（全国通用）2017届高考数学一轮总复习 第五章 平面向量、解三角形 5.3 解三角形专用题组 理 新人教B版.doc

5.3解三角形考点一正弦、余弦定理答案a由正弦定理得sin b(sin acos c+sin ccos a)=sin b,即sin bsin(a+c)=sin b,因为sin b0,所以sin b=,所以b=或,又因为ab,故b=,选a.19.(2013陕西,7,5分)设abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若bcos c+ccos b=asin a,则abc的形状为()a.锐角三角形b.直角三角形c.钝角三角形d.不确定答案b由正弦定理得sin bcos c+sin ccos b=sin2a,得sin(b+c)=sin2a,sin a=1,即a=.故选b.20.(2015福建,12,4分)若锐角abc的面积为10,且ab=5,ac=8,则bc等于.答案7解析设内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.由已知及bcsin a=10得sin a=,因为a为锐角,所以a=60,cos a=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos a=25+64-240=49,故a=7,即bc=7.评析本题考查了三角形的面积和解三角形,利用三角形的面积求出cos a是求解关键.21.(2013浙江,16,4分)在abc中,c=90,m是bc的中点.若sinbam=,则sinbac=.答案解析令bam=,bac=,故|cm|=|am|sin(-),m为bc的中点,|bm|=|am|sin(-).在amb中,由正弦定理知:=,即=,sin =,cos =,=cos =sin cos -cos2,整理得1=2sin cos -cos2,解得tan =,故sin =.评析本题考查解三角形,正弦定理的应用和三角函数求值问题.考查学生的图形观察能力和数据处理能力.如何利用m是bc中点是解答本题的关键.22.(2012湖北,11,5分)设abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角c=.答案解析由已知得a2+b2-c2=-ab,cos c=-,c=.评析本题考查余弦定理,考查学生的运算求解能力.23.(2012重庆,13,5分)设abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且cos a=,cos b=,b=3,则c=.答案解析a,b,c为三角形内角且cos a=,cos b=,sin a=,sin b=.sin c=sin-(a+b)=sin(a+b)=sin acos b+cos asin b=+=.由正弦定理=,得c=b=3=.评析本题考查同角三角函数关系及正弦定理.24.(2013北京,15,13分)在abc中,a=3,b=2,b=2a.(1)求cos a的值;(2)求c的值.解析(1)因为a=3,b=2,b=2a,所以在abc中,由正弦定理得=.所以=.故cos a=.(2)由(1)知cos a=,所以sin a=.又因为b=2a,所以cos b=2cos2a-1=.所以sin b=.在abc中,sin c=sin(a+b)=sin acos b+cos asin b=.所以c=5.评析本题考查正弦定理及三角恒等变换,主要考查学生运算技巧和运算求解能力,二倍角公式和诱导公式的熟练应用是解决本题的关键.考点二解三角形及其综合应用16.(2014重庆,10,5分)已知abc的内角a,b,c满足sin 2a+sin(a-b+c)=sin(c-a-b)+,面积s满足1s2,记a,b,c分别为a,b,c所对的边,则下列不等式一定成立的是()a.bc(b+c)8b.ab(a+b)16c.6abc12d.12abc24答案a设abc的外接圆半径为r,由三角形内角和定理知a+c=-b,a+b=-c.于是sin 2a+sin(a-b+c)=sin(c-a-b)+sin 2a+sin 2b=-sin 2c+sin 2a+sin 2b+sin 2c=2sin(a+b)cos(a-b)+2sin ccos c=2sin ccos(a-b)-cos(a+b)=4sin asin bsin c=sin asin bsin c=.则s=absin c=2r2sin asin bsin c=r21,2,r2,2,abc=8r3sin asin bsin c=r38,16 ,知c、d均不正确.bc(b+c)bca=r38,a正确.事实上,注意到a、b、c的无序性,并且168,若b成立,则a必然成立,排除b.故选a.17.(2015浙江,16,14分)在abc中,内角a,b,c所对的边分别是a,b,c.已知a=,b2-a2=c2.(1)求tan c的值;(2)若abc的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2b-=sin2c,所以-cos 2b=sin2c.又由a=,即b+c=,得-cos 2b=sin 2c=2sin ccos c,解得tan c=2.(2)由tan c=2,c(0,)得sin c=,cos c=.又因为sin b=sin(a+c)=sin,所以sin b=.由正弦定理得c=b,又因为a=,bcsin a=3,所以bc=6,故b=3.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.18.(2015陕西,17,12分)abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos a,sin b)平行.(1)求a;(2)若a=,b=2,求abc的面积.解析(1)因为mn,所以asin b-bcos a=0,由正弦定理,得sin asin b-sin bcos a=0,又sin b0,从而tan a=,由于0a0,所以c=3.故abc的面积为bcsin a=.解法二:由正弦定理,得=,从而sin b=,又由ab,知ab,所以cos b=.故sin c=sin(a+b)=sin=sin bcos+cos bsin=.所以abc的面积为absin c=.19.(2015四川,19,12分)如图,a,b,c,d为平面四边形abcd的四个内角.(1)证明:tan=;(2)若a+c=180,ab=6,bc=3,cd=4,ad=5,求tan+tan+tan+tan的值.解析(1)tan=.(2)由a+c=180,得c=180-a,d=180-b.由(1),有tan+tan+tan+tan=+=+.连结bd.在abd中,有bd2=ab2+ad2-2abadcos a,在bcd中,有bd2=bc2+cd2-2bccdcos c,所以ab2+ad2-2abadcos a=bc2+cd2+2bccdcos a.则cos a=.于是sin a=.连结ac.同理可得cos b=,于是sin b=.所以,tan+tan+tan+tan=+=+=.评析本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.20.(2014北京,15,13分)如图,在abc中,b=,ab=8,点d在bc边上,且cd=2,cosadc=.(1)求sinbad;(2)求bd,ac的长.解析(1)在adc中,因为cosadc=,所以sinadc=.所以sinbad=sin(adc-b)=sinadccos b-cosadcsin b=-=.(2)在abd中,由正弦定理得bd=3.在abc中,由余弦定理得ac2=ab2+bc2-2abbccos b=82+52-285=49.所以ac=7.评析本题考查了三角恒等变换,及利用正、余弦定理解三角形;考查分析推理、运算求解能力.21.(2014陕西,16,12分)abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin a+sin c=2sin(a+c);(2)若a,b,c成等比数列,求cos b的最小值.解析(1)证明:a,b,c成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得sin a+sin c=2sin b.sin b=sin-(a+c)=sin(a+c),sin a+sin c=2sin(a+c).(2)a,b,c成等比数列,b2=ac.由余弦定理得cos b=,当且仅当a=c时等号成立.cos b的最小值为.评析本题考查了等差、等比数列,正、余弦定理,基本不等式等知识;考查运算求解能力.22.(2014安徽,16,12分)设abc的内角a,b,c所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,a=2b.(1)求a的值;(2)求sin的值.解析(1)因为a=2b,所以sin a=sin 2b=2sin bcos b.由正、余弦定理得a=2b.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos a=-.由于0a,所以sin a=.故sin=sin acos+cos asin=+=.评析本题考查正、余弦定理,三角变换等知识,属容易题.23.(2014浙江,18,14分)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.已知ab,c=,cos2a-cos2b=sin acos a-sin bcos b.(1)求角c的大小;(2)若sin a=,求abc的面积.解析(1)由题意得-=sin 2a-sin 2b,即sin 2a-cos 2a=sin 2b-cos 2b,sin=sin.由ab,得ab,又a+b(0,),得2a-+2b-=,即a+b=,所以c=.(2)由c=,sin a=,=,得a=,由ac,得ac.从而cos a=,故sin b=sin(a+c)=sin acos c+cos asin c=,所以,abc的面积为s=acsin b=.评析本题主要考查诱导公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.24.(2013四川,17,12分)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,且2cos2cos b-sin(a-b)sin b+cos(a+c)=-.(1)求cos a的值;(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.解析(1)由2cos2cos b-sin(a-b)sin b+cos(a+c)=-,得cos(a-b)+1cos b-sin(a-b)sin b-cos b=-,即cos(a-b)cos b-sin(a-b)sin b=-.则cos(a-b+b)=-,即cos a=-.(2)由cos a=-,0ab,则ab,故b=.根据余弦定理,有(4)2=52+c2-25c,解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为|cos b=.评析本题主要考查两角和的余弦公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化等数学思想.25.(2015安徽,16,12分)在abc中,a=,ab=6,ac=3,点d在bc边上,ad=bd,求ad的长.解析设abc的内角a,b,c所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosbac=(3)2+62-236cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sin b=,由题设知0b0,所以a.于是sin a+sin c=sin a+sin=sin a+cos 2a=-2sin2a+sin a+1=-2+.因为0a,所以0sin a,因此-2+.由此可知sin a+sin c的取值范围是.评析本题以解三角形为背景,考查三角恒等变形及三角函数的图象与性质,对考生思维的严谨性有较高要求.27.(2013江西,16,12分)在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,已知cos c+(cos a-sin a)cos b=0.(1)求角b的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围.解析(1)由已知得-cos(a+b)+cos acos b-sin acos b=0,即有sin asin b-sin acos b=0,因为sin a0,所以sin b-cos b=0,又cos b0,所以tan b=,又0b,所以b=.(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accos b.因为a+c=1,cos b=,所以b2=3+.又0a1,于是有b21,即有b1.28.(2013课标全国,17,12分)如图,在abc中,abc=90,ab=,bc=1,p为abc内一点,bpc=90.(1)若pb=,求pa;(2)若apb=150,求tanpba.解析(1)由已知得,pbc=60,所以pba=30.在pba中,由余弦定理得pa2=3+-2cos 30=.故pa=.(2)设pba=,由已知得pb=sin .在pba中,由正弦定理得=,化简得cos =4sin .所以tan =,即tanpba=.评析本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查了运算求解能力和分析、解决问题的能力.题目新颖且有一定的难度,通过pb把pbc和pab联系起来利用正弦定理是解题关键.29.(2012江西,17,12分)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c.已知a=,bsin-csin=a.(1)求证: