（全国通用版）2019版高考数学总复习 专题八 选考内容 8.1 坐标系与参数方程精选刷题练 理.doc

8.1坐标系与参数方程命题角度1极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化高考真题体验对方向1.(2018全国22)在直角坐标系xoy中,曲线c1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c2的极坐标方程为2+2cos -3=0.(1)求c2的直角坐标方程;(2)若c1与c2有且仅有三个公共点,求c1的方程.解(1)由x=cos ,y=sin 得c2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知c2是圆心为a(-1,0),半径为2的圆.由题设知,c1是过点b(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于b在圆c2的外面,故c1与c2有且仅有三个公共点等价于l1与c2只有一个公共点且l2与c2有两个公共点,或l2与c2只有一个公共点且l1与c2有两个公共点.当l1与c2只有一个公共点时,a到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与c2没有公共点;当k=-43时,l1与c2只有一个公共点,l2与c2有两个公共点.当l2与c2只有一个公共点时,a到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43,经检验,当k=0时,l1与c2没有公共点;当k=43时,l2与c2没有公共点.综上,所求c1的方程为y=-43|x|+2.2.(2018全国22)在直角坐标系xoy中,曲线c的参数方程为x=2cos,y=4sin(为参数),直线l的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin(t为参数).(1)求c和l的直角坐标方程;(2)若曲线c截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.解(1)曲线c的直角坐标方程为x24+y216=1.当cos 0时,l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan ,当cos =0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入c的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0,因为曲线c截直线l所得线段的中点(1,2)在c内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由得t1+t2=-4(2cos+sin)1+3cos2,故2cos +sin =0,于是直线l的斜率k=tan =-2.3.(2018全国22)在平面直角坐标系xoy中,o的参数方程为x=cos,y=sin(为参数),过点(0,-2)且倾斜角为的直线l与o交于a,b两点.(1)求的取值范围;(2)求ab中点p的轨迹的参数方程.解(1)o的直角坐标方程为x2+y2=1.当=2时,l与o交于两点.当2时,记tan =k,则l的方程为y=kx-2,l与o交于两点当且仅当21+k21,解得k1,即4,2或2,34.综上,的取值范围是4,34.(2)l的参数方程为x=tcos,y=-2+tsint为参数,434.设a,b,p对应的参数分别为ta,tb,tp,则tp=ta+tb2,且ta,tb满足t2-22tsin +1=0.于是ta+tb=22sin ,tp=2sin .又点p的坐标(x,y)满足x=tpcos,y=-2+tpsin.所以点p的轨迹的参数方程是x=22sin2,y=-22-22cos2为参数,434.4.(2017全国22)在直角坐标系xoy中,曲线c的参数方程为x=3cos,y=sin,(为参数),直线l的参数方程为x=a+4t,y=1-t,(t为参数).(1)若a=-1,求c与l的交点坐标;(2)若c上的点到l距离的最大值为17,求a.解(1)曲线c的普通方程为x29+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由x+4y-3=0,x29+y2=1,解得x=3,y=0或x=-2125,y=2425.从而c与l的交点坐标为(3,0),-2125,2425.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故c上的点(3cos ,sin )到l的距离为d=|3cos+4sin-a-4|17.当a-4时,d的最大值为a+917.由题设得a+917=17,所以a=8;当a0),m的极坐标为(1,)(10).由题设知|op|=,|om|=1=4cos.由|om|op|=16得c2的极坐标方程=4cos (0).因此c2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点b的极坐标为(b,)(b0).由题设知|oa|=2,b=4cos ,于是oab面积s=12|oa|bsinaob=4cos sin-3=2sin2-3-322+3.当=-12时,s取得最大值2+3.所以oab面积的最大值为2+3.6.(2016全国23)在直角坐标系xoy中,曲线c1的参数方程为x=3cos,y=sin,(为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线c2的极坐标方程为sin+4=22.(1)写出c1的普通方程和c2的直角坐标方程;(2)设点p在c1上,点q在c2上,求|pq|的最小值及此时p的直角坐标.解(1)c1的普通方程为x23+y2=1.c2的直角坐标方程为x+y-4=0.(2)由题意,可设点p的直角坐标为(3cos ,sin ).因为c2是直线,所以|pq|的最小值即为p到c2的距离d()的最小值,d()=|3cos+sin-4|2=2sin+3-2.当且仅当=2k+6(kz)时,d()取得最小值,最小值为2,此时p的直角坐标为32,12.新题演练提能刷高分1.(2018安徽淮南一模)已知曲线c1的参数方程为x=4+5cost,y=5+5sint(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c2的极坐标方程为=2sin .(1)把c1的参数方程化为极坐标方程;(2)求c1与c2交点的极坐标(0,02).解(1)将x=4+5cost,y=5+5sint消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即c1:x2+y2-8x-10y+16=0.将x=cos,y=sin代入x2+y2-8x-10y+16=0得2-8cos -10sin +16=0,所以c1的极坐标方程为2-8cos -10sin +16=0.(2)c2的普通方程为x2+y2-2y=0.由x2+y2-8x-10y+16=0,x2+y2-2y=0,解得x=1,y=1或x=0,y=2,所以c1与c2交点的极坐标分别为2,4,2,2.2.(2018江西六校联考)在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为x=1+t,y=t(其中t为参数),在以原点o为极点,以x轴为极轴的极坐标系中,曲线c的极坐标方程为=4sin .(1)求直线l的普通方程及曲线c的直角坐标方程;(2)设m是曲线c上的一动点,om的中点为p,求点p到直线l的最小值.解(1)由x=1+t,y=t得l的普通方程x-y-1=0.又由=4sin ,得2=4sin ,所以,曲线c的直角坐标方程为x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4.(2)设p(x,y),m(x0,y0),则x02+(y0-2)2=4,由于p是om的中点,则x0=2x,y0=2y,所以(2x)2+(2y-2)2=4,得点p的轨迹方程为x2+(y-1)2=1,轨迹为以(0,1)为圆心,1为半径的圆.圆心(0,1)到直线l的距离d=|0-1-1|2=2.所以点p到直线l的最小值为2-1.3.(2018重庆二诊)在直角坐标系xoy中,曲线c1的参数方程为x=t2,y=2t(t为参数),以原点o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c2的极坐标方程为=5cos .(1)写出曲线c1的极坐标方程和c2的直角坐标方程;(2)记曲线c1和c2在第一象限内的交点为a,点b在曲线c1上,且aob=2,求aob的面积.解(1)由题c1:y2=4x,2sin2=4cos ,即sin2=4cos ,c2:x2+y2=5x.(2)联立y2=4x和x2+y2=5x,得xa=1,ya=2,设bm24,m,由oaob,mm24=-12,得m=-8,b(16,-8),saob=12|oa|ob|=12585=20.4.(2018广东江门一模)已知曲线c1的极坐标方程是=4sin ,以极点为原点,极轴为x轴正方向建立平面直角坐标系,曲线c2的参数方程是x=12(t+1t),y=12(t-1t)(t为参数).(1)将曲线c2的参数方程化为普通方程;(2)求曲线c1与曲线c2交点的极坐标.解(1)由曲线c2的参数方程得t=12(x+y),1t=12(x-y).两式相乘可得曲线c2的普通方程为x22-y22=1.(2)由=4sin 得2=4sin ,故曲线c1的直角坐标为x2+y2=4y.解方程组x22-y22=1,x2+y2=4y,得x=3,y=1或x=-3,y=1.由x=3,y=1得=x2+y2=2,sin =12,cos =32,故=6,因此对应点的极坐标为2,6.同理得x=-3,y=1,对应点的极坐标为2,56,故所求交点的极坐标为2,6与2,56.5.(2018山东烟台一模)已知直线l的参数方程为x=12+22t,y=12-22t(t为参数),椭圆c的参数方程为x=2cos,y=sin(为参数).在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点a的极坐标为2,3.(1)求椭圆c的直角坐标方程和点a在直角坐标系下的坐标.(2)直线l与椭圆c交于p,q两点,求apq的面积.解(1)由x=2cos,y=sin得x24+y2=1.因为点a的极坐标为2,3,所以x=2cos 3=1,y=2sin 3=3.a在直角坐标系下的坐标为(1,3).(2)将x=12+22t,y=12-22t,代入x24+y2=1,化简得10t2-62t-11=0,设此方程两根为t1,t2,则t1+t2=325,t1t2=-1110.|pq|=(t1+t2)2-4t1t2=825.因为直线l的一般方程为x+y-1=0,所以点a到直线l的距离d=32=62.apq的面积为1282562=435.6.(2018湖南、江西十四校第一次联考)已知曲线c1的参数方程为x=2t+3,y=4t-4(t为参数),以原点o为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c2的极坐标方程为=21-sin.(1)求曲线c2的直角坐标方程;(2)设m1为曲线c1上的点,m2为曲线c2上的点,求|m1m2|的最小值.解(1)x=cos,y=sin且2=x2+y2,由=21-sin得-sin =2=sin +22=(sin +2)2x2+y2=y2+4y+4x2=4y+4,曲线c2的直角坐标方程为x2=4y+4.(2)设m2x,x24-1是曲线c2上的任意一点,由x=2t+3,y=4t-4消去t得2x-y-10=0,知曲线c1为直线l:2x-y-10=0.设m2到l的距离为d,则|m1m2|d=2x-(x24-1)-105=14(x-4)2+555(当且仅当x=4时取“=”),故|m1m2|的最小值为5.命题角度2极坐标与参数方程的综合应用高考真题体验对方向1.(2017全国22)在直角坐标系xoy中,直线l1的参数方程为x=2+t,y=kt,(t为参数),直线l2的参数方程为x=-2+m,y=mk,(m为参数).设l1与l2的交点为p,当k变化时,p的轨迹为曲线c.(1)写出c的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos +sin )-2=0,m为l3与c的交点,求m的极径.解(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=1k(x+2).设p(x,y),由题设得y=k(x-2),y=1k(x+2).消去k得x2-y2=4(y0).所以c的普通方程为x2-y2=4(y0).(2)c的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(00).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线c2:=4cos .(1)说明c1是哪一种曲线,并将c1的方程化为极坐标方程;(2)直线c3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线c1与c2的公共点都在c3上,求a.解(1)消去参数t得到c1的普通方程x2+(y-1)2=a2,c1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=cos ,y=sin 代入c1的普通方程中,得到c1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0.(2)曲线c1,c2的公共点的极坐标满足方程组2-2sin+1-a2=0,=4cos.若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0,由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.a=1时,极点也为c1,c2的公共点,在c3上,所以a=1.3.(2016全国23)在直角坐标系xoy中,圆c的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求c的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是x=tcos,y=tsin,(t为参数),l与c交于a,b两点,|ab|=10,求l的斜率.解(1)由x=cos ,y=sin 可得圆c的极坐标方程2+12cos +11=0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(r).设a,b所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入c的极坐标方程得2+12cos +11=0.于是1+2=-12cos ,12=11.|ab|=|1-2|=(1+2)2-412=144cos2-44.由|ab|=10得cos2=38,tan =153.所以l的斜率为153或-153.新题演练提能刷高分1.(2018安徽江淮十校4月联考)平面直角坐标系xoy中,曲线c1的参数方程为x=3cos,y=sin(为参数),以坐标原点o为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线c2的极坐标方程为=4sin +6.(1)写出曲线c1的极坐标方程和曲线c2的直角坐标方程;(2)若射线om:=0(0)平分曲线c2,且与曲线c1交于点a,曲线c1上的点b满足aob=2,求|ab|.解(1)曲线c1的直角坐标方程是x23+y2=1,化成极坐标方程为2=31+2sin2;曲线c2的直角坐标方程是(x-1)2+(y-3)2=4.(2)曲线c2是圆,射线om过圆心,所以方程是=3(0),代入2=31+2sin2得a2=65,又aob=2,所以b2=2,因此|ab|=a2+b2=455.2.(2018江西南昌一模)在平面直角坐标系xoy中,曲线c的参数方程为x=2cos,y=2sin+2(为参数),以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求c的极坐标方程;(2)若直线l1,l2的极坐标方程分别为=6(r),=23(r),设直线l1,l2与曲线c的交点为o,m,n,求omn的面积.解(1)由参数方程x=2cos,y=2sin+2,得普通方程x2+(y-2)2=4,所以极坐标方程2cos2+2sin2-4sin =0,即=4sin .(2)直线l1:=6(r)与曲线c的交点为o,m,得m=|om|=4sin6=2,又直线l2:=23(r)与曲线c的交点为o,n,得n=|on|=4sin23=23,且mon=2,所以somn=12|om|on|=12223=23.3.(2018河北石家庄一模)在平面直角坐标系xoy中,曲线c的参数方程为x=3+rcos,y=1+rsin(r0,为参数),以坐标原点o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin-3=1,若直线l与曲线c相切.(1)求曲线c的极坐标方程;(2)在曲线c上取两点m,n与原点o构成mon,且满足mon=6,求mon面积的最大值.解(1)由题意可知直线l的直角坐标方程为y=3x+2,曲线c是圆心为(3,1),半径为r的圆,直线l与曲线c相切,可得r=|33-1+2|2=2;可知曲线c的方程为(x-3)2+(y-1)2=4,所以曲线c的极坐标方程为2-23cos -2sin =0,即=4sin+3.(2)由(1)不妨设m(1,),n2,+6(10,20),smon=12|om|on|sin 6=1412=4sin+3sin+2=2sin cos +23cos2=sin 2+3cos 2+3=2sin2+3+32+3.所以mon面积的最大值为2+3.4.(2018广东深圳第二次调研)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为x=32t,y=12t(t为参数),圆c1的参数方程为x=1+cos,y=sin(为参数),圆c2的参数方程为x=4cos,y=4+4sin(为参数).若直线l分别与圆c1和圆c2交于不同于原点的点a和b.(1)以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,求圆c1和圆c2的极坐标方程;(2)求c2ab的面积.解(1)由题意可知,圆c1的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0,极坐标方程为=2cos ,由题意可知,圆c2的直角坐标方程为x2+(y-4)2=16,即x2+y2-8y=0,极坐标方程为=8sin .(2)直线l的极坐标方程为=6(r),直线l与圆c1,c2交于不同于原点的点a,b,a=2cos6=3,b=8sin6=4,|ab|=|a-b|=4-3.又点c2(0,4)到直线ab的距离为23,sc2ab=12(4-3)23=43-3,c2ab的面积为43-3.5.(2018东北三省三校二模)在直角坐标系xoy中,曲线c1的参数方程为x=cos,y=1+si