（全国通用）2017届高考数学一轮总复习 第十章 圆锥曲线 10.5 曲线与方程专用题组 理 新人教B版.doc

10.5曲线与方程考点轨迹与轨迹方程6.(2011北京,14,5分)曲线c是平面内与两个定点f1(-1,0)和f2(1,0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹.给出下列三个结论:曲线c过坐标原点;曲线c关于坐标原点对称;若点p在曲线c上,则f1pf2的面积不大于a2.其中,所有正确结论的序号是.答案解析设动点m(x,y)到两定点f1,f2的距离的积等于a2,得曲线c的方程为=a2.a1,故原点坐标不满足曲线c的方程,故错误.以-x,-y分别代替曲线c的方程中的x,y,其方程不变,故曲线c关于原点对称,即正确.=|pf1|pf2|sinf1pf2=a2sinf1pf2a2,故正确.评析本题考查动点轨迹方程的求法,曲线关于原点对称的判定以及三角形面积公式,考查逻辑推理能力.解题的关键是求出曲线的方程,利用曲线上的点关于原点对称的点仍在曲线上,来判定曲线关于原点对称,本题综合性强,属于难题.7.(2014重庆,21,12分)如图,设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为f1、f2,点d在椭圆上,df1f1f2,=2,df1f2的面积为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.解析(1)设f1(-c,0),f2(c,0),其中c2=a2-b2.由=2得|df1|=c.从而=|df1|f1f2|=c2=,故c=1.从而|df1|=,由df1f1f2得|df2|2=|df1|2+|f1f2|2=,因此|df2|=.所以2a=|df1|+|df2|=2,故a=,b2=a2-c2=1.因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)如图,设圆心在y轴上的圆c与椭圆+y2=1相交,p1(x1,y1),p2(x2,y2)是两个交点,y10,y20,f1p1,f2p2是圆c的切线,且f1p1f2p2.由圆和椭圆的对称性,易知x2=-x1,y1=y2,|p1p2|=2|x1|.由(1)知f1(-1,0),f2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1).再由f1p1f2p2得-(x1+1)2+=0.由椭圆方程得1-=(x1+1)2,即3+4x1=0,解得x1=-或x1=0.当x1=0时,p1,p2重合,此时题设要求的圆不存在.当x1=-时,过p1,p2分别与f1p1,f2p2垂直的直线的交点即为圆心c.由f1p1,f2p2是圆c的切线,且f1p1f2p2,知cp1cp2.又|cp1|=|cp2|,故圆c的半径|cp1|=|p1p2|=|x1|=.8.(2013福建,18,13分)如图,在正方形oabc中,o为坐标原点,点a的坐标为(10,0),点c的坐标为(0,10).分别将线段oa和ab十等分,分点分别记为a1,a2,a9和b1,b2,b9.连结obi,过ai作x轴的垂线与obi交于点pi(in*,1i9).(1)求证:点pi(in*,1i9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线e的方程;(2)过点c作直线l与抛物线e交于不同的两点m,n,若ocm与ocn的面积比为41,求直线l的方程.解析解法一:(1)依题意,过ai(in*,1i9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,bi的坐标为(10,i),所以直线obi的方程为y=x.设pi的坐标为(x,y),由得y=x2,即x2=10y.所以点pi(in*,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线e的方程为x2=10y.(2)依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+10.由得x2-10kx-100=0,此时=100k2+4000,直线l与抛物线e恒有两个不同的交点m,n.设m(x1,y1),n(x2,y2),则因为socm=4socn,所以|x1|=4|x2|.又x1x20,点a的坐标为(1,1),点b在抛物线y=x2上运动,点q满足=,经过点q与x轴垂直的直线交抛物线于点m,点p满足=,求点p的轨迹方程.解析由=知q,m,p三点在同一条垂直于x轴的直线上,故可设p(x,y),q(x,y0),m(x,x2),则x2-y0=(y-x2),即y0=(1+)x2-y.再设b(x1,y1),由=,即(x-x1,y0-y1)=(1-x,1-y0),解得将式代入式,消去y0,得又点b在抛物线y=x2上,所以y1=,再将式代入y1=.则(1+)2x2-(1+)y-=(1+)x-2,(1+)2x2-(1+)y-=(1+)2x2-2(1+)x+2,2(1+)x-(1+)y-(1+)=0.因0,两边同除以(1+),得2x-y-1=0.故所求点p的轨迹方程为y=2x-