1.4.2正弦函数、余弦函数的质(全)上课用.ppt

三角函数1 4 2正弦函数余弦函数的性质 正 余弦函数图像特征 在函数的图象上 起关键作用的点有 最高点 最低点 与x轴的交点 注意 函数图像的凹凸性 知识回顾 在函数的图象上 起关键作用的点有 最高点 最低点 与x轴的交点 注意 函数图像的凹凸性 余弦函数图像特征 y sinx x R y cosx x R 一 正弦 余弦函数的周期性 对于函数f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的每一个值时 都有f x T f x 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数T叫做这个函数的周期 注 1 T要是非零常数2 每一个值 只要有一个反例 则f x 就不为周期函数 如f x0 t f x0 3 周期函数的周期T往往是多值的 如y sinx2 4 2 4 都是周期 4 周期T中最小的正数叫做f x 的最小正周期 有些周期函数没有最小正周期 正弦函数是周期函数 最小正周期是 余弦函数是周期函数 最小正周期是 一 周期性 函数的周期是 函数的周期是 二 奇偶性 为奇函数 为偶函数 三 定义域和值域 正弦函数 定义域 R 值域 1 1 余弦函数 定义域 R 值域 1 1 练习 下列等式能否成立 例1 求下列函数的定义域和值域 定义域 值域 0 1 2 4 0 2 练习 求下列函数的定义域 值域 解 1 定义域 R 值域 1 1 值域为 解 2 3sinx 0 sinx 0 定义域为 x 2k x 2 2k k Z 又 1 sinx 0 0 3sinx 3 探究 正弦函数的最大值和最小值 最大值 当时 有最大值 最小值 当时 有最小值 四 最值 探究 余弦函数的最大值和最小值 最大值 当时 有最大值 最小值 当时 有最小值 当且仅当 当且仅当 当且仅当 当且仅当 四 正弦 余弦函数的最值 例题 求使函数取得最大值 最小值的自变量的集合 并写出最大值 最小值 化未知为已知 分析 令 则 例2 下列函数有最大 最小值吗 如果有 请写出取最大 最小值时的自变量x的集合 并说出最大 最小值分别是什么 解 这两个函数都有最大值 最小值 1 使函数取得最大值的x的集合 就是使函数取得最大值的x的集合 使函数取得最小值的x的集合 就是使函数取得最小值的x的集合 函数的最大值是1 1 2 最小值是 1 1 0 练习 下列函数有最大 最小值吗 如果有 请写出取最大 最小值时的自变量x的集合 并说出最大 最小值分别是什么 解 2 令t 2x 因为使函数取最大值的t的集合是 所以使函数取最大值的x的集合是 同理 使函数取最小值的x的集合是 函数取最大值是3 最小值是 3 五 探究 正弦函数的单调性 曲线逐渐上升 sin 的值由增大到 当在区间 上时 曲线逐渐下降 sin 的值由减小到 探究 正弦函数的单调性 正弦函数在每个闭区间 都是增函数 其值从 1增大到1 减函数 其值从1减小到 1 探究 余弦函数的单调性 曲线逐渐上升 cos 的值由增大到 曲线逐渐下降 sin 的值由减小到 探究 余弦函数的单调性 由余弦函数的周期性知 其值从1减小到 1 其值从 1增大到1 练习 P46 4 先画草图 然后根据草图判断 练习 P46练习1 五 正弦函数的单调性 y sinx x R 增区间为 其值从 1增至1 0 1 0 1 0 1 减区间为 其值从1减至 1 2k 2k k Z 2k 2k k Z 五 余弦函数的单调性 y cosx x R 0 1 0 1 0 1 例3比较下列各组数的大小 学以致用 正弦函数的图象 对称轴 对称中心 六 正弦 余弦函数的对称性 余弦函数的图象 对称轴 对称中心 六 正弦 余弦函数的对称性 y sinx的图象对称轴为 y sinx的图象对称中心为 y cosx的图象对称轴为 y cosx的图象对称中心为 任意两相邻对称轴 或对称中心 的间距为半个周期 对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期 C 为函数的一条对称轴的是 解 经验证 当 时 为对称轴 练习 时 时 时 时 增函数 减函数 增函数 减函数 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 奇函数 偶函数 求函数的对称轴和对称中心 解 1 令 则 的对称轴为 解得 对称轴为 的对称中心为 对称中心为 练习 练习 求函数的对称轴和对称中心 正弦函数 余弦函数的性质习题课 6 3 2 一 基础题型 A 奇函数B 偶函数C 非奇非偶函数D 以上都不对 答案 B 3 函数y sin 2x 为偶函数 0 2 则 的值为或 4 函数y 2cos3x的单调增区间为 2 若a 0 当cosx 1 即x 2k k Z 时 y取最大值为a b 当cosx 1 即x 2k k Z 时 y取最小值为 a b 若a 0 当cosx 1 即x 2k k Z 时 ymin a b 当cosx 1 即x 2k k Z 时 ymax a b 转化 换元法 分析 根据函数奇偶性定义进行判断 先检查定义域是否关于原点为对称区间 如果是 再验证f x 是否等于 f x 或f x 进而判断函数的奇偶性 如果不是 则该函数必为非奇非偶函数 辨析 解答忽视了以下内容 三角形中的最小角 的范围不是0 90 而是0 60 又 三角形是不等边三角形 故0 60 辨析 b的符号未定 故 bcosx的最值不仅与cosx有关 还与b的正负有关 因此应按b 0与b 0讨论 练习求下列函数的单调区间 归纳 解题中应注意三角函数的有界性对函数值的影响 变形1 分类讨论法 变形2 已知关于x的方程2sin2x cosx 2m 0有解 求m的取值范围 法1 分离参数法 答案 D 答案 C 答案 B 4 sin1 sin1 sin 的大小顺序是 A sin1 sin1 sin B sin1 sin sin1C sin sin1 sin1D sin1 sin1 sin 答案 B 解析 1弧度 57 3 y sinx在 0 90 上是增函数 且1 1 sin1 sin sin1 5 下列函数中 奇函数的个数为 y x2sinx y sinx x 0 2 y sinx x y xcosx A 1个B 2个C 3个D 4个 答案 C 解析 y sinx x 0 2 的定义域不关于原点对称 不是奇函数 符合奇函数的概念 6 y 2sinx2的值域是 A 2 2 B 0 2 C 2 0 D R 答案 A 解析 x2 0 sinx2 1 1 y 2sinx2 2 2 8 函数y asinx b的最大值为1 最小值为 7 则a b 答案 43 3 求下列函数的值域 正弦函数 余弦函数的图象都有无穷多条对称轴 其相邻两条对称轴间距离为半个周期 其对称轴一定经过图象的最高点或最低点 解答三角函数的单调性问题一定要注意复合函数的单调性法则 更要注意函数的定义域 求函数y Asin x 或y Acos x 的单调区间时 0时 先利用诱导公式把x的系数化为正数 然后把 x 看作一个整体t 考虑函数y Asint 或y Asint 的单调区间利用复合函数单调性判定方法 构造不等式解之 课堂小结 5 对称性 y sinx的图象对称轴为 对称中心为 y cosx的图象对称轴为 对称中心为 任意两相邻对称轴 或对称中心 的间距为半个周期 对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期 练习求下列函数的单调区间 练习求下列函数的单调区间 5 y sin x 解 令x u 则y sinu 大致图象如下 减区间为 增区间为 即 y为减函数 练习求下列函