 直线与圆的位置关系课时提升作业 理 选修4-1.doc

直线与圆的位置关系(45分钟60分)1.(2016开封模拟)如图,ab是o的直径,弦ca,bd的延长线相交于点e,ef垂直ba的延长线于点f,连接fd.求证:(1)dea=dfa.(2)ab2=bebd-aeac.【证明】(1)连接ad,因为ab为圆的直径,所以adb=90,又efab,afe=90,则a,d,e,f四点共圆,所以dea=dfa.(2)连接bc.由(1)知adbefb,所以=,即bdbe=babf,又abcaef,所以=,即abaf=aeac,所以bebd-aeac=babf-abaf=ab(bf-af)=ab2.【加固训练】(2015广东高考改编)如图,ab为圆o的直径,点e为ab的延长线上一点,过点e作圆o的切线,切点为点c,过点a作直线ec的垂线,垂足为点d.若ab=4,ce=2,求ad的长度.【解析】连接c,则cde,因为adde,所以cad,所以=,由切割线定理得:ce2=beae,所以be=12,即be2+4be-12=0,解得: be=2或be=-6(舍去),所以ad=3.2.(2016安阳模拟)如图,直线pq与o相切于点a,ab是o的弦,pab的平分线ac交o于点c,连接cb,并延长与直线pq相交于点q,若aq=6,ac=5.(1)求证:qc2-qa2=bcqc.(2)求弦ab的长.【解析】(1)因为pq与o相切于点a,由切割线定理得:qa2=qbqc=(qc-bc)qc,所以qc2-qa2=bcqc.(2)由(1)可知,qa2=qbqc=(qc-bc)qc.因为pq与o相切于点a,所以pac=cba,因为pac=bac,所以bac=cba.所以ac=bc=5,又知aq=6,所以qc=9.由qab=acq知qabqca,所以=,所以ab=.3.(2016临汾模拟)如图,cf是abc边ab上的高,fpbc,fqac.(1)证明:a,b,p,q四点共圆.(2)若cq=4,aq=1,pf=,求cb的长.【解析】(1)连接qp,由已知c,p,f,q四点共圆,所以qcf=qpf.因为a+qcf=cpq+qpf=90,所以a=cpq.则四点a,b,p,q共圆.(2)cf2=cqca=45=20,在rtcpf中,cp=,又cpcb=cf2,所以cb=6.【加固训练】(2016遵义模拟)如图,在正abc中,点d,e分别在边ac,ab上,且ad=ac,ae=ab,bd,ce相交于点f,连接de.(1)求证:a,e,f,d四点共圆.(2)若正abc的边长为2,求a,e,f,d所在圆的半径.【解析】(1)因为ae=ab,所以be=ab.因为在正abc中,ad=ac,所以ad=be.又因为ab=bc,bad=cbe,所以badcbe,所以adb=bec.即adf+aef=,所以a,e,f,d四点共圆.(2)如图,取ae的中点g,连接gd,则ag=ge=ae.因为ae=ab,所以ag=ge=ab=.因为ad=ac=,dae=60,所以agd为正三角形,所以gd=ag=ad=,即ga=ge=gd=.所以点g是aed外接圆的圆心,且圆g的半径为.由于a,e,f,d四点共圆,即a,e,f,d四点共圆g,其半径为.4.(2016保定模拟)如图所示,已知o1与o2相交于a,b两点,过点a作o1的切线交o2于点c,过点b作两圆的割线,分别交o1,o2于点d,e,de与ac相交于点p.(1)求证:adec.(2)若ad是o2的切线,且pa=6,pc=2,bd=9,求ad的长.【解析】(1)连接ab,因为ac是o1的切线,所以bac=d,又因为bac=e,所以d=e,所以adec.(2)因为pa是o1的切线,pd是o1的割线,所以pa2=pbpd,所以62=pb(pb+9),所以pb=3,在o2中由相交弦定理,得papc=bppe,所以pe=4.因为ad是o2的切线,de是o2的割线,所以ad2=dbde=916,所以ad=12.【加固训练】如图,ab是圆o的直径,且ab=6,cd是弦,ba,cd的延长线交于点p,pa=4,pd=5,求cod的大小.【解析】由割线定理得,papb=pcpd,因为pa=4,pd=5,所以410=5pc,所以pc=8,所以cd=8-5=3,所以cdo是等边三角形,所以cod=60.5.(2016郑州模拟)如图,p是o外一点,pa是切线,a为切点,割线pbc与o相交于点b,c,pc=2pa,d为pc的中点,ad的延长线交o于点e.求证:(1)be=ec.(2)adde=2pb2.【解析】(1)连接ab,ac.由题设知pa=pd,故pad=pda.因为pda=dac+dca,pad=bad+pab,dca=pab,所以dac=bad,从而=.因此be=ec.(2)由切割线定理得pa2=pbpc.因为pa=pd=dc,所以dc=2pb,bd=pb.由相交弦定理得adde=bddc,所以adde=2pb2.6.如图,点a是以线段bc为直径的o上一点,adbc于点d,过点b作o的切线,与ca的延长线相交于点e,点g是ad的中点,连接cg并延长与be相交于点f,连接af并延长与cb的延长线相交于点p.(1)求证:bf=ef.(2)求证:pa是o的切线.【证明】(1)因为be是o的切线,所以ebbc.又因为adbc,所以adbe.可知bfcdgc,fecgac,所以=,=,所以=.又因为g是ad的中点,所以dg=ag,所以bf=ef.(2)如图,连接ao,ab.因为bc是o的直径,所以bac=90.在rtbae中,由(1)得知f是斜边be的中点,所以af=fb=ef.所以fba=fab.又因为oa=ob,所以abo=bao.因为be是o的切线,所以ebo=90.所以ebo=fba+abo=fab+bao=fao=90,所以pa是o的切线.【加固训练】1.(2016郑州模拟)如图,已知圆o是abc的外接圆,ab=bc,ad是bc边上的高,ae是圆o的直径.过点c作圆o的切线交ba的延长线于点f.(1)求证:acbc=adae.(2)若af=2,cf=2,求ae的长.【解析】(1)连接be,由题意知abe为直角三角形.因为abe=adc=90,aeb=acb,abeadc,所以=,即abac=adae,又ab=bc,所以acbc=adae.(2)因为fc是圆o的切线,所以fc2=fafb,又af=2,cf=2,所以bf=4,ab=bf-af=2,因为acf=fbc,又cfb=afc,所以afccfb,所以=,得ac=,所以abc为等腰三角形,过b作bhac于点h,则cosacd=,所以sinacd=sinaeb,所以ae=.2.(2016邢台模拟)如图,abo三边上的点c,d,e都在o上,已知abde,ac=cb.(1)求证:直线ab是o的切线.(2)若ad=2,且tanacd=,求o的半径r的长.【解析】(1)如图所示,连接oc.因为abde,所以=.因为od=oe,所以oa=ob.因为ac=cb,所以ocab,所以直线ab是o的切线.(2)延长ao交o于点f,连接cf.由(1)可得acd=f.因为tanacd=,所以tanf=.因为acdafc,所以=,而ad=2,所以ac=4.由切割线定理可得:ac2=ad(ad+2r),所以42=2(2+2r),解得r=3.3.如图,直线ab为圆的切线,切点为点b,点c在圆上,abc的平分线be交圆于点e,db垂直be交圆于点d.(1)证明:db=dc.(2)设圆的半径为1,bc=,延长ce交ab于点f,求bcf外接圆的半径.【解析】(1)连接de交bc于点g.由弦切角定理得abe=bce