（全国版）2019版高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系学案.doc

第1讲坐标系板块一知识梳理自主学习必备知识考点1坐标变换平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点p(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点p(x，y)对应到点p(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换考点2极坐标与直角坐标1极坐标系：在平面内取一个定点o，叫做极点，自极点o引一条射线ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系2点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点m，若设|om|(0)，以极轴ox为始边，射线om为终边的角为，则点m可用有序数对(，)表示3极坐标与直角坐标的互化公式：在平面直角坐标系xoy中，以o为极点，射线ox的正方向为极轴方向，取相同的长度单位，建立极坐标系设点p的直角坐标为(x，y)，它的极坐标为(，)，则相互转化公式为考点3常用简单曲线的极坐标方程考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)点p在曲线c上，则点p的极坐标一定满足曲线c的极坐标方程()(2)tan1与表示同一条曲线(0)()(3)点p的直角坐标为(，)，那么它的极坐标可表示为.()(4)过极点，作倾斜角为的直线的极坐标方程可表示为或(r)()(5)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点o的圆的极坐标方程为2asin.()答案(1)(2)(3)(4)(5)22018开封模拟方程2cos和4sin的曲线的位置关系为()a相离 b外切 c相交 d内切答案b解析方程2cos化为直角坐标方程为(x1)2y21，4sin化为直角坐标方程为x2(y2)24，两圆圆心距为312，所以两圆外切32018皖北协作区联考在极坐标系中，直线(cossin)2与圆4sin的交点的极坐标为()a. b.c. d.答案a解析(cossin)2可化为直角坐标方程xy2，即yx2.4sin可化为x2y24y，把yx2代入x2y24y，得4x28x120，即x22x30，所以x，y1.所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.故选a.42018株洲模拟在极坐标系中，直线sin()2被圆4截得的弦长为()a2 b2 c4 d4答案d解析直线sin()2可化为xy20，圆4可化为x2y216，由圆中的弦长公式得224.52017北京高考在极坐标系中，点a在圆22cos4sin40上，点p的坐标为(1,0)，则|ap|的最小值为_答案1解析由22cos4sin40，得x2y22x4y40，即(x1)2(y2)21，圆心坐标为c(1,2)，半径长为1.点p的坐标为(1,0)，点p在圆c外又点a在圆c上，|ap|min|pc|1211.62017天津高考在极坐标系中，直线4cos10与圆2sin的公共点的个数为_答案2解析由4cos10得2cos2sin10，故直线的直角坐标方程为2x2y10.由2sin得22sin，故圆的直角坐标方程为x2y22y，即x2(y1)21.圆心为(0,1)，半径为1.圆心到直线2x2y10的距离d1，直线与圆相交，有两个公共点板块二典例探究考向突破考向平面直角坐标系下图形的变换例1在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形(1)2x3y0；(2)x2y21.解由伸缩变换得到(*)(1)将(*)代入2x3y0，得到经过伸缩变换后的图形方程是xy0.因此，经过伸缩变换后，直线2x3y0变成直线xy0.(2)将(*)代入x2y21，得到经过伸缩变换后的图形的方程是1.因此，经过伸缩变换后，圆x2y21变成椭圆1.触类旁通平面直角坐标系下图形的变换技巧平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆【变式训练1】求椭圆y21，经过伸缩变换后的曲线方程解由得到将代入y21，得y21，即x2y21.因此椭圆y21经伸缩变换后得到的曲线方程是x2y21.考向极坐标与直角坐标的互化例22017全国卷在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c1的极坐标方程为cos4.(1)m为曲线c1上的动点，点p在线段om上，且满足|om|op|16，求点p的轨迹c2的直角坐标方程；(2)设点a的极坐标为，点b在曲线c2上，求oab面积的最大值解(1)设p的极坐标为(，)(0)，m的极坐标为(1，)(10)由题设知|op|，|om|1.由|om|op|16得c2的极坐标方程为4cos(0)因此c2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点b的极坐标为(b，)(b0)由题设知|oa|2，b4cos，于是oab的面积s|oa|bsinaob4cos22.当时，s取得最大值2.所以oab面积的最大值为2.触类旁通直角坐标方程与极坐标方程互化的方法直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式xcos及ysin直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如cos，sin，2的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验【变式训练2】已知直线l的参数方程为(t为参数)在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线c的方程为sincos20.(1)求曲线c的直角坐标方程；(2)写出直线l与曲线c交点的一个极坐标解(1)sincos20，sin2cos20，即yx20.(2)将代入yx20得，t20，即t0，从而，交点坐标为(1，)，交点的一个极坐标为.考向极坐标方程及其应用例32016全国卷在直角坐标系xoy中，圆c的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求c的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与c交于a，b两点，|ab|，求l的斜率解(1)由xcos，ysin，可得圆c的极坐标方程为212cos110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(r)设a，b所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入c的极坐标方程，得212cos110.于是1212cos，1211.|ab|12|.由|ab|，得cos2，tan.所以l的斜率为或.触类旁通极坐标方程及其应用的类型及解题策略(1)求极坐标方程可在平面直角坐标系中，求出曲线方程，然后再转化为极坐标方程(2)求点到直线的距离、线段的长度先将极坐标系下点的坐标、直线、曲线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线、曲线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离、线段公式求解【变式训练3】在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)在以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点o的射线与曲线c相交于不同于极点的点a，且点a的极坐标为(2，)，其中.(1)求的值；(2)若射线oa与直线l相交于点b，求|ab|的值解(1)由题意知，曲线c的普通方程为x2(y2)24，xcos，ysin，曲线c的极坐标方程为(cos)2(sin2)24，即4sin.由2，得sin，.(2)由题易知直线l的普通方程为xy40，直线l的极坐标方程为cossin40.又射线oa的极坐标方程为(0)，联立，得解得4.点b的极坐标为，|ab|ba|422.核心规律如何解决极坐标问题(1)解决极坐标系中的一些问题时，主要的思路是将极坐标化为直角坐标，在直角坐标系下求解后，再转化为极坐标(2)极坐标方程与直角坐标方程互化的核心公式：(3)由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程()的图形的对称性：若()()，则相应图形关于极轴对称；若()()，则图形关于射线所在的直线对称；若()()，则图形关于极点o对称满分策略极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴正方向重合；取相同的长度单位(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点p所在的象限(即角的终边的位置)，以便正确地求出角.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定取正值，0,2)，平面上的点(除去极点)与极坐标(，)(0)建立一一对应关系.板块三模拟演练提能增分 基础能力达标12018广东珠海模拟在极坐标系中，圆c的极坐标方程为24(cossin)6.若以极点o为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系(1)求圆c的参数方程；(2)在直角坐标系中，点p(x，y)是圆c上一动点，试求xy的最大值，并求出此时点p的直角坐标解(1)因为24(cossin)6，所以x2y24x4y6，所以x2y24x4y60，整理得(x2)2(y2)22.所以圆c的参数方程为(为参数)(2)由(1)可得xy4(sincos)42sin.当，即点p的直角坐标为(3,3)时，xy取得最大值，其值为6.22018宁波模拟已知曲线c1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为2sin.(1)把c1的参数方程化为极坐标方程；(2)求c1与c2交点的极坐标(0,02)解(1)将消去参数t，化为普通方程(x4)2(y5)225，即c1：x2y28x10y160.将代入x2y28x10y160得28cos10sin160.所以c1的极坐标方程为28cos10sin160.(2)c2的直角坐标方程为x2y22y0.由解得或所以c1与c2交点的极坐标分别为，.32018南通模拟在直角坐标系xoy中，圆c的参数方程为(为参数)以o为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆c的普通方程；(2)直线l的极坐标方程是2sin5，射线om：与圆c的交点为o，p，与直线l的交点为q，求线段pq的长解(1)因为圆c的参数方程为(为参数)，所以圆心c的坐标为(0,2)，半径为2，圆c的普通方程为x2(y2)24.(2)将xcos，ysin代入x2(y2)24，得圆c的极坐标方程为4sin.设p(1，1)，则由解得12，1.设q(2，2)，则由解得25，2.所以|pq|3.42018昆明模拟将圆x2y21上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线.(1)写出的参数方程；(2)设直线l：3x2y60与的交点为p1，p2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段p1p2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为上的点(x，y)，依题意，得即由xy1，得221，即曲线的方程为1.故的参数方程为(t为参数)(2)由解得或不妨设p1(2,0)，p2(0,3)，则线段p1p2的中点坐标为，所求直线的斜率k.于是所求直线方程为y(x1)，即4x6y50，化为极坐标方程，得4cos6sin50.52016全国卷在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为sin2.(1)写出c1的普通方程和c2的直角坐标方程；(2)设点p在c1上，点q在c2上，求|pq|的最小值及此时p的直角坐标解(1)由曲线c1：得即曲线c1的直角坐标方程为y21.由曲线c2：sin2，得(sincos)2，即曲线c2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点p的直角坐标为(cos，sin)因为c2是直线，所以|pq|的最小值即为p到c2的距离d()的最小值，d().当且仅当2k(kz)时，d()取得最小值，最小值为，此时p的直角坐标为.62018合肥模拟在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为(其中为参数)，曲线c