数学成就3.doc

数学成就3九章算术中的数学成就是多方面的:(3)、九章算术中的代数内容同样很丰富，具有当时世界的先进水平。1.开平方和开立方九章算术中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤基本一样。所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，今有积五万五千二百二十五步。问为方几何。答曰:二百三十五步。这里所说的步是我国古代的长度单位。开方(是指开平方，由正方形面积求其一边之长。)术曰:置积为实(即指筹算中把被开方数放置于第二行，称为实)借一算(指借用一算筹放置于最后一行，如图1-25(1)所示用以定位)。步之(指所借的算筹一步一步移动)超一等(指所借的算筹由个位越过十位移至百位或由百位越过千位移至万位等等，这与现代笔算开平方中分节相当如图1-25(2)所示)。议所得(指议得初商，由于实的万位数字是5，而且22532，议得初商为2，而借算在万位，因此应在第一行置初商2于百位，如图1-25(3)所示)。以一乘所借一算为法(指以初商2乘所借算一次为20000，置于实下为法，如图1-25(4)所示)而以除(指以初商2乘法20000得40000，由实减去得:55225-40000=15225，如图1-25(5)所示)除已，倍法为定法，其复除，折法而下(指将法加倍，向右移一位，得4000为定法因为要求平方根的十位数字，需要把借算移至百位，如图1-25(6)所示)。复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除(这一段是指:要求平方根的十位数字，需置借算于百位。因实的千位数字为15，且4315b0，则同名相益:(a)-(b)=(a-b)，异名相除:(a)-(b)=(a+b)。(2)如果被减数绝对值小于减数绝对值，即ba0。如果两数皆正则a-b=a-a+(b-a)=-(b-a)。中间一式的a和a对消，而(b-a)无可对消，则改正为负，即正无入负之。无入就是无对，也就是无可对消(或不够减或对方为零)。如果两数皆负则(-a)-(-b)=-a-(-a)-(b-a)=+(b-a)。在中间的式子里(-a)和(-a)对消，而-(b-a)无可对消，则改负为正所以说负无入正之。如果两数一正一负。则仍同(1)的异名相益。术文的后四句是指正负数加法运算法则。(1)同号两数相加，即同名相益，其和的绝对值等于两数绝对值和。如果a0，b0，则a+b=a+b，(-a)+(-b)=-(a+b)(2)异号两数相加，实为相减，即异名相除。如果正数的绝对值较大，其和为正，即正无入正之。如果负数的绝对值较大，其和为负，即负无入负之。用符号表示为如果ab0，则 a+(-b)=b+(a-b)+(-b)=a-b，或 (-a)+b=(-b)-(a-b)+b=-(a-b)。如果ba0，则 a+(-b)=a+(-a)-(b-a)=-(b-a)，或 (-a)+b=(-a)+a+(b-a)=b-a。关于正负数的乘除法则，在九章算术时代或许会遇到有关正负数的乘除运算。可惜书中并未论及，直到元代朱世杰于算学启蒙(1299年)中才有明确的记载:同名相乘为正，异名相乘为负，同名相除所得为正，异名相除所得为负，因此至迟于13世纪末我国对有理数四则运算法则已经全面作了总结。至于正负数概念的引入，正