（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课时分层作业五十五 8.6.2 直线与椭圆的综合问题 理.doc

课时分层作业 五十五直线与椭圆的综合问题一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018保定模拟)不论k为何值,直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1恒有公共点,则实数m的取值范围是()a.(0,1)b.(0,7)c.1,7)d.(1,7【解析】选c.直线y=kx+1恒过定点(0,1),由题意知(0,1)在椭圆+=1上或其内部,所以有1,得m1.又椭圆+=1的焦点在x轴上,所以m7.综上,1m0),过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于a,b两点,且|ab|=1,则该椭圆的离心率为()a.b.c.d.【解析】选a.因为椭圆+y2=1(a0)的焦点在x轴上,所以c=,又过右焦点且垂直于x轴的直线为x=c,将其代入椭圆方程中,得+y2=1,则y=,又|ab|=1,所以2=1,得=,所以该椭圆的离心率e=.【变式备选】设直线y=kx与椭圆+=1相交于a,b两点,分别过a,b两点向x轴作垂线,若垂足恰为椭圆的两个焦点,则k等于()a.b.c.d.2【解析】选a.由题意可知,点a与点b的横坐标即为焦点的横坐标,又c=1,当k0时,不妨设a,b两点的坐标分别为(-1,y1),(1,y2),代入椭圆方程得解得k=;同理可得当kb0)的左、右焦点,若在直线x=上存在点p,使线段pf1的中垂线过点f2,则椭圆离心率的取值范围是()a.b.c.d.【解析】选d.由题意可设p,因为pf1的中垂线过点f2,所以|f1f2|=|f2p|,即2c=,整理得y2=3c2+2a2-.因为y20,所以3c2+2a2-0,即3e2-+20,解得e.所以e的取值范围是.【一题多解】本题还可以采用以下方法:选d.设直线x=与x轴交于m点,则|f1f2|=|f2p|mf2|,即2c-c,整理得e2,又0e1,所以eb0),设p(x,y),点p在以oa为直径的圆上.圆的方程:+y2=,化简为x2-ax+y2=0,消去y可得(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0.则x=,因为0xa,所以0a,可得eb0)相交于a,b两点,若椭圆的离心率为,焦距为2,则线段ab的长是()a.b.c.d.2【解析】选b.由条件知c=1,e=,所以a=,b=1,椭圆方程为+y2=1,联立直线方程与椭圆方程可得a(0,1),b,所以|ab|=.【题目溯源】本考题源于教材人教a版选修2-1p48练习t7“经过椭圆+y2=1的左焦点f1作倾斜角为60的直线l,直线l与椭圆相交于a,b两点,求ab的长”.【变式备选】已知椭圆+y2=1与直线y=x+m交于a,b两点,且|ab|=,则实数m的值为()a.1b.c.d.【解析】选a.由消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.由题意,得=,解得m=1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.直线m与椭圆+y2=1交于p1,p2两点,线段p1p2的中点为p,设直线m的斜率为k1(k10),直线op的斜率为k2,则k1k2的值为_.【解析】由点差法可求出k1=-,所以k1=-,即k1k2=-.答案:-7.过椭圆+=1(ab2)上顶点和右顶点分别作圆x2+y2=4的两条切线,两切线的斜率之积为-,则椭圆的离心率的取值范围是_.【解析】设过椭圆+=1(ab2)上顶点和右顶点作x2+y2=4的两条切线的斜率为k1,k2,则两条切线方程分别为l1:y=k1x+b,l2:y=k2(x-a);由于圆心(0,0)到两条切线的距离为2,可知=2,=2,又ab2,化简可得=b2-1,=,又因为k1k2=-,所以=,解得16b2=9a2+28,又因为b2=a2-c2,所以a2=,所以e2=,所以0eb0)的两个焦点,p为椭圆上一点,且=c2,则此椭圆离心率的取值范围是_.【解析】设p(x,y),则=(-c-x,-y)(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2,将y2=b2-x2代入式解得x2=,又x20,a2,所以2c2a23c2,所以e=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆e:+=1(ab0)的半焦距为c,原点o到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c. (1)求椭圆e的离心率.(2)如图所示,ab是圆m:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆e经过a,b两点,求椭圆e的方程.【解析】(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点o到该直线的距离d=,由d=c,得a=2b=2,求得离心率=.(2)方法一:由(1)知,椭圆e的方程为x2+4y2=4b2.依题意,圆心m(-2,1)是线段ab的中点,且|ab|=.易知,ab与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.从而x1x2=8-2b2.于是|ab|=|x1-x2|=.由|ab|=,得=,解得b2=3.故椭圆e的方程为+=1.方法二:由(1)知,椭圆e的方程为x2+4y2=4b2.依题意,点a,b关于圆心m(-2,1)对称,且|ab|=.设a(x1,y1),b(x2,y2),则+4=4b2,+4=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0.易知ab与x轴不垂直,则x1x2,所以ab的斜率kab=.因此直线ab的方程为y=(x+2)+1,代入得x2+4x+8-2b2=0.所以x1x2=8-2b2.于是|ab|=|x1-x2|=.由|ab|=,得=,解得b2=3.故椭圆e的方程为+=1.10.(2018开封模拟)已知圆c:(x+1)2+y2=8,定点a(1,0),m为圆上一动点,线段ma的垂直平分线交线段mc于点n,设点n的轨迹为曲线e.(1)求曲线e的方程.(2)若经过f(0,2)的直线l交曲线于不同的两点g,h(点g在点f,h之间),且满足=,求直线l的方程.【解析】(1)设点n的坐标为(x,y),np是线段am的垂直平分线,|na|=|nm|,又点n在cm上,圆c:(x+1)2+y2=8,半径r=2,所以|nc|+|nm|=2,|nc|+|na|=|nc|+|nm|=2|ac|.所以点n的轨迹是以a,c为焦点的椭圆,设其方程为:+=1(ab0),则2a=2,a=,c=1,b2=a2-c2=1.所以曲线e方程:+y2=1.(2)设g(x1,y1),h(x2,y2),当直线gh斜率存在时,设直线gh的斜率为k.则直线gh的方程为:y=kx+2,所以整理,得x2+4kx+3=0,由0,解得:k2,x1+x2=-,x1x2=.又因为=(x1,y1-2),=(x2,y2-2),由=,得x1=x2,结合得=,即k2=2,解得k=.所以直线l的方程为:y=x+2,当直线gh斜率不存在时,直线l的方程为x=0,=与=矛盾.所以直线l的方程为:y=x+2.【变式备选】如图,在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆+=1(ab0)过点a(2,1),离心率为.(1)求椭圆的方程.(2)若直线l:y=kx+m(k0)与椭圆相交于b,c两点(异于点a),线段bc被y轴平分,且abac,求直线l的方程.【解析】(1)由条件知椭圆+=1(ab0)离心率为e=,所以b2=a2-c2=a2.又点a(2,1)在椭圆+=1(ab0)上,所以+=1,解得所以,所求椭圆的方程为+=1.(2)将y=kx+m(k0)代入椭圆方程,得x2+4(kx+m)2-8=0,整理,得(1+4k2)x2+8mkx+4m2-8=0.由线段bc被y轴平分,得xb+xc=-=0,因为k0,所以m=0.因为当m=0时,b,c关于原点对称,设b(x,kx),c(-x,-kx),由方程,得x2=,又因为abac,a(2,1),所以=(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k2)x2=5-=0,解得k=.由于k=时,直线y=x过点a(2,1),故k=不符合题设.所以,此时直线l的方程为y=-x.1.(5分)(2018西安模拟)设f1,f2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若椭圆上存在一点p,使(+)=0(o为坐标原点),则f1pf2的面积是()a.4b.3c.2d.1【解析】选d.因为(+)=(+)=0,所以pf1pf2,f1pf2=90.设|pf1|=m,|pf2|=n,则m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,所以=mn=1.2.(5分)设a为椭圆+=1(ab0)上一点,点a关于原点的对称点为b,f为椭圆的右焦点,且afbf,若abf,则该椭圆离心率的取值范围是()a.b.c.d.【解析】选d.设椭圆的左焦点为f,所以|af|+|af|=2a,根据对称性可知,|bf|=|af|,所以|af|+|bf|=2a,o是直角三角形abf斜边的中点,所以|ab|=|f1f2|=2c,设abf=,所以|af|=2csin ,|bf|=2ccos ,所以代入得2csin +2ccos =2a,即=,因为,+,所以sin,所以e=.3.(5分)已知椭圆的方程是x2+2y2-4=0,则以m(1,1)为中点的弦所在直线方程是_.【解析】显然该直线的斜率存在且不为零.设过点m(1,1)的方程为y=kx+(1-k),联立方程组则有(1+2k2)x2+(4k-4k2)x+(2k2-4k-2)=0,所以=1,解得k=-,所以y=-x+,即x+2y-3=0.答案:x+2y-3=04.(12分)(2018太原模拟)已知椭圆e:+=1(ab0)经过点,离心率为,点o为坐标原点.(1)求椭圆e的标准方程.(2)过椭圆e的左焦点f任作一直线l,交椭圆e于p,q两点,求的取值范围.【解析】(1)因为所以从而c=2,椭圆e的方程为+y2=1.(2)f(-2,0),当直线l的斜率不存在时,可得p,q,此时=4-=;当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x+2),p(x1,y1),q(x2,y2),联立y=k(x+2)与+y2=1,可得(1+5k2)x2+20k2x+20k2-5=0,所以x1+x2=-,x1x2=,=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k2(x1+x2)+4k2,所以=(1+k2)+2k2+4k2=-,因为k20,5k2+11,所以-0,从而-5b0),因为2c=4,所以c=2,所以a2-b2=c2=4,又+=1,解得a2=6,b2=2,故椭圆m的方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=kx+1,由得(3+k2)x2+2kx-5=0,设a(x1,y1),b