（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 课时分层作业 四十七 8.3 圆的方程 文.doc

课时分层作业 四十七圆 的 方 程一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是()a.x+y-2=0b.x-y+2=0c.x+y-3=0d.x-y+3=0【解析】选d.因为圆心为(0,3),直线x+y+1=0的斜率为-1,所以直线l的斜率为1,所以l的方程是y=x+3,即x-y+3=0.【变式备选】1.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()a.1b.2c.d.2【解析】选c.圆心(-1,0),直线x-y+3=0.所以圆心到直线的距离为=.2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()a.-b.-c.d.2【解析】选a.圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,故圆心为(1,4),d=1,解得a=-.3.圆c:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=_.【解析】因为圆心为(1,2),所以圆心到直线3x+4y+4=0的距离为d=3.答案:32.设p为圆x2+y2+4x-6y-12=0上的动点,则点p到直线3x-4y-12=0的距离的最小值为()a.b.1c.11d.【解析】选b.因为由x2+y2+4x-6y-12=0配方得(x+2)2+(y-3)2=25,所以圆心为(-2,3),半径为5,所以圆心到直线3x-4y-12=0的距离为d=6,所以由平面几何性质,圆上的动点p到直线的距离的最小值为d-r=6-5=1.3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()a.x2+(y-2)2=1b.x2+(y+2)2=1c.(x-1)2+(y-3)2=1d.x2+(y-3)2=1【解析】选a.设圆心坐标为(0,b),则由题意知=1,解得b=2,故圆的方程为x2+(y-2)2=1.【一题多解】选a.由圆心在y轴上,半径为1,点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为(0,2),故圆的方程为x2+(y-2)2=1.【变式备选】设点m(x0,1),若在圆o:x2+y2=1上存在点n,使得omn=45,则x0的取值范围是()a.-1,1b.c.-,d.【解析】选a.如图,因为点m在直线y=1上,当点n为(0,1)时,x0=1,当|x0|1时,不存在n,符合条件,所以x0的取值范围是-1,1.4.已知圆c与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆c的方程为()a.(x+1)2+(y-1)2=2b.(x-1)2+(y+1)2=2c.(x-1)2+(y-1)2=2d.(x+1)2+(y+1)2=2【解析】选b.圆心在x+y=0上,排除c,d,再结合图象,如图,或者验证a,b中圆心到两直线的距离等于半径即可.【变式备选】已知圆c1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆c2与圆c1关于直线x-y-1=0对称,则圆c2的方程为() a.(x+2)2+(y-2)2=1b.(x-2)2+(y+2)2=1c.(x+2)2+(y+2)2=1d.(x-2)2+(y-2)2=1【解析】选b.圆c1的圆心坐标为(-1,1),半径为1,设圆c2的圆心坐标为(a,b),由题意得解得所以圆c2的圆心坐标为(2,-2),又两圆的半径相等,故圆c2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.5.过点p(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为a,b ,则直线ab的方程为()a.2x+y-3=0b.2x-y-3=0c.4x-y-3=0 d. 4x+y-3=0【解析】选a.设切点a(x1,y1) ,b(x2,y2),圆心为c(1,0),半径为1,因为 ,所以-4x1+3+-y1=0,又因为-2x1+1+=1,所以2x1+y1-3=0,同理可得2x2+y2-3=0,所以直线ab的方程为2x+y-3=0.二、填空题(每小题5分,共15分)6.经过三点(2,-1),(5,0),(6,1)的圆的一般方程为_.【解析】设所求圆的一般方程为x2+y2+dx+ey+f=0,则解得所以所求圆的一般方程为x2+y2-4x-8y-5=0.答案:x2+y2-4x-8y-5=0【变式备选】已知在rtabc中,a(0,0),b(6,0),则直角顶点c的轨迹方程为_.【解析】依题意,顶点c的轨迹是以ab为直径的圆,且去掉端点a,b,圆心坐标为(3,0),半径为3,故直角顶点c的轨迹方程为(x-3)2+y2=9(y0),即为x2+y2-6x =0(y0).答案:x2+y2-6x=0(y0)【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:设顶点c的坐标为(x,y),由于acbc,故kackbc=-1,所以=-1,所以x2+y2-6x=0,即直角顶点c的轨迹方程为(x-3)2+y2=9(y0).即为x2+y2-6x=0(y0).答案:x2+y2-6x=0(y0)7.已知圆c: x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆c上,则a=_.【解析】由已知直线l:x-y+2=0经过圆心,所以-1+2=0,所以a=-2.答案:-2【变式备选】若圆(x+1)2+(y-3)2=9上的相异两点p,q关于直线kx+2y-4=0对称,则k的值为_.【解析】圆是轴对称图形,过圆心的直线都是它的对称轴.已知圆的圆心为(-1,3),由题设知,直线kx+2y-4=0过圆心,则k(-1)+23-4=0,解得k=2.答案:28.已知以点p为圆心的圆经过点a(-1,0)和b(3,4),线段ab的垂直平分线交圆p于点c和d,且|cd|=4.则圆p的方程为_.【解析】由题意知,直线ab的斜率k=1,中点坐标为(1,2).则直线cd的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.设圆心p(a,b),则由点p在cd上得a+b-3=0.又因为直径|cd|=4,所以|pa|=2,所以(a+1)2+b2=40.由解得或所以圆心p(-3,6)或p(5,-2).所以圆p的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.即为x2+y2+6x-12y+5=0或x2+y2-10x+4y-11=0.答案:x2+y2+6x-12y+5=0或x2+y2-10x+4y-11=0【变式备选】圆c通过不同的三点p(k,0),q(2,0),r(0,1),已知圆c在点p处的切线斜率为1,则圆c的方程为_.【解析】设圆c的方程为x2+y2+dx+ey+f=0,则k,2为x2+dx+f=0的两根,所以k+2=-d,2k=f,即d=-(k+2),f=2k,又圆过r(0,1),故1+e+f=0.所以e=-2k-1.故所求圆的方程为x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,圆心坐标为.因为圆c在点p处的切线斜率为1,所以kcp=-1=,所以k=-3.所以d=1,e=5,f=-6.所以所求圆c的方程为x2+y2+x+5y-6=0.答案:x2+y2+x+5y-6=0三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知直线l:y=x+m,mr,若以点m(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点p,且点p在y轴上,求该圆的方程.【解析】方法一:依题意,点p的坐标为(0,m),因为mpl,所以1=-1,解得m=2,即点p的坐标为(0,2),圆的半径r=|mp|=2,故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.方法二:设所求圆的半径为r,则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2,依题意,所求圆与直线l:x-y+m=0相切于点p(0,m),则解得所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.10.已知过原点的动直线l与圆c1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点a,b.(1)求圆c1的圆心坐标.(2)求线段ab的中点m的轨迹c的方程.【解析】(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,所以圆c1的圆心坐标为(3,0).(2)设m(x,y),依题意=0,所以(x-3,y)(x,y)=0,则x2-3x+y2=0,所以+y2=.又原点o(0,0)在圆c1外,因此中点m的轨迹是圆c与圆c1相交落在圆c1内的一段圆弧.由消去y2得x=,因此x3.所以线段ab的中点m的轨迹方程为+y2=.1.(5分)已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,br)对称,则ab的取值范围是 ()a.b.c.d.【解析】选a.将圆的方程化成标准形式得(x+1)2+(y-2)2=4,若圆关于已知直线对称,则圆心(-1,2)在直线上,代入整理得a+b=1,故ab=a(1-a)=-+.【变式备选】已知圆x2+y2-2ax-2by-2 019=0的圆心在直线2x+3y-1=0上,则a2+b2的最小值为_.【解析】因为圆心为(a,b),所以2a+3b=1,所以b=.所以a2+b2=,当且仅当a=,b=时取等号,所以a2+b2的最小值为.答案:2.(5分)已知圆c:(x-3)2+(y+5)2=25和两点a(2,2),b(-1,-2),若点p在圆c上且sabp=,则满足条件的p点有_个.【解析】因为a(2,2),b(-1,-2),所以|ab|=5,又因为sabp=,所以p到ab的距离为1,又直线ab的方程为=,即4x-3y-2=0,依题意圆心c与直线的距离为=5,且圆的半径r=5,所以直线ab与圆相切,所以符合条件的点p有2个.答案:23.(5分)已知直线l:x+y-2=0和圆c:x2+y2-12x-12y+54=0,则与直线l和圆c都相切且半径最小的圆的标准方程是_.【解析】圆:x2+y2-12x-12y+54=0的圆心c(6,6),半径r=3,圆心c(6,6)到x+y-2=0的距离d=5,与直线x+y-2=0和圆x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的圆心在过c与x+y-2=0垂直的直线l1上,所求圆的半径r= (5-3)=,直线l1:y-6=x-6,即y=x,设所求圆的方程为:(x-a)2+(y-a)2=2,解方程组得x+y-2=0与l1的交点(1,1),解方程:(1-a)2+(1-a)2=2,得a=2或a=0(不符合已知条件,舍去),所以所求圆的方程为:(x-2)2+(y-2)2=2.答案:(x-2)2+(y-2)2=2【一题多解】如图,圆c的圆心为(6,6),半径为3,所以所求的圆的圆心为(2,2),半径为,所以所求的圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=2,即为x2+y2-4x-4y+6 =0.答案:(x-2)2+(y-2)2=24.(12分)四个点a(1,3),b(3,2),c(3,-5),d(-3,-5). (1)求这个四边形abcd的面积.(2)求证:这四个点共圆,并求出这个圆的方程.【解析】(1)在平面直角坐标系中,画出四个点,如图,因为=(2,-1),=(-4,-8),=(6,0),=(0,-7),所以,所以sabd=4=10,scbd=76=21,所以四边形abcd的面积为sadb+sbcd=31.(2)由(1)知,四个点都在以bd为直径的圆上,bd的中点为,|bd|=,所以圆的方程为x2+=,即x2+y2+3y-19=0.5.(13分)已知以点c(tr,t0)为圆心的圆与x轴交于点o和点a,与y轴交于点o和点b,其中o为原点.(1)求证:oab的面积为定值.(2)设直线y=-2x+4与圆c交于点m,n,若|om|=|on|,求圆c的方程.【解析】(1)因为圆c过原点o,所以|oc|2=t2+.设圆c的方程是(x-t)2+=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t,所以soab=|oa|ob|=|2t|=4,即oab的面积为定值.(2)因为|om|=|on|,|cm|=|cn|,所以oc垂直平分线段mn.因为kmn=-2,所以koc=.所以=t,解得t=2或t=-2.当t=2时,圆心c的坐标为(2,1),|oc|=,此时,c到直线y=-2x+4的距离d=.圆c与直线y=-2x+4不相交,所以t=-2不符合题意,舍去.所以圆c的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.即为x2+y2-4x-2y=0.【变式备选】在直角坐标系xoy中,以o为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆o的方程.(2)圆o与