（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课时分层作业五十四 8.6.1 椭圆的概念及其性质 理.doc

课时分层作业 五十四椭圆的概念及其性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018承德模拟)椭圆+y2=1的左、右焦点分别为f1,f2,过f1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为p,则|pf2|=()a.b.c.d.4【解析】选a.a2=4,b2=1,所以a=2,b=1,c=,不妨设p在x轴上方,则f1(-,0),设p(-,m)(m0),则+m2=1,解得m=,所以|pf1|=,根据椭圆定义:|pf1|+|pf2|=2a,所以|pf2|=2a-|pf1|=22-=.2.已知点f1,f2分别是椭圆+=1(k-1)的左、右焦点,弦ab过点f1,若abf2的周长为8,则椭圆的离心率为()a.b.c.d.【解析】选a.由椭圆的定义可得4a=8a=2,又因为c2=a2-b2=1c=1,所以椭圆的离心率e=.3.(2018亳州模拟)已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为f1,f2,过f2作一条直线(不与x轴垂直)与椭圆交于a,b两点,如果abf1恰好为以a为直角顶点的等腰直角三角形,该直线的斜率为()a.1b.2c.d.【解析】选c.不妨设|af1|=m,则|af2|=2a-m,|bf2|=ab-|af2|=m-(2a-m)=2m-2a,于是|bf1|=2a-|bf2|=2a-(2m-2a)=4a-2m,又f1ab=90,所以|bf1|=m,所以4a-2m=m,a=m,因此|af2|=2a-m=m,tanaf2f1=,直线ab斜率为-,由对称性,知还有一条直线斜率为.【变式备选】椭圆+=1上的一点m到左焦点f1的距离为2,n是mf1的中点,则|on|为()a.2b.4c.8d.【解析】选b.根据椭圆定义得|mf2|=8,n为mf1的中点,则on为mf1f2的中位线,所以|on|=|mf2|=4.4.设f1,f2是椭圆+=1的两个焦点,p是椭圆上的点,且|pf1|pf2|=43,则pf1f2的面积为()a.30b.25c.24d.40【解析】选c.因为|pf1|+|pf2|=14,又|pf1|pf2|=43,所以|pf1|=8,|pf2|=6.因为|f1f2|=10,所以pf1pf2.所以=|pf1|pf2|=86=24.5.方程+=10化简的结果是()a.+=1b.+=1c.+=1d.+=1【解析】选b.方程的几何意义为动点(x,y)到定点(-4,0)和(4,0)的距离和为10,并且108,所以定点的轨迹为以两个定点为焦点,以2a为长轴长的椭圆,所以a=5,c=4,根据b2=a2-c2=9,所以椭圆方程为+=1.【题目溯源】本考题源于教材人教a版选修2-1p49a组t1“如果点m(x,y)在运动过程中,总满足关系式+=10,点m的轨迹是什么曲线?为什么?写出它的方程”【变式备选】已知两圆c1:(x-4)2+y2=169,c2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆c1内部且和圆c1内切,和圆c2外切,则动圆圆心m的轨迹方程为()a.-=1b.+=1c.-=1d.+=1【解析】选d.设圆m的半径为r,由几何关系可知,点m的轨迹是以c1(4,0),c2(-4,0)为焦点,且2a=(13-r)+(3+r)=16的椭圆,据此可知:a=8,c=4,所以b2=48,椭圆的方程为+=1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.椭圆+4y2=1(a0)的焦点f1,f2在x轴上,离心率为,过f1作直线交椭圆于a,b两点,则abf2的周长为_.【解析】由题意可得:e2=1-=,所以a2=1,由椭圆的定义可得:题中三角形的周长为4a=4.答案:47.(2018呼和浩特模拟)已知f是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,p是此椭圆上的动点,a(1,1)是一定点,则|pa|+|pf|的最大值为_,最小值为_.【解析】如图所示,设椭圆右焦点为f1,则|pf1|+|pf|=6.所以|pa|+|pf|=|pa|-|pf1|+6.利用-|af1|pa|-|pf1|af1|(当p,a,f1共线时等号成立).所以|pa|+|pf|6+,|pa|+|pf|6-.故|pa|+|pf|的最大值为6+,最小值为6-.答案:6+6-8.已知abc的顶点a(-4,0)和c(4,0),顶点b在椭圆+=1上,则=_.【解析】由题意知a,c为椭圆的两焦点,由正弦定理,得=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为f1,f2,右顶点为a,上顶点为b.已知|ab|=|f1f2|.(1)求椭圆的离心率.(2)设p为椭圆上异于其顶点的一点,以线段pb为直径的圆经过点f1,经过点f2的直线l与该圆相切于点m,|mf2|=2.求椭圆的方程.【解析】(1)设椭圆右焦点f2的坐标为(c,0).由|ab|=|f1f2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以,椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设p(x0,y0),由f1(-c,0),b(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c0,故有x0+y0+c=0.因为点p在椭圆上,故+=1.由和可得3+4cx0=0.而点p不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入得y0=,即点p的坐标为.设圆的圆心为t(x1,y1),则x1=-c,y1=c,进而圆的半径r=c.由已知,有|tf2|2=|mf2|2+r2,又|mf2|=2,故有+=8+c2,解得c2=3.所以,所求椭圆的方程为+=1.10.(2018开封模拟)已知椭圆c:+=1(ab0)的离心率为,点m(2,1)在椭圆c上. (1)求椭圆c的方程.(2)直线l平行于om,且与椭圆c交于a,b两个不同的点.若aob为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围.【解析】(1)依题意有解得故椭圆c的方程为+=1.(2)由直线l平行于om,得直线l的斜率k=kom=,又l在y轴上的截距为m,所以l的方程为y=x+m.由得x2+2mx+2m2-4=0.因为直线l与椭圆c交于a,b两个不同的点,所以=(2m)2-4(2m2-4)0,解得-2m2.设a(x1,y1),b(x2,y2).又aob为钝角等价于0且m0,则=x1x2+y1y2=x1x2+=x1x2+(x1+x2)+m20,将x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4代入上式,化简整理得m22,即-mb0)的长轴ab=4,离心率e=,o为坐标原点,过b的直线l与x轴垂直,p是椭圆上异于a,b的任意一点,phx轴,h为垂足,延长hp至q,使得hp=pq,连接aq并延长交直线l于m,n为mb的中点.(1)求椭圆方程并证明q点在以ab为直径的圆o上.(2)试判断直线qn与圆o的位置关系.【解析】(1)由已知得2a=4,=,所以a=2,c=,b=1,所以椭圆的方程为+y2=1.设p(2cos ,sin ),则q(2cos ,2sin ),kaqkbq=-1,所以aqbq,得证.(2)直线oq的斜率为tan ,倾斜角qoh=,则q(2cos ,2sin ),由oq=oa得oaq=oqa=,即直线aq的倾斜角为,所以直线aq的方程为y=tan(x+2),令x=2得y=4tan,所以m,n,所以直线qn的斜率为k=-,oq的斜率为k=tan ,所以kk=-1,即oqqn,且q点在以ab为直径的圆o上,所以qn与圆o相切于q点.1.(5分)焦点在y轴上,焦距等于4,离心率等于的椭圆的标准方程是()a.+=1b.+=1c.+=1d.+=1【解析】选d.设椭圆方程为+=1(ab0),由题意可得:解得则椭圆的标准方程为+=1.2.(5分)已知椭圆c1:+y2=1(m1)与双曲线c2:-y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为c1,c2的离心率,则()a.mn且e1e21b.mn且e1e21c.m1d.mn且e1e21,n0,所以mn,(e1e2)21,所以e1e21.【变式备选】已知椭圆c:+=1(ab0),f1,f2为其左、右焦点,p为椭圆c上任一点,f1pf2的重心为g,内心为i,且有=(其中为实数),椭圆c的离心率e=()a.b.c.d.【解析】选a.设p(x0,y0),因为g为f1pf2的重心,所以g点坐标为g,因为=,所以igx轴,所以i的纵坐标为,在f1pf2中,|pf1|+|pf2|=2a,|f1f2|=2c,所以=|f1f2|y0|,又因为i为f1pf2的内心,所以i的纵坐标的绝对值即为内切圆半径,内心i把f1pf2分为三个底分别为f1pf2的三边,高为内切圆半径的小三角形,所以=(|pf1|+|pf2|+|f1f2|),所以|f1f2|y0|=(|pf1|+|pf2|+|f1f2|),即2c|y0|=(2a+2c),所以2c=a,所以椭圆c的离心率e=.3.(5分)椭圆+=1(a为定值,且a)的左焦点为f,直线x=m与椭圆相交于点a,b.若fab的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是_.【解析】设椭圆的右焦点为f,如图,由椭圆定义知,|af|+|af|=|bf|+|bf|=2a.又fab的周长为|af|+|bf|+|ab|=2a-|af|+2a-|bf|+|ab|=4a-(|af|+|bf|-|ab|)4a,当且仅当ab过右焦点f时等号成立.此时4a=12,则a=3.故椭圆方程为+=1,所以c=2,所以e=.答案:4.(12分)已知椭圆c:x2+2y2=4.(1)求椭圆c的离心率.(2)设o为原点.若点a在直线y=2上,点b在椭圆c上,且oaob,求线段ab长度的最小值.【解析】(1)由题意,椭圆c的标准方程为+=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆c的离心率e=.(2)设点a,b的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x00.因为oaob,所以=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.又+2=4,所以|ab|2=(x0-t)2+(y0-2)2=+(y0-2)2=+4=+4=+4(04).因为+4(0b0)的右焦点为f2(1,0),点h在椭圆上.(1)求椭圆的方程.(2)点m在圆x2+y2=b2上,且m在第一象限,过点m作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于p,q两点,求证:pf2q的周长是定值.【解析】(1)设椭圆的左焦点为f1,根据已知,椭圆的左、右焦点分别是f1(