（全国版）2017版高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 10.9 离散型随机变量的均值与方差课时提升作业 理.doc

离散型随机变量的均值与方差(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016马鞍山模拟)设x为随机变量,xb,若随机变量x的数学期望e(x)=2,则p(x=2)等于()a.b.c.d.【解析】选d.因为xb,e(x)=2,所以n=6,所以p(x=2)=.2.(2016中山模拟)已知离散型随机变量x的分布列为x-101px则x的数学期望e(x)=()a.-b.c.d.【解析】选b.依题意得:+x+=1,所以x=.e(x)=(-1)+0+1=.【加固训练】(2016秦皇岛模拟)签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签,从中任意取3支,设x为这3支签的号码之中最大的一个,则x的数学期望为()a.5b.5.25c.5.8d.4.6【解析】选b.由题意可知,x可以取3,4,5,6,p(x=3)=,p(x=4)=,p(x=5)=,p(x=6)=.由数学期望的定义可求得e(x)=5.25.3.(2016保定模拟)某班举行了一次“心有灵犀”的活动,教师把一张写有成语的纸条出示给a组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜不对得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和x(单位:分)的数学期望为()a.0.9b.0.8c.1.2d.1.1【解题提示】先求x的分布列,再代入e(x)的公式计算.【解析】选a.由题意得x=0,1,2,则p(x=0)=0.60.5=0.3,p(x=1)=0.40.5+0.60.5=0.5,p(x=2)=0.40.5=0.2,所以e(x)=00.3+10.5+20.2=0.9(分).4.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p0),发球次数为x,若x的数学期望e(x)1.75,则p的取值范围是()a.(0,)b.(,1)c.(0,)d.【解析】选c.由已知条件可得p(x=1)=p,p(x=2)=(1-p)p,p(x=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则e(x)=p(x=1)+2p(x=2)+3p(x=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+31.75,解得p或p,又由p(0,1),可得p(0,).5.(2016泸州模拟)利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是()a.a1b.a2c.a3d.a4【解题提示】先求出四种方案a1,a2,a3,a4盈利的均值,再结合均值大小作出判断.【解析】选c.方案a1,a2,a3,a4盈利的均值分别是:a1:500.25+650.30+260.45=43.7;a2:700.25+260.30+160.45=32.5;a3:-200.25+520.30+780.45=45.7;a4:980.25+820.30-100.45=44.6.所以a3盈利的均值最大,所以应选择a3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若取到一件次品得2分,用y表示得分数,则d(y)=.【解析】设x表示取到的次品数,则y=2x.由题意知取到次品的概率为,所以xb,d(x)=3=,故d(y)=d(2x)=4d(x)=4=.答案:7.(2016武汉模拟)某射手射击所得环数的分布列如下:78910px0.10.3y已知的期望e()=8.9,则y的值为.【解析】依题意得即解得答案:0.4【加固训练】已知随机变量的分布列为123p0.5xy若e()=,则d()=.【解析】由分布列性质,得x+y=0.5.又e()=,得2x+3y=,可得x=,y=.d()=+=.答案:8.(2016张家界模拟)已知随机变量所有的取值为1,2,3,对应的概率依次为p1,p2,p1,若随机变量的方差d()=,则p1+p2的值是.【解题提示】由分布列的性质可得2p1+p2=1,由数学期望的计算公式可得e()的值,由方差的计算公式可得d(),进而即可解得p1,p2.【解析】由分布列的性质可得2p1+p2=1,(*)由数学期望的计算公式可得e()=1p1+2p2+3p1=2(2p1+p2)=2.由方差的计算公式可得d()=(1-2)2p1+(2-2)2p2+(3-2)2p1=2p1=,解得p1=,把p1=代入(*)得2+p2=1.解得p2=,所以p1+p2=+=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016广州模拟)甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2,3,4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.(1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率.(2)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成功取法次数为随机变量x,求x的分布列和数学期望.【解析】(1)设事件a为“两手所取的球不同色”,则p(a)=1-=.(2)依题意,x的可能取值为0,1,2.左手所取的两球颜色相同的概率为=,右手所取的两球颜色相同的概率为=,p(x=0)=,p(x=1)=+=,p(x=2)=.所以x的分布列为:x012pe(x)=0+1+2=.10.(2016合肥模拟)某投资公司在2015年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和;项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,和.针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.【解析】若按“项目一”投资,设获利为x1万元,则x1的分布列为x1300-150p所以e(x1)=300+(-150)=200(万元),d(x1)=(300-200)2+(-150-200)2=35000.若按“项目二”投资,设获利为x2万元,则x2的分布列为x2500-3000p所以e(x2)=500+(-300)+0=200(万元),d(x2)=(500-200)2+(-300-200)2+(0-200)2=140000.所以e(x1)=e(x2),d(x1)d(x2),这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥.综上所述,建议投资公司选择项目一投资.(20分钟40分)1.(5分)甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数的期望e()为()a.b.c.d.【解析】选b.依题意知,的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为+=,若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响,从而有p(=2)=,p(=4)=,p(=6)=.e()=2+4+6=.2.(5分)(2016安阳模拟)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c,a,b,c(0,1),已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况),则ab的最大值为.【解析】由已知3a+2b+0c=1,所以3a+2b=1,所以ab=3a2b=,当且仅当a=,b=时取“=”.答案:3.(5分)(2016大同模拟)随机变量的分布列为-101pabc其中a,b,c成等差数列,若e()=,则d()=.【解析】由a,b,c成等差数列及分布列性质得,解得b=,a=,c=.所以d()=+=.答案:【加固训练】若x是离散型随机变量,p(x=x1)=,p(x=x2)=,且x1x2,又已知e(x)=,d(x)=,则x1+x2的值为()a.b.c.3d.【解析】选c.分析已知条件,利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得:解得或又因为x1x2,所以x1+x2=3.4.(12分)(2016郑州模拟)现有甲、乙、丙三人参加某电视的一档应聘节目,若甲应聘成功的概率为,乙、丙应聘成功的概率均为(0t0;p(=2)-p(=0)=0;p(=2)-p(=3)=0;所以1t2,所以e().5.(13分)(2016成都模拟)“十一黄金周”期间某市再次迎来了客流高峰,小李从该市的a地到b地有l1,l2两条路线(如图),l1路线上有a1,a2,a3三个路口,各路口遇到堵塞的概率均为;l2路线上有b1,b2两个路口,各路口遇到堵塞的概率依次为,.(1)若走l1路线,求最多遇到1次堵塞的概率.(2)按照“平均遇到堵塞次数最少”的要求,请你帮助小李从上述两条路线中选择一条最好的出行路线,并说明理由.【解析】(1)设走l1路线,最多遇到1次堵塞为a事件,则p(a)=+=,故走l1路线,最多遇到1次堵塞的概率为.(2)设走l2路线,遇到堵塞的次数为x,则x的可能取值为0,1,2,p(x=0)=,p(x=1)=+=,p(x=2)=,则e(x)=0+1+2=,设走l1路线,遇到堵塞的次数为y,则y服从二项分布,yb,则e(y)=3=2,由于e(x)e(y),故l2路线是最好的出行路线.【加固训练】(2016永州模拟)抛掷a,b,c三枚质地不均匀的纪念币,它们正面向上的概率如表所示(0a1):纪念币abc概率aa将这三枚纪念币同时抛掷一次,设表示出现正面向上的纪念币的个数.(1)求的分布列及数学期望.(2)在概率p(=i)(i=0,1,2,3)中,若p(=1)的值最大,求a的最大值.【解析】(1)由题意知个正面向上,3-个背面向上.的可能取值为0,1,2,3.p(=0)=(1-a)2=(1-a)2,p(=1)=(1-a)2+a(1-a)=(1-a2),p(=2)=a(1