（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 高考达标检测（三十九）圆锥曲线的综合问题——最值、范围、证明问题 文.doc

高考达标检测（三十九） 圆锥曲线的综合问题最值、范围、证明问题1已知a，b分别是椭圆c：1(ab0)的长轴与短轴的一个端点，f1，f2分别是椭圆c的左、右焦点，d是椭圆上的一点，df1f2的周长为6，|ab|. (1)求椭圆c的方程； (2)若p是圆x2y27上任一点，过点p作椭圆c的切线，切点分别为m，n，求证：pmpn.解：(1)由df1f2的周长为6，得2a2c6，由|ab|，得a2b27，又b2c2a2，a2，b，c1. 故椭圆c的方程为1.(2)证明：当切线pm的斜率不存在或为零时，此时取p(2，)，显然直线pn：y与直线pm：x2恰是椭圆的两条切线由圆及椭圆的对称性，可知pmpn.当切线pm，pn斜率存在且不为零时，设切线pm的方程为yk1xm，pn的方程为yk2xt，p(x0，y0)(x02)，由消去y，得(4k3)x28k1mx4(m23)0，pm与椭圆c相切，64km216(4k3)(m23)0，m24k3.y0k1x0m，my0k1x0，(y0k1x0)24k3.即(x4)k2x0y0k1y30；同理(x4)k2x0y0k2y30，k1，k2是方程(x4)k22x0y0ky30的两个根，又点p在圆上，xy7，y7x，k1k21，pmpn.综上所述，pmpn.2已知椭圆c：1(ab0)的短轴长为2，且椭圆c的顶点在圆m：x2 2上 (1)求椭圆c的方程；(2)过椭圆的上焦点作相互垂直的弦ab，cd，求|ab|cd|的最小值解：(1)由题意可知2b2，b1.又椭圆c的顶点在圆m上，则a，故椭圆c的方程为x21.(2)当直线ab的斜率不存在或为零时，|ab|cd|3；当直线ab的斜率存在，且不为零时，设直线ab的方程为ykx1，a(x1，y1)，b(x2，y2), 联立消去y，整理得(k22)x22kx10，则x1x2，x1x2，故|ab|.同理可得：|cd|， |ab|cd|.令tk21，则t1,01，|ab|cd|，当0b0)的上、下焦点分别为f1，f2，离心率为，p为c上的动点，且满足 (0)，|1|，qf1f2面积的最大值为4.(1)求点q的轨迹e的方程和椭圆c的方程；(2)直线ykxm(m0)与椭圆c相切且与曲线e交于m，n两点，求sf1mn的取值范围解：(1)由椭圆定义得：|f2q|f2p|pq|f2p|pf1|2a， 所以点q的轨迹是以f2为圆心，2a为半径的圆当qf2f1f2时，qf1f2面积最大，所以2c2a4，即ac2.又，可得a2，c1.所以点q的轨迹e的方程为x2(y1)216，椭圆c的方程1.(2)由消去y，整理得(3k24)x26kmx3m2120，则36k2m24(3k24)(3m212)0，化简得3k2m240，即k2.由k20及m0，得m2.设圆心f2(0，1)到直线mn的距离为d，则d ， 所以弦长|mn|22 .设点f1(0,1)到直线mn的距离为h，则h ，所以sf1mn|mn|h .由m2，得 ，)，所以sf1mn的取值范围为，)4.如图，椭圆e的左、右顶点分别为a，b，左、右焦点分别为f1，f2，|ab|4，|f1f2|2. (1)求椭圆e的方程；(2)直线ykxm(k0)交椭圆于c，d两点，与线段f1f2及椭圆短轴分别交于m，n两点(m，n不重合)，且|cn|dm|，求k的值； (3)在(2)的条件下，若m0，设直线ad，bc的斜率分别为k1，k2，求的取值范围解：(1)设椭圆e的方程为1(ab0)，由|ab|4，|f1f2|2，可知a2，c，则b1，所以椭圆e的方程为y21.(2)设d(x1，y1)，c(x2，y2)，易知n(0，m)，m，由消去y，整理得(14k2)x28kmx4m240，由0，得4k2m210，即m24k21，且x1x2，x1x2.又|cm|dn|，即，可得x1x2，即，解得k.(3)2.由题知，点m，f1的横坐标xmxf1，有2m，则m，满足m22.即1，则(1,74，所以的取值范围为(1,9756已知椭圆c：1(ab0)的右准线l的方程为x，短轴长为2.(1)求椭圆c的方程；(2)过定点b(1,0)作直线l与椭圆c相交于p，q(异于a1，a2)两点，设直线pa1与直线qa2相交于点m(2x0，y0)试用x0，y0表示点p，q的坐标；求证：点m始终在一条定直线上解：(1)由解得或 故椭圆c的方程为y21或y21.(2)不妨取椭圆c的方程为y21，a1(2,0)，a2(2，0), 则ma1的方程为：y(x2)，即xy2，代入y21, 得2y21，即y2y0.yp，则xp22.即p.同理：ma2的方程为y(x2)，即xy2，代入y21, 得2y21，即y2y0.yq.则xq22.即q. 证明：设p(xp，yp)，q(xq，yq)，p，q，b三点共线，kpbkqb，即.， 即.由题意知，y00，.