（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第十章 算法初步、统计、统计案例 第56讲 变量间的相关关系与统计案例优选学案.doc

第56讲变量间的相关关系与统计案例考纲要求考情分析命题趋势1.会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系2了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程3了解常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题4了解独立性检验(只要求22列联表)的基本思想、方法及其简单应用5了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用2017全国卷，192016湖北卷，42016安徽卷，171.散点图与相关关系、线性回归方程与独立性检验在实际生活中的应用2有关统计内容及方法主要以选择题、填空题的形式呈现，属容易题；抽样方法和各种统计图表与概率的有关内容相结合或与统计案例相结合也会出现在解答题中，属中档题分值：512分1相关关系与回归方程(1)相关关系的分类 正相关：从散点图上看，点散布在从_左下角_到_右上角_的区域内 负相关：从散点图上看，点散布在从_左上角_到_右下角_的区域内(2)线性相关关系从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫_回归直线_.(3)回归方程最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的_距离的平方和_最小的方法叫最小二乘法回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)其回归方程为x，其中其中(，)称为样本点的中心(4)样本相关系数r，用它来衡量两个变量间的线性相关关系的强弱当r0时，表明两个变量_正相关_；当r0时，表明两个变量_负相关_；r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性_越强_；r的绝对值越接近0，表明两个变量的线性相关性_越弱_，通常当0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系2独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表假设有两个分类变量x和y，它们的可能取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为22列联表)如下表所示.y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcdk2(其中n_abcd_为样本容量)，则利用独立性检验判断表来判断“x与y的关系”1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系()(2)利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系去表示()(3)通过回归方程x可以估计和观测变量的取值和变化趋势()(4)任何一组数据都对应着一个回归直线方程()(5)事件x，y关系越密切，则由观测数据计算得到的k2的观测值越大()2观察下列各图：其中两个变量x，y具有相关关系的图是(c)abcd解析由散点图知具有相关关系3已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为0.95x，则(b)x0134y2.24.34.86.7a3.25b2.6c2.2d0解析由已知得2，4.5，因为回归方程经过点(，)，所以4.50.9522.6.4若回归直线方程为21.5x，则变量x增加一个单位， 变量y(c)a平均增加1.5个单位b平均增加2个单位c平均减少1.5个单位d平均减少2个单位解析因为回归直线方程为 21.5x，所以1.5，则变量x增加一个单位，y平均减少1.5个单位5在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 (c)a若k2的观测值为k6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病b从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病c若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误d以上三种说法都不正确解析根据独立性检验的思想知c项正确一相关关系的判断判定两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关(2)相关系数：r0时，正相关；r0时，正相关；10.828，所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关4(2018河北衡水检测)随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷为了解共享单车在a市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽200人进行抽样分析，得到下表(单位：人).经常使用偶尔或不用合计30岁及以下703010030岁以上6040100合计13070200(1)根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为a市使用共享单车情况与年龄有关？(2)现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率解析(1)由列联表可知k22.198.因为2.1982.072，所以能在犯错的概率不超过0.15的前提下认为a市使用共享单车情况与年龄有关(2)依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有53(人)，偶尔或不用共享单车的有52(人)设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a，b，c；偶尔或不用共享单车的2人分别为d，e.则从5人中选出2人的所有可能结果为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(d，e)，共1种故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率p1.错因分析：数据位数较大，计算容易出错；x与yaxb容易混淆为了避免这些容易发生的错误可将一些数据进行处理【例1】 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据.年份20082010201220142016需求量/万吨236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程x；(2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2018年的粮食需求量解析(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据处理如下.年份2 01242024需求257211101929对处理的数据，容易算得0，3.2，6.5，3.2.由上述计算结果，知所求线性回归方程为2576.5(x2 012)3.2，即6.5(x2 012)260.2.(2)利用所求得的线性回归方程，可预测2018年的粮食需求量大约为6.5(2 018 2 012)260.2 6.56260.2299.2(万吨)【跟踪训练1】 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示.编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172 cm的女大学生的体重解析(1)代换：令tx165，sy55(165,55是人为确定的)(2)列表：i12345678合计tixi16500851001052siyi557251961244tisi0040590012020265t0064251000100253140.25，0.5.(3)求值：0.848，0.50.8480.250.712，0.848t0.712.(4)还原：即550.848(x165)0.712，0.848x85.632.当x172时，y60.故一名身高为172 cm的女大学生的体重约为60 kg.课时达标第56讲解密考纲本节内容在高考中，三种题型均有考查，文字量比较大，但题目较容易一、选择题1四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：y与x负相关且2.347x6.423；y与x负相关且3.476x5.648；y与x正相关且5.437x8.493；y与x正相关且4.326x4.578.其中一定不正确的结论序号是(d)abcd解析对线性回归方程x，当0时，正相关，当0时，负相关，结合选项知一定不正确2若回归直线x，0，则x与y之间的相关系数r满足的条件是(d)ar0br1c0r1d1r0解析回归直线方程为x，0，两个变量x，y之间是负相关的关系，相关系数是负数，1r0.故选d.3对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i1，2，8)其回归直线方程是x，且x1x2x3x82(y1y2y3y8)6，则实数的值是(b)abcd解析依题意可知样本中心点为，则，解得.故选b.4在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i1，2，n)都在直线yx1上，则这组样本数据的样本相关系数为(d)a1b0cd1解析由题设可知这组样本中的数据完全正相关，又都在yx1上，故相关系数为1.故选d.5对于下列表格所示五个散点，已知求得的线性回归方程为0.8x155，则实数m的值为(a)x196197200203204y1367ma8b8.2c8.4d8.5解析200，样本中心点为，将样本中心点代入0.8x155，可得m8.故选a6如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产a产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为0.7x0.35，则下列结论错误的是(b)x3456y2.5t44.5a产品的生产能耗与产量呈正相关bt的取值必定是3.15c回归直线一定过(4.5,3.5)da产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨解析由题意，得4.5，因为0.7x0.35，所以0.74.50.353.5，所以t43.52.544.53.故选b.二、填空题7已知变量x，y具有线性相关关系，测得(x，y)的一组数据为(0,1)，(1,2)，(2,4)，(3,5)，其回归方程为1.4x，则的值是_0.9_. 解析由题意可知1.5，3，所以这组数据的样本中心点是(1.5,3)，把样本中心点代入回归直线方程1.4x，得31.41.5，所以0.9.8高三某班学生每周用于物理学习的时间x(单位：小时)与物理成绩y(单位：分)之间有如下关系.x24152319161120161713y92799789644783687159根据上表可得回归方程的斜率为3.53，则回归直线在y轴上的截距为_13.5_(精确到0.1)解析由已知可得17.4，74.9.设回归直线方程为3.53x，则74.93.5317.4，解得13.5.9以下四个命题：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；两个变量线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；在回归直线方程0.2x12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；对分类变量x与y，它们的随机变量k2的观测值k来说，k越小，“x与y有关系”的把握程度越大其中正确的是_(填序号)解析是系统抽样；对于，随机变量k2的观测值k越小，说明两个变量有关系的把握程度越小三、解答题10下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下表所示.月份91011121历史成绩x/分7981838587政治成绩y/分7779798283(1)求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；(2)一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量x，y的线性回归方程x.解析(1)(7981838587)83.(7779798283)80，s(7780)2(7980)2(7980)2(8280)2(8380)24.8.(2)(xi)(yi)30，(xi)240，0.75，17.75，则所求的线性回归方程为0.75x17.75.11某学校高中毕业班有男生900人，女生600人，学校为了对高三学生数学学习情况进行分析，从高三年级按照性别进行分层抽样，抽取200名学生成绩，统计数据如下表所示.分数段/分50,70)70,90)90,110)110,130)130,150)总计频数2040705020200(1)若成绩在90分以上(含90分)，则成绩为合格，请估计该校毕业班平均成绩和及格学生人数；(2)如果样本数据中，有60名女生数学成绩及格，请完成如下数学成绩与性别的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”.女生男生总计及格人数60不及格人数总计参考公式：k2p(k2k0)0.100.0500.010k2.7063.8416.635解析(1)高三学生数学平均成绩为(60208040100701205014020)101，估计高三学生数学平均成绩为101分，及格学生人数为(900600)1 050.(2)女生男生总计及格人数6080140不及格人数204060总计80120200k2的观测值k1.5872.706，所以没有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”12一家商场为了确定营销策略，进行了四次投入促销费用x和商场实际销售额的试验，得到如下数据.投入促销费用x/万元2356 商场实际营销额y/万元100200300400(1)在