高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式 3.2 一般形式的柯西不等式达标训练 新人教A版选修4-5.doc

3.1 二维形式的柯西不等式3.2 一般形式的柯西不等式更上一层楼基础巩固1.已知a,b是给定的正数，则的最小值为（ ）a.a2+b2 b.2ab c.(a+b)2 d.4ab思路分析：我们可利用平均不等式处理本题，利用三角函数sin,cos分别与csc,sec的倒数关系去掉分母，再利用平方关系1+tan2=sec2,1+cot2=csc2变形，最后利用平均不等式. 如果利用柯西不等式处理起来更方便,我们可以依照二维形式的柯西不等式进行构造.=(sin2+cos2)()(sin+cos)2=(a+b)2.答案：c2.设x,y,m,n(0,+)，且=1，则x+y的最小值是（ ）a.m+n b.4mnc.()2 d.思路分析：很容易误选，原因就是没注意等号成立的条件.利用二维的柯西不等式及其等号成立的条件，直接从x+y入手有点困难，所以把x+y看成(x+y)1=(x+y)()，进而可使条件、结论、选择支有机结合起来.答案：c3.设ab0，则的最小值为_.思路分析：=(a-b)+b,当且仅当a-b=b=即a=2,b=1时等号成立.关键在把a+拆分成(a-b)+b.答案：34.若0a,b,c1满足条件abbcca1，则的最小值是_.思路分析：设s=，则s.由a2+b2+c2ab+bc+ca，在这不等式两边同时加上2(ab+bc+ca)，可得(a+b+c)23(ab+bc+ca)，所以a+b+c.于是s.这里，当且仅当a=b=c=时，s取得最小值.答案：5.已知a,br，求证：a2+b22ab.证明：(a2+b2)2=(a2+b2)(b2+a2)(ab+ba)2=4(ab)2，a2+b22|ab|2ab.6.已知a,b,c,x,y,zr，求证：(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)(ax+by+cz)2.思路分析：该不等式比二维形式的柯西不等式多了一对变量c、z,如果我们把,看成一对，也一样可以应用柯西不等式来证明.证明：(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)a2+()2x2+(|a|x|+)2=(|ax|+|ax|+2=|ax|+|by|+|cz|)2(ax+by+cz)2.综合应用7.设x1,x2,xnr+，定义sn=2,在x1+x2+xn=1条件下，则sn的最小值为_.思路分析：因为2()2,所以sn=221+n22=n.当x1=x2=xn=时，取到最小值n.答案：n8.求证：.思路分析：有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的.证明：()2=(x12+x22)+(y12+y22)+,由柯西不等式得(x12+x22)(y12+y22)(x1y1+x2y2)2.其中等号当且仅当x1=ky1，x2=ky2时成立.x1y1+x2y2,()2(x12+x22)+(y21+y22)+2(x1y1+x2y2)=(x1+y1)2+(x2+y2)2,.其中等号当且仅当x1=ky1，x2=ky2时成立.9.已知=1,求证：a2+b2=1.思路分析：利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证.证明：由柯西不等式，得a2+(1-a2)b2+(1-b2)=1,当且仅当时，上式取等号，ab=,a2b2=(1-a2)(1-b2),于是a2+b2=1.回顾展望10.函数f(x)=在x(0,)时的最小值为（ ）a.2 b.4 c.6 d.8思路分析：f(x)=(sinx+cosx)()+(tanx+cotx)()(sinx+cosx)()+(tanx+cotx)()=4.要使上式等号成立，当且