（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课时分层作业五十八 8.9 直线与圆锥曲线的位置关系 理.doc

课时分层作业 五十八直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题(每小题5分,共25分)1.若过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有()a.1条b.2条c.3条d.4条【解析】选c.结合图形分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1),且与抛物线相切的直线(非直线x=0).2.(2018济南模拟)已知椭圆c:+=1(ab0)的右焦点为f2,o为坐标原点,m为y轴上一点,点a是直线mf2与椭圆c的一个交点,且|oa|=|of2|=2|om|,则椭圆c的离心率为()a.b.c.d.【解析】选d.由题知,m在椭圆的短轴上.设椭圆c的左焦点为f1,连接af1.因为|oa|=|of2|,所以|oa|=|f1f2|,即af1af2,因为=,所以|af1|=c,|af2|=c,所以2a=|af1|+|af2|=c,则椭圆c的离心率为e=.3.(2018开封模拟)在平面直角坐标系xoy中,已知双曲线c1: 2x2-y2=1,过c1的左顶点引c1的一条渐近线的平行线,则该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积为()a.b.c.d.【解析】选c.不妨设直线的斜率为,则直线方程为y=,另一条渐近线方程为y=-x,联立可得交点坐标为m,故三角形的面积为s=.【变式备选】已知抛物线y2=8x的准线与双曲线-=1(a0)相交于a,b两点,点f为抛物线的焦点,abf为直角三角形,则双曲线的离心率为()a.3b.+1c.2d.【解析】选a.由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x=-2,代入双曲线方程可得y=,不妨设a,因为fab 是直角三角形,所以可得=p=4a=, 因此双曲线的离心率e=3.4.已知直线y=2(x-1)与抛物线c:y2=4x交于a,b两点,点m(-1,m),若=0,则m=()a.b.c.d.0【解析】选b.不妨设a在b上方.由得a(2,2),b,又因为m(-1,m)且=0,所以2m2-2m+1=0,解得m=.【变式备选】已知双曲线-=1(b0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()a.b.4c.3d.5【解析】选a.由题易得抛物线的焦点为(3,0),所以双曲线的右焦点为(3,0),所以b2=c2-a2=9-4=5,所以双曲线的一条渐近线方程为y=x,即x-2y=0,所以所求距离为d=.5.直线3x+4y-7=0与椭圆+=1(ab0)相交于两点a,b ,线段ab的中点为m(1,1),则椭圆的离心率是()a.b.c.d.【解析】选a.设a(x1,y1),b(x2,y2),则+=1,+=1,作差得+=0即+=0,两边同时除以(x1-x2)即得+=0,因为x1+x2=2,y1+y2=2,=,代入得+=0,所以=,e=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知抛物线c:y2=2x,过焦点f且斜率为1的直线与c相交于p,q两点,且p,q两点在准线上的投影分别为m,n两点,则smfn=_.【解析】设p(x1,y1),q(x2,y2),所以smfn=p|y1-y2|=1|y1-y2|=|y1-y2|,直线方程是y=x-,与抛物线方程联立整理得y2-2y-1=0, y1+y2=2,y1y2=-1,所以|y1-y2|=2.所以smfn=|y1-y2|=.答案:7.(2018汾阳模拟)斜率为的直线与双曲线-=1恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是_.【解析】由题意可知,双曲线的其中一条(k0)渐近线斜率大于,e=.答案:【变式备选】过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于a,b两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线有且只有_条.【解析】设该抛物线焦点为f,a(xa,ya),b(xb,yb),则|ab|=|af|+|fb|= xa+xb+=xa+xb+1=32p=2.所以符合条件的直线有且只有两条.答案:两8.已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点f1,与椭圆相交于a,b两点,则弦ab的长为_.【解析】由题意知,椭圆的右焦点f1的坐标为(1,0),直线ab的方程为y=2(x-1).由方程组消去y,整理得3x2-5x=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=0.则|ab|=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆e:+=1(ab0)过点(0,),且离心率e=.(1)求椭圆e的方程.(2)设直线l:x=my-1(mr)交椭圆e于a,b两点,判断点g与以线段ab为直径的圆的位置关系,并说明理由.【解析】(1)由已知,得解得所以椭圆e的方程为+=1.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),ab的中点为h(x0,y0).由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,从而y0=.所以|gh|2=+=+=(m2+1)+my0+.=(1+m2)(-y1y2),故|gh|2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=0,所以|gh|.故点g在以ab为直径的圆外.【一题多解】本题(2)还可以采用以下方法:设点a(x1,y1),b(x2,y2),则=,=.由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,从而=+y1y2=+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+=+=0,所以cos0.又,不共线,所以agb为锐角.故点g在以ab为直径的圆外.10.(2018承德模拟)如图,椭圆e:+=1(ab0)的离心率是,点p(0,1)在短轴cd上,且=-1.(1)求椭圆e的方程.(2)设o为坐标原点,过点p的动直线与椭圆交于a,b两点.是否存在常数,使得+为定值?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【解析】 (1)由已知,点c,d的坐标分别为(0,-b),(0,b).又点p的坐标为(0,1),且=-1,于是解得a=2,b=.所以椭圆e的方程为+=1.(2)当直线ab的斜率存在时,设直线ab的方程为y=kx+1,点a,b的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).联立得(2k2+1)x2+4kx-2=0.其判别式=(4k)2+8(2k2+1)0,所以x1+x2=-,x1x2=-.从而,+=x1x2+y1y2+x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=-2.所以,当=1时,-2=-3.此时,+=-3为定值.当直线ab斜率不存在时,直线ab即为直线cd.当=1时,+=+=-2-1=-3.故存在常数=1,使得+为定值-3.1.(5分)已知椭圆c的方程为+=1(m0),如果直线y=x与椭圆的一个交点m在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点f,则m的值为()a.2b.2c.8d.2【解析】选b.根据已知条件得c=,则点在椭圆+=1(m0)上,所以+=1,可得m=2(m=-2舍去).【变式备选】已知动点p(x,y)在椭圆+=1上,若a点坐标为(3,0),|=1,且=0则|的最小值是()a.b.c.2d.3【解析】选b.由|=1可知点m的轨迹为以点a为圆心,1为半径的圆,过点p作该圆的切线pm,则|pa|2=|pm|2+|am|2,得|pm|2=|pa|2-1,所以要使得|的值最小,则要的值最小,而的最小值为a-c=2, 此时|的值最小为.2.(5分)(2018武汉模拟)已知椭圆+=1(ab0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是m(-4,1),则椭圆的离心率是()a.b.c.d.【解析】选c.设直线与椭圆交点为a(x1,y1),b(x2,y2),分别代入椭圆方程得由点差法及x1+x2=-8,y1+y2=2可得ym=-xm,代入k=1,m(-4,1),解得=,所以e=.3.(5分)(2018 衡水模拟)已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于a,b两点,在抛物线aob这段曲线上有一点p,则apb的面积的最大值为_.【解析】由弦长公式知|ab|=3,只需点p到直线ab距离最大就可保证apb的面积最大.设与l平行的直线y=2x+b与抛物线相切,解得b=.所以d=,所以(sapb)max =3=.答案:4.(12分)(2018贵阳模拟)如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆+=1(ab0)的离心率为,过椭圆右焦点f作两条互相垂直的弦ab与cd.当直线ab斜率为0时,|ab|=4.(1)求椭圆的方程.(2)若|ab|+|cd|=,求直线ab的方程.【解析】(1)由题意知e=,2a=4.又a2=b2+c2,解得a=2,b=,所以椭圆方程为+=1.(2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时,另一条弦所在直线的斜率不存在,由题意知|ab|+|cd|=7,不满足条件.当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设直线ab的方程为y=k(x-1),a(x1,y1),b(x2,y2),则直线cd的方程为y=-(x-1).将直线ab的方程代入椭圆方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=,x1x2=,所以|ab|=|x1-x2|=.同理,|cd|=.所以|ab|+|cd|=+=,解得k=1,所以直线ab的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.5.(13分)已知曲线c的方程为+=4,经过点(-1,0)作斜率为k的直线l,l与曲线c交于a,b两点,l与直线x=-4交于点d,o是坐标原点.(1)若+=2,求k的值.(2)是否存在实数k,使aob为锐角三角形?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由+=4得+=42.所以曲线c是以f1(-1,0),f2(1,0)为焦点,4为长轴长的椭圆.所以曲线c的方程为+=1,即3x2+4y2=12.因为直线l经过点(-1,0),斜率为k,所以直线l的方程为y=k(x+1).因为直线l与直线x=-4交于点d,所以d(-4,-3k).设a(x1,kx1+k),b(x2,kx2+k).由得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,所以x1+x2=,x1x2=.由+=2得2x2-x1=-4.由