高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2 抛物线及其标准方程四注意素材 北师大版选修21.doc

抛物线及其标准方程四注意教材对抛物线的安排篇幅不多，并非其不重要，主要是因为学生对于椭圆、双曲线的基本知识和研究方法已经熟悉了.平面解析几何“抛物线及其标准方程”一节内容主要是抛物线的概念和抛物线标准方程(有四种形式)，这是继椭圆、双曲线之后的又一重要内容，有着广泛的应用，也是学习微积分的基础。根据抛物线定义推出的标准方程，也为以后用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础，因此，它是圆锥曲线这章的重要知识点.为了更好学习好本节内容，下面强调七个要注意的方面.一注意抛物线四种标准方程的形式的特点已知抛物线（顶点在原点、焦点在坐标轴上）方程求焦点坐标和准线方程务必先将方程化为标准形式，结合图形正确写出答案.例1求抛物线y=-5x2的焦点坐标和准线方程.错解：抛物线开口向下，焦点坐标是(0,)，准线方程是y=.解析：这些同学以为焦准距p=，其实y=-5x2不是标准方程，因此首先应把方程化为x2=y，从而焦点坐标是(0,)，准线方程是y=.二注意巧设方程简化解题过程求抛物线标准方程应抓住焦点位置和开口方向，当题目条件不能确定抛物线开口方向时，一般应该分类讨论.但是对于已知焦点位置在哪条坐标轴上，但开口方向不定，可采用如下设法：焦点在x轴上，抛物线标准方程可设为y2=ax(a0)；焦点在y轴上，抛物线标准方程可设为x2=ay(a0).例2顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为，求此抛物线的方程.解析：此题知焦点在轴上而开口方向未知，故可设抛物线方程为y2=ax(a0)，由，得4x2+(4-a)x+1=0(1)，设弦端点a(x1,y1)，b(x2,y2)，由韦达定理及弦长公式得|ab|=，解得a=12或-4（特别提醒：要检验a值是否满足方程（1）的根的判别式0），抛物线的方程为y2=12x或y2=-4x.三注意抛物线定义的应用解涉及到抛物线焦点或到其准线的距离问题，往往可以利用抛物线定义将问题转化，从而化繁为简.或在求轨迹方程利用题设中的条件，发现或创建符合抛物线的定义条件,进而根据定义求出轨迹方程.例3 抛物线x24y上一点a的纵坐标为4，则点a与抛物线焦点的距离为( d )(a) 2(b)3(c) 4(d) 5解：由x24y知其准线方程为x1，据抛物线定义，点a与焦点的距离等于a与准线的距离，而a的纵坐标为4，所以其距离为5，故选d.例4（2005江苏卷）抛物线y=4x2上的一点m到焦点的距离为1，则点m的纵坐标是( b)(a)(b)(c)(d)0解析：由题意抛物线为：x2y，则焦点为f(0，准线为:y;由抛物线上的点m(x0,y0)到焦点的距离与到准线的距离相等,推得：y01,即m点的纵坐标为故选b.四注意利用抛物线定义解题时的误区由于抛物线定义中的定点不在定直线上的，如果在解题时不注意这一条件易造成错误.另外，在运用抛物线进行问题的转化时，不注意动点的位置关系位置，盲目导用抛物线的定义也会造成错误.例5在直角坐标系内，到点a（1，1）和直线l：x+2y-3=0距离相等的点的轨迹是什么图形？错解：有些同学以为本题符合抛物线定义，故轨迹是抛物线.分析：抛物线定义中的定点是而本题的a（1，1）在直线l：x+2y-3=0上，所以到点a（1，1）和直线l：x+2y-3=0距离相等的点的轨迹不是抛物线，而是一条过a且垂直于直线l的直线.例6一动点p到y轴的距离比到点a（2，0）的距离小2，求动点p的轨迹方程.错解：动点p到y轴的距离比到点a（2，0）的距离小2，p到a（2，0）的距离等于p到直线x=-2的距离，由抛物线定义得点p的轨迹是以直线x=-2为准线、以a（2，0）为焦点的抛物线，动点p的轨迹方程是y2=8x.分析：上述解法只考虑了点p不在y轴右恻的情况.当点p