（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第8讲 指数与指数函数优选学案.doc

第8讲指数与指数函数考纲要求考情分析命题趋势1.了解指数函数模型的实际背景2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，的指数函数的图象4体会指数函数是一类重要的函数模型.2017山东卷，102017北京卷，102016浙江卷，72015天津卷，71.指数幂的化简与运算，经常与对数函数相结合考查2指数函数的图象与性质的应用是高考的热点，经常与对数函数一起考查3指数函数的综合应用是高考的热点，经常以指数型函数和复合函数的形式出现，考查它们的单调性、奇偶性、最值等.分值：5分1根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果_xna_，那么x叫做a的n次方根n1，且nn*当n是奇数时，正数的n次方根是一个_正数_，负数的n次方根是一个_负数_零的n次方根是零当n是偶数时，正数的n次方根有_两个_，这两个数互为_相反数_(a0)负数没有偶次方根(2)两个重要公式()n_a_(注意：a必须使 有意义)2有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a_(a0，m，nn*，且n1)；负分数指数幂：a_(a0，m，nn*，且n1)；0的正分数指数幂等于_0_,0的负分数指数幂_无意义_.(2)有理数指数幂的性质aras_ars_(a0，r，sq)；(ar)s_ars_(a0，r，sq)；(ab)r_arbr_(a0，b0，rq)3指数函数的图象与性质yaxa10a0时，_y1_；当x0时，_0y0时，_0y1_；当x1_在r上是_增函数_在r上是_减函数_1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)与()n都等于a(nn*)()(2)2a2b2ab.( )(3)函数y32x与y2x1都不是指数函数()(4)若am0，且a1)，则mn.( )(5)函数y2x在r上为单调减函数()解析(1)错误当n为偶数，a1时，mn，而当0an.(5)正确y2xx，根据指数函数的性质可知函数在r上为减函数2化简(2)6(1)0的结果为(b)a9b7c10d9解析原式(26)17.3函数f(x)的定义域是(a)a(，0b0，)c(，0)d(，)解析12x0，2x1，x0.4已知函数f(x)4ax1的图象恒过定点p，则点p的坐标是(a)a(1,5)b(1,4)c(0,4)d(4,0)解析当x1时，f(x)5.5若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_(，1)(1，)_.解析由题意知0a211，即1a22，得a1或1a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，和一条渐近线y0.(2)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用最基本的指数函数的图象，通过平移、对称变换，得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解【例2】 (1)函数yax(a0，且a1)的图象可能是(d)(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_1,1_.解析(1)因为函数yax(a0，且a1)的图象必过点(1,0)，所以d项正确故选d(2)曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示由图象可得：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,1三指数函数的性质及应用有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)(2)简单的指数不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决【例3】 已知函数f(x)exex(xr，且e为自然对数的底数)(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切xr都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由解析(1)f(x)exx，f(x)exx，f(x)0对任意xr都成立，f(x)在r上是增函数f(x)的定义域为r，且f(x)exexf(x)，f(x)是奇函数(2)存在，由(1)知f(x)在r上是增函数和奇函数，则f(xt)f(x2t2)0对一切xr都成立f(x2t2)f(tx)对一切xr都成立x2t2tx对一切xr都成立t2tx2x2对一切xr都成立t2t(x2x)mint2t20.又20，20，t，存在t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切xr都成立1已知a，b，c，则(d)aabcbcbaccabdbca解析yx为减函数，bc，bc0，且a1，如果以p(x1，f(x1)，q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)f(x2)(a)a1bac2da2解析以p(x1，f(x1)，q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在y轴上，x1x20，又f(x)ax，f(x1)f(x2)ax1ax2ax1x2a01.故选a3函数y4x2x11的值域为(b)a(0，)b(1，)c1，)d(，)解析令2xt(t0)，则函数y4x2x11可化为yt22t1(t1)2(t0)函数y(t1)2在(0，)上递增，y1.所求值域为(1，)故选b4函数f(x)axloga(x1)(a0，且a1)在0,1上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(b)abc2d4解析在0,1上yax与yloga(x1)具有相同的单调性，f(x)axloga(x1)在0,1上单调f(0)f(1)a，即a0loga1a1loga2a，化简得1loga20，解得a.错因分析：令tax时，忽略了t0这一条件【例1】 要使关于x的不等式9x(4a)3x40恒成立，求实数a的取值范围解析方法一令3xt，则t0，且t2(4a)t40在t(0，)时恒成立令f(t)t2(4a)t4(t0)，则0，即(4a)2440，a28a0，解得8a恒成立令3xt，其中t0，t4(当且仅当t2时取等号)，4，4a恒成立，4a4，a8.实数a的取值范围为(8，)【跟踪训练1】 如果函数ya2x2ax1(a0，且a1)在1,1上有最大值14，试求a的值解析设tax0，则原函数可化为y(t1)22，其对称轴为t1.若a1，tax在1,1上递增，t.10，y(t1)22在t上递增，由复合函数单调性知原函数在1,1上递增，故当x1时，ymaxa22a1，由a22a114，解得a3或a5(舍)，a3.若0acbbcabcabcdbac解析b2.501，c2.522.5，则22.5122.5，即cba.2已知函数f(x)2x2，则函数y|f(x)|的图象可能是(b)解析|f(x)|2x2|易知函数y|f(x)|的图象的分段点是x1，且过点(1,0)，(0,1)，.又|f(x)|0，所以b项正确故选b3已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为(c)a9,81b3,9c1,9d1，)解析由f(x)过定点(2,1)可知b2，因为f(x)3x2在2,4上是增函数，f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9，可知c项正确故选c4(2017北京卷)已知函数f(x)3xx，则f(x)(b)a是偶函数，且在r上是增函数b是奇函数，且在r上是增函数c是偶函数，且在r上是减函数d是奇函数，且在r上是减函数解析由f(x)x3xf(x)，知f(x)为奇函数，因为yx在r上是减函数，所以yx在r上增函数，又y3x在r上是增函数，所以函数f(x)3xx在r上是增函数故选b5当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是(c)a(2,1)b(4,3)c(1,2)d(3,4)解析原不等式变形为m2mx.函数yx在(，1上是减函数，x12，当x(，1时，m2mx恒成立等价于m2m2，解得1m2.故选c6已知函数f(x)|2x1|，abc，且f(a)f(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是(d)aa0，b0，c0ba0，b0，c0c2a2cd2a2c2解析作出函数f(x)|2x1|的图象，如图abf(c)f(b)，结合图象知0f(a)1，a0，02a1.f(a)|2a1|12a1，f(c)1，0c1，12cf(c)，12a2c1，2a2cf(3)，则a的取值范围是_(0,1)_.解析因为f(x)axx，且f(2)f(3)，所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以1，解得0a0，且a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.解析因为g(x)在0，)上为增函数，则14m0，即m1，则函数f(x)在1,2上单调递增，最小值为m，最大值为a24，解得a2，m，与m矛盾；当0a0，且a1)，若对任意x1，x2r，0，则a的取值范围是_(0,1)(2，)_.解析当0a1时，a20，yax单调递减，所以f(x)单调递增；当1a2时，a22时，a20，yax单调递增，所以f(x)单调递增又由题意知f(x)单调递增，故a的取值范围是(0,1)(2，)三、解答题10化简：(1)(a0，b0)；(2)(0.002)10(2)1()0.解析(1)原式a1b12ab1.(2)原式150010(2)11010201.11已知函数f(x)ax24x3.(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值解析(1)当a1时，f(x)x24x3，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在r上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令g(x)ax24x3，当a0时，g(x)4x3在r上不存在最小值，即f(x)不存在最大值，不合题意当a0时，g(x)ax24x3a23，g(x)min3(a0)，f(x)max33，31，