（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第十三单元 直线与圆学案 理.doc

第十三单元 直线与圆教材复习课“直线与圆”相关基础知识一课过直线的方程过双基1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角；规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为；范围：直线l的倾斜角的取值范围是0，)(2)直线的斜率定义：当直线l的倾斜角时，其倾斜角的正切值tan 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即ktan_；斜率公式：经过两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.2直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式axbyc0(a2b20)所有直线1已知a(m，2)，b(3,0)，若直线ab的斜率为2，则m的值为()a1b2c1或2 d2解析：选b由直线ab的斜率k2，解得m2.2若经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是()a(5,8) b(8，)c. d.解析：选d由题意知1，即0，5m0，解得2a.2(2018天津模拟)若坐标原点在圆(xm)2(ym)24的内部，则实数m的取值范围是()a(1,1) b(，)c(，) d.解析：选c因为(0,0)在(xm)2(ym)24的内部，则有(0m)2(0m)24，解得m.3(2015北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()a(x1)2(y1)21b(x1)2(y1)21c(x1)2(y1)22d(x1)2(y1)22解析：选d圆的半径r，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x1)2(y1)22.4若圆c的圆心在x轴上，且过点a(1,1)和b(1,3)，则圆c的方程为_解析：设圆心坐标为c(a,0)，点a(1,1)和b(1,3)在圆c上，|ca|cb|，即，解得a2，所以圆心为c(2,0)，半径|ca|，圆c的方程为(x2)2y210.答案：(x2)2y210两条直线的位置关系过双基1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3距离p1(x1，y1)，p2(x2，y2)两点之间的距离|p1p2|点p0(x0，y0)到直线l：axbyc0的距离d平行线axbyc10与axbyc20间距离d1已知直线l1：(3a)x4y53a和直线l2：2x(5a)y8平行，则a()a7或1 b7c7或1 d1解析：选b由题意可得a5，所以，解得a7(a1舍去)2圆x2y26x2y30的圆心到直线xay10的距离为1，则a()a bc. d2解析：选b圆x2y26x2y30可化为(x3)2(y1)27，其圆心(3,1)到直线xay10的距离d1，解得a.3已知直线l1：(m2)xy50与l2：(m3)x(18m)y20垂直，则实数m的值为()a2或4 b1或4c1或2 d6或2解析：选d当m18时，两条直线不垂直，舍去；当m18时，由l1l2，可得(m2)1，化简得(m6)(m2)0，解得m6或2.4若两条平行直线4x3y60和4x3ya0之间的距离等于2，则实数a_.解析：两条平行直线的方程为4x3y60和4x3ya0，由平行线间的距离公式可得2，即|6a|10，解得a4或16.答案：4或16清易错1在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑2运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错1已知直线l1：x(a2)y20，直线l2：(a2)xay10，则“a1”是“l1l2”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选a法一：(1)当直线l1的斜率不存在，即a2时，有l1：x20，l2：2y10，此时符合l1l2.(2)当直线l1的斜率存在，即a2时，直线l1的斜率k10，若l1l2，则必有直线l2的斜率k2，所以1，解得a1.综上所述，l1l2a1或a2.故“a1”是“l1l2”的充分不必要条件法二：l1l21(a2)(a2)a0，解得a1或a2.所以“a1”是“l1l2”的充分不必要条件2若p，q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|pq|的最小值为()a. b.c. d.解析：选c因为，所以两直线平行由题意可知|pq|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|pq|的最小值为.直线与圆的位置关系过双基直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点000几何观点drdrdr1直线yax1与圆x2y22x30的位置关系是()a相切 b相交c相离 d随a的变化而变化解析：选b因为直线yax1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆x2y22x30的内部，故直线与圆相交2(2018大连模拟)若a2b22c2(c0)，则直线axbyc0被圆x2y21所截得的弦长为()a. b1c. d.解析：选d因为圆心(0,0)到直线axbyc0的距离d，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 ，所以弦长为.3已知圆c：x2y26x80，则圆心c的坐标为_；若直线ykx与圆c相切，且切点在第四象限，则k的值为_解析：圆的方程可化为(x3)2y21，故圆心坐标为(3,0)；由1，解得k，由切点在第四象限，可得k.答案：(3,0)圆与圆的位置关系过双基圆与圆的位置关系(两圆半径r1，r2，d|o1o2|)相离外切相交内切内含图形量的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|1若圆x2y21与圆(x4)2(ya)225相切，则实数a_.答案：2或02圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_解析：由得xy20.又圆x2y24的圆心到直线xy20的距离为.由勾股定理得弦长的一半为，所以所求弦长为2.答案：2一、选择题1直线 xy30的倾斜角为()a.b.c. d.解析：选c直线xy30可化为yx3，直线的斜率为，设倾斜角为，则tan ，又00)，又由圆与直线4x3y0相切可得1，解得a2，故圆的标准方程为(x2)2(y1)21.二、填空题9已知直线l过点a(0,2)和b(，3m212m13)(mr)，则直线l的倾斜角的取值范围为_解析：设此直线的倾斜角为，00，且0，解得1m0)将abc分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()a(0,1) b.c. d. 解析：选b由消去x，得y，当a0时，直线yaxb与x轴交于点，结合图形知，化简得(ab)2a(a1)，则a.a0，0，解得b.考虑极限位置，即a0，此时易得b1，故选b.一、选择题1如果ab0，bc0，则直线axbyc0不经过的象限是()a第一象限b第二象限c第三象限 d第四象限解析：选c由ab0，bc0，可得直线axbyc0的斜率为0，直线在y轴上的截距0, 故直线不经过第三象限2直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()a0，) b.c. d.解析：选b直线xsin y20的斜率为ksin ， 1sin 1, 1k1, 直线倾斜角的取值范围是.3已知点m是直线xy2上的一个动点，且点p(，1)，则|pm|的最小值为()a. b1c2 d3解析：选b|pm|的最小值即点p(，1)到直线xy2的距离，又1，故|pm|的最小值为1.4(2018郑州质量预测)“a1”是“直线axy10与直线(a2)x3y20垂直”的()a充要条件 b充分不必要条件c必要不充分条件 d既不充分也不必要条件解析：选baxy10与(a2)x3y20垂直，a(a2)30，解得a1或a3.“a1”是两直线垂直的充分不必要条件5已知点a(1，2)，b(m,2)，若线段ab的垂直平分线的方程是x2y20，则实数m的值为()a2 b7c3 d1解析：选ca(1，2)和b(m,2)的中点在直线x2y20上， 2020，m3.6已知直线l过点p(1,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于a，b两点，则当aob的面积取得最小值时，直线l的方程为()a2xy40 bx2y30cxy30 dxy10解析：选a由题可知，直线l的斜率k存在，且k0，则直线l的方程为y2k(x1)a，b(0,2k)，soab(2k)4，当且仅当k2时取等号直线l的方程为y22(x1)，即2xy40.7(2018豫南九校质量考评)若直线xay20与以a(3,1)，b(1,2)为端点的线段没有公共点，则实数a的取值范围是()a(2,1)b(，2)(1，)c.d(，1)解析：选d直线xay20过定点c(2,0)，直线cb的斜率kcb2，直线ca的斜率kca1，所以由题意可得a0且21，解得a.8已知p(x0，y0)是直线l：axbyc0外一点，则方程axbyc(ax0by0c)0表示()a过点p且与l垂直的直线b过点p且与l平行的直线c不过点p且与l垂直的直线d不过点p且与l平行的直线解析：选d因为p(x0，y0)是直线l：axbyc0外一点，所以ax0by0ck，k0.若方程axbyc(ax0by0c)0，则axbyck0.因为直线axbyck0和直线l斜率相等，但在y轴上的截距不相等，故直线axbyck0和直线l平行因为ax0by0ck，且k0，所以ax0by0ck0，所以直线axbyck0不过点p，故选d.二、填空题9已知点a(3，4)，b(6,3)到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值为_解析：由题意及点到直线的距离公式得，解得a或.答案：或10与直线2x3y50平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是_解析：由平行关系设所求直线方程为2x3yc0, 令x0，可得y；令y0，可得x， 6，解得c， 所求直线方程为2x3y0, 化为一般式可得10x15y360.答案：10x15y36011已知直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，则直线l1与l2的距离为_解析：直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，即3x4y0，直线l1与l2的距离为.答案：12在平面直角坐标系中，已知点p(2,2)，对于任意不全为零的实数a，b，直线l：a(x1)b(y2)0，若点p到直线l的距离为d，则d的取值范围是_解析：由题意，直线过定点q(1，2)，pql时，d取得最大值5, 直线l过点p时，d取得最小值0, 所以d的取值范围0,5答案：0,5 三、解答题13已知方程(m22m3)x(2m2m1)y52m0(mr)(1)求方程表示一条直线的条件； (2)当m为何值时，方程表示的直线与x轴垂直；(3)若方程表示的直线在两坐标轴上的截距相等，求实数m的值解：(1)由解得m1，方程(m22m3)x(2m2m1)y52m0(mr)表示直线，m22m3,2m2m1不同时为0，m1.故方程表示一条直线的条件为m1.(2)方程表示的直线与x轴垂直，解得m.(3)当52m0，即m时，直线过原点，在两坐标轴上的截距均为0；当m时，由，解得m2.故实数m的值为或2.14已知直线m：2xy30与直线n：xy30的交点为p.(1)若直线l过点p，且点a(1,3)和点b(3,2)到直线l的距离相等，求直线l的方程；(2)若直线l1过点p且与x轴、y轴的正半轴分别交于a，b两点，abo的面积为4，求直线l1的方程解：(1)由得即交点p(2,1)由直线l与a，b的距离相等可知，lab或l过ab的中点 由lab，得klkab，所以直线l的方程为y1(x2)，即x2y40，由l过ab的中点得l的方程为x2，故x2y40或x2为所求(2)法一：由题可知，直线l1的斜率k存在，且k0. 则直线l1的方程为yk(x2)1kx2k1.令x0，得y12k0，令y0，得x0，sabo(12k)4，解得k， 故直线l1的方程为yx2，即x2y40.法二：由题可知，直线l1的横、纵截距a，b存在，且a0，b0，则l1：1.又l1过点(2,1)，abo的面积为4，解得故直线l1的方程为1，即x2y40.1设mr，过定点a的动直线xmy0和过定点b的动直线mxym30交于点p(x，y)(点p与点a，b不重合)，则pab的面积最大值是()a2 b5c. d.解析：选c由题意可知，动直线xmy0过定点a(0,0)动直线mxym30m(x1)3y0，因此直线过定点b(1,3)当m0时，两条直线分别为x0，y3，交点p(0,3)，spab13.当m0时，两条直线的斜率分别为，m，则m1，因此两条直线相互垂直当|pa|pb|时，pab的面积取得最大值由|pa|ab|，解得|pa|.spab|pa|2.综上可得，pab的面积最大值是.2已知直线y2x是abc中c的平分线所在的直线，若点a，b的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点c的坐标为()a(2,4) b(2，4)c(2,4) d(2，4)解析：选c设a(4,2)关于直线y2x的对称点为(x，y)，则解得，即(4，2)直线bc所在方程为y1(x3)，即3xy100.联立解得可得c(2,4)3在平面直角坐标系内，到点a(1,2)，b(1,5)，c(3,6)，d(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_解析：设平面上任一点m，因为|ma|mc|ac|，当且仅当a，m，c共线时取等号，同理|mb|md|bd|，当且仅当b，m，d共线时取等号，连接ac，bd交于一点m，若|ma|mc|mb|md|最小，则点m为所求kac2，直线ac的方程为y22(x1)，即2xy0.又kbd1，直线bd的方程为y5(x1)，即xy60.由得即m(2,4)答案：(2,4)高考研究课(二)圆的方程命题3角度求方程、算最值、定轨迹全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度圆的方程5年4考求圆的方程及先求圆的方程再考查应用与圆有关的最值问题5年1考求范围与圆有关的轨迹问题未考查圆的方程圆的方程的求法，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.典例求经过点a(5,2)，b(3，2)，且圆心在直线2xy30上的圆的方程解法一：用“几何法”解题由题意知kab2，ab的中点为(4,0)，设圆心为c(a，b)，圆过a(5,2)，b(3，2)两点，圆心一定在线段ab的垂直平分线上则解得c(2,1)，r|ca|.所求圆的方程为(x2)2(y1)210.法二：用“代数法”解题设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则解得故圆的方程为(x2)2(y1)210.法三：用“代数法”解题设圆的方程为x2y2dxeyf0(d2e24f0)，则解得所求圆的方程为x2y24x2y50.方法技巧求圆的方程的方法(1)方程选择原则若条件中圆心坐标明确时，常设为圆的标准方程，不明确时，常设为一般方程(2)求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是代数法，大致步骤如下：根据题意，选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于a，b，r或d，e，f的方程组；解出a，b，r或d，e，f代入标准方程或一般方程即时演练根据下列条件，求圆的方程(1)已知圆心为c的圆经过点a(0，6)，b(1，5)，且圆心在直线l：xy10上；(2)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点p(3，2)解：(1)法一：设圆的方程为x2y2dxeyf0(d2e24f0)，则圆心坐标为.由题意可得解得所以圆的方程为x2y26x4y120.法二：因为a(0，6)，b(1，5)，所以线段ab的中点d的坐标为，直线ab的斜率kab1，因此线段ab的垂直平分线的方程是y，即xy50.则圆心c的坐标是方程组的解，解得所以圆心c的坐标是(3，2)圆的半径长r|ac|5，所以圆的方程为(x3)2(y2)225.(2)法一：如图，设圆心坐标为(x0，4x0)，依题意得1，x01，即圆心坐标为(1，4)，半径r2，故圆的方程为(x1)2(y4)28.法二：设所求方程为(xx0)2(yy0)2r2，根据已知条件得解得因此所求圆的方程为(x1)2(y4)28.与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题；(4)距离和(差)的最值问题；(5)三角形的面积的最值问题角度一：斜率型最值问题1已知实数x，y满足方程x2y24x10，求的最大值和最小值解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.角度二：截距型最值问题2在角度一条件下求yx的最大值和最小值解：yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，如图所示，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.角度三：距离型最值问题3设p(x，y)是圆(x2)2y21上的任意一点，则(x5)2(y4)2的最大值为()a6b25c26 d36解析：选d(x5)2(y4)2表示点p(x，y)到点(5，4)的距离的平方，又点(5，4)到圆心(2,0)的距离d5，则点p(x，y)到点(5，4)的距离最大值为6，从而(x5)2(y4)2的最大值为36.角度四：距离和(差)的最值问题4已知圆c1：(x2)2(y3)21，圆c2：(x3)2(y4)29，m，n分别是圆c1，c2上的动点，p为x轴上的动点，则|pm|pn|的最小值为()a54b.1c62 d.解析：选a圆心c1(2,3)，c2(3,4)，作c1关于x轴的对称点c1(2，3)，连接c1c2与x轴交于点p，此时|pm|pn|取得最小值，为|c1c2|1354.角度五：三角形的面积的最值问题5已知两点a(1,0)，b(0,2)，点p是圆(x1)2y21上任意一点，则pab面积的最大值与最小值分别是()a2，(4) b.(4)，(4)c.，4 d.(2)，(2)解析：选b直线ab的方程为1，即2xy20，圆心(1,0)到直线ab的距离d，则点p到直线ab的距离最大值为1，最小值为1，又|ab|，则(spab)max(4)，(spa