（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课时分层作业 二十四 3.7 应用举例 文.doc

课时分层作业 二十四 应 用 举 例一、选择题(每小题5分,共25分)1.两座灯塔a和b与海岸观察站c的距离相等,灯塔a在观察站南偏西40,灯塔b在观察站南偏东60,则灯塔a在灯塔b的()a.北偏东10b.北偏西10c.南偏东80d.南偏西80【解析】选d.由题意可知acd=40,dcb=60,ca=cb,所以cab=cba= 40,又因为bcd=60,所以cbd=30,dba=10,故灯塔a在b的南偏西80.2.如图所示,为了测量某湖泊两侧a,b间的距离,李宁同学首先选定了与a,b不共线的一点c(abc的角a,b,c所对的边分别记为a,b,c),然后给出了三种测量方案:测量a,c,b;测量a,b,c;测量a,b,a.则一定能确定a,b间的距离的所有方案的序号为()a.b.c.d.【解析】选d.对于可以利用正弦定理确定唯一的a,b两点间的距离,对于直接利用余弦定理即可确定a,b两点间的距离.3.某船开始看见灯塔在南偏东30方向,后来船沿南偏东60的方向航行15 km后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是()a.5 kmb.10 kmc.5 kmd.5 km【解析】选c.作出示意图(如图),点a为该船开始的位置,点b为灯塔的位置,点c为该船后来的位置,所以在abc中,有bac=60-30=30,b=120,ac=15,由正弦定理,得=,即bc=5,即这时船与灯塔的距离是5 km.【变式备选】为绘制海底地貌图,测量海底两点c,d之间的距离,海底探测仪沿水平方向在a,b两点进行测量,a,b,c,d在同一个铅垂平面内,海底探测仪测得bac=30,dac=45,abd=45,dbc=75,a,b两点的距离为海里,则c,d之间的距离为()a. 海里b.2海里c.海里d.海里【解析】选a.adb=180-30-45-45=60,在abd中,由正弦定理,得bd=,在abc中,acb=180-30-45-75=30,所以bc=ba=,在bcd中,由余弦定理,得cd2=bc2+bd2-2bcbdcosdbc=3+-2=5,所以cd=.4.(2018深圳模拟)一架直升飞机在200 m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30和60,则塔高为()世纪金榜导学号37680485a.mb.mc.md.m【解析】选a.如图所示.在rtacd中可得cd=be,在abe中,由正弦定理得=ab=,所以de=bc=200-=(m).5.台风中心从a地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市b在a的正东40千米处,b城市处于危险区内的持续时间为()a.0.5小时b.1小时c.1.5小时d.2小时【解析】选b.根据题意画出相应的图形,如图所示.be=bf=30 km,abd为等腰直角三角形且ab=40 km,由勾股定理得ad=bd=20km,由bdad,可得ed=df,在rtbed中,由勾股定理得ed=10 km,所以ef=2ed=20 km,因此b市处于危险区内的时间为2020=1(h).二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,一艘船上午9:30在a处测得灯塔s在它的北偏东30处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达b处,此时又测得灯塔s在它的北偏东75处,且与它相距8 n mile.此船的航速是_ n mile/h.【解析】设航速为v n mile/h,在abs中,ab=v,bs=8 n mile,bsa=45,由正弦定理,得=,所以v=32.答案:327.(2018潍坊模拟)如图,为测得河对岸塔ab的高,先在河岸上选一点c,使c在塔底b的正东方向上,测得点a的仰角为60,再由点c沿北偏东15方向走10米到位置d,测得bdc=45,则塔ab的高是_米.【解析】在bcd中,由正弦定理得,=,解得bc=10米,所以在rtabc中,tan 60=,解得ab=10米,所以塔ab的高是10米.答案:108.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形aob,c是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于ao的小路cd.已知某人从o沿od走到d用了2分钟,从d沿dc走到c用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为_米.【解题指南】连接oc,在ocd中,借助余弦定理求半径oc.【解析】连接oc,由题意知cd=150米,od=100米,cdo=60,在cod中,由余弦定理得oc2=cd2+od2-2cdodcos 60,即oc=50.答案:50三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15,经过420 s后看山顶的俯角为45,则山顶的海拔高度为多少米?(取=1.4,=1.7)【解析】如图,作cd垂直于ab的延长线于点d,由题意知a=15,dbc=45,所以acb=30,ab=50420=21 000(m).又在abc中,=,所以bc=sin 15=10 500(-)(m).因为cdad,所以cd=bcsindbc=10 500(-)=10 500(-1)=7 350(m).故山顶的海拔高度为10 000-7 350=2 650(m).10.如图,一架飞机以600 km/h的速度,沿方位角60的航向从a地出发向b地飞行,飞行了36 min后到达e地,飞机由于天气原因按命令改飞c地,已知ad= 600 km,cd=1 200 km,bc=500 km,且adc=30,bcd=113.问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行,此时e地离c地的距离是多少?【解题指南】在acd中使用余弦定理得出ac及acd,在abc中使用余弦定理得出ab及cae,再在ace中使用余弦定理得出ce及aec.【解析】在acd中由余弦定理,得:ac2=(600)2+1 2002-26001 200=360 000,所以ac=600,则cd2=ad2+ac2,即acd是直角三角形,且acd=60,又bcd=113,则acb=53,因为tan 37=,所以cos 53=sin 37=.在abc中,由余弦定理,得:ab2=6002+5002-2600500=5002,则ab=500,又bc=500,则abc是等腰三角形,且bac=53,由已知有ae=600=360,在ace中,由余弦定理,有ce=480,又ac2=ae2+ce2,则aec=90.由飞机出发时的方位角为60,则飞机由e地改飞c地的方位角为:90+60=150.答:收到命令时飞机应该沿方位角150的航向飞行,e地离c地480 km.1.(5分)如图,某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由a处出发,沿北偏东60方向进行海上巡逻,当航行半小时到达b处时,发现北偏西45方向有一艘船c,若船c位于a的北偏东30方向上,则缉私艇所在的b处与船c的距离是()a.5(+)kmb.5(-)kmc.10(-)kmd.10(+)km【解析】选c.由题意知bac=60-30=30,cba=30+45=75,所以acb=180-30-75=75,故ac=ab,因为ab=40=20,所以ac=ab=20.在abc中,由余弦定理得:bc2=ac2+ab2-2acabcoscab=400+400-22020cos 30=400(2-),故bc=10(-).2.(5分)(2018广州模拟)如图,在海岸线上相距2千米的a,c两地分别测得小岛b在a的北偏西方向,在c的北偏西-方向,且cos =,则b,c之间的距离是()a.30千米b.30千米c.12千米d.12千米【解析】选d.依题意得,ac=2,sinbac=sin=cos =,sin b=sin=cos 2=2cos2-1=,在abc中,由正弦定理得,bc=12,则b与c之间的距离是12千米.【变式备选】(2018长沙模拟)地面上有两座塔ab,cd,相距120米,一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2倍,在两塔底连线的中点o处测得塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为()a.50米,100米b.40米,90米c.40米,50米d.30米,40米【解析】选b.设高塔高h,矮塔高h,在矮塔下望高塔仰角为,在o点望高塔仰角为.分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍,所以在高塔下望矮塔仰角为,即tan =,tan=,根据倍角公式有=,在塔底连线的中点o测得两塔顶的仰角互为余角,所以在o点望矮塔仰角为-,即tan =,tan=,根据诱导公式有=,联立得h=90,h=40.即两座塔的高度为40米,90米.3.(5分)(2018宜昌模拟)如图所示,在海岛a上有一座海拔千米的山峰,山顶上设有一座观察站p,一艘轮船沿一固定方向匀速航行,上午10:00时,测得此船在岛北偏东20且俯角为30的b处,到10:10时,又测得该船在岛北偏西40且俯角为60的c处,则该船的航行速度为_ km/h.世纪金榜导学号37680489【解题指南】在rtpab,rtpac中确定ab,ac的长,进而求得cab的大小,在abc中,利用余弦定理求得bc,用路程除以时间即为船的速度.【解析】在rtpab中,apb=60,pa=,所以ab=3.在rtpac中,apc=30,所以ac=1.在acb中,cab=20+40=60,所以bc=.则船的航行速度为=6(km/h).答案:64.(12分)如图,a,b是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点.现位于a点北偏东45,b点北偏西60的d点有一艘轮船发出求救信号,位于b点南偏西60且与b点相距20海里的c点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达d点需要多长时间?【解析】由题意知ab=5(3+)海里,因为dba=90-60=30,dab=90-45=45,所以adb=180-(45+30)=105.在dab中,由正弦定理得bd=10(海里).又因为dbc=dba+abc=30+(90-60)=60,bc=20海里,在dbc中,由余弦定理得cd2=bd2+bc2-2bdbccosdbc=300+1 200-21020=900,所以cd=30(海里),所以需要的时间t=1(小时).即该救援船到达d点需要1小时.5.(13分)如图,某人位于塔ab的正东方向上的c处,在与塔垂直的水平面内沿南偏西60的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后到达d处,在点d处望见塔的底端b在东北方向上,已知沿途塔的仰角aeb=,的最大值为60.(1)求该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时,走了几分钟.(2)求塔的高ab.【解析】(1)依题意知,在dbc中,bcd=30,dbc=180-dbf=180-45=135,cd=6 000=100(米),bdc=180-135-30=15,由正弦定理得=,所以bc=50(-1)(米).在rtab