（全国通用）2018年高考数学 考点一遍过 专题08 对数与对数函数（含解析）理.doc

08对数与对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点.（3）知道对数函数是一类重要的函数模型.（4）了解指数函数与对数函数互为反函数.一、对数与对数运算1对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数x叫做以a为底n的对数，记作，其中a叫做对数的底数，n叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgn；自然对数，以无理数e=2.71828为底数的对数lnn.（3）对数式与指数式的互化：.2对数的性质根据对数的概念，知对数具有以下性质：（1）负数和零没有对数，即；（2）1的对数等于0，即；（3）底数的对数等于1，即；（4）对数恒等式.3对数的运算性质如果，那么：（1）；（2）；（3）.4对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.换底公式的变形及推广：（1）；（2）；（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d0).二、对数函数及其性质1对数函数的概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.2对数函数的图象和性质一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：图象定义域值域性质过定点，即时，在上是减函数在上是增函数当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”3对数函数与指数函数的关系指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称.考向一 对数式的化简与求值对数运算的一般思路：（1）对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解；（2）在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.注意：（1）在利用对数的运算性质与进行化简与求值时，要特别注意题目的前提条件，保证转化关系的等价性（2）注意利用等式.典例1 化简：（1）(log29)(log34)a b c2 d4（2）lg 25lg 2lg 50(lg 2)2_【答案】（1）d；（2）2【解析】（1）(log29)(log34).（2）原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.【名师点睛】在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式典例2 求值：_【答案】1已知函数的定义域和值域都是0,1，则a1 b2 c3 d4考向二 对数函数的图象1对数函数的图象过定点（1,0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的，即可得到定点的坐标.2当底数时，对数函数是上的增函数，当时，底数的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数时，对数函数是上的减函数，当时，底数的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快.也可作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小3对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解特别地，要注意底数和的两种不同情况有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现4一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.典例3若函数的图象如图所示，则下列函数图象正确的是【答案】b【解析】由题图可知的图象过点(3,1)，则，即.a项，在上为减函数，错误；b项，符合；c项，在上为减函数，错误；d项，在(，0)上为减函数，错误典例4已知函数，且函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是a1，) b(1，)c(，1) d(，1【答案】b2设，函数的图象恒过定点p，则p点的坐标是abcd考向三对数函数性质的应用对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式呈现，难度易、中、难都有，且主要有以下几种命题角度：（1）比较对数式的大小：若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较（2）解对数不等式：形如的不等式，借助的单调性求解，如果a的取值不确定，需分与两种情况讨论；形如的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助的单调性求解典例5已知，则abcd【答案】c【名师点睛】本题中既有指数式，又有对数式，无法直接比较大小，可借助中间量1，0来进行比较.典例6 求不等式的解集.【解析】，原不等式等价于，当1时，解得0x2当时，解得2x4不等式的解集为3已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是abcd考向四 对数函数的复合函数问题与对数函数相关的复合函数问题，即定义域、值域的求解，单调性的判断和应用，与二次函数的复合问题等，解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外，需特别注意对数函数的定义域及底数的取值.求形如的复合函数的单调区间，其一般步骤为：求定义域，即满足的x的取值集合；将复合函数分解成基本初等函数及；分别确定这两个函数的单调区间；若这两个函数同增或同减，则为增函数，若一增一减，则为减函数，即“同增异减”.典例7已知函数（1）判断的奇偶性并加以证明；（2）判断的单调性（不需要证明）；（3）解关于m的不等式【解析】（1）由，得，函数的定义域为函数的定义域关于原点对称，且，函数为偶函数（2）, 为增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数.（3）即，则，得.4已知函数，若函数的图象上任意一点p关于原点对称的点q的轨迹恰好是函数的图象 （1）写出函数的解析式；（2）当时总有成立，求m的取值范围1函数的定义域是a bc d2已知，则下列等式一定成立的是abcd3已知函数，且，则abcd4已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是abcd5函数的零点个数是a0 b1 c2 d36.7若是偶函数，则_.8方程的解为.9已知函数.（1）若的定义域为，求的取值范围；（2）若，求的单调区间.10设函数,当时，有最小值.（1）求与的值；（2）求满足的的取值范围.1（2017北京理科）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限m约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数n约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg30.48）a1033b1053c1073d10932（2017新课标全国理科）设x、y、z为正数，且，则a2x3y5zb5z2x3yc3y5z2xd3y2x5z3（2016新课标全国理科）若，则abcd4（2015北京理科）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是abcd5（2015湖南理科）设函数，则是a奇函数，且在上是增函数b奇函数，且在上是减函数c偶函数，且在上是增函数d偶函数，且在上是减函数变式拓展1【答案】c2【答案】a【解析】当x+2=1，即时，恒成立，故函数的图象恒过定点，故选a.3【答案】c【解析】在上是增函数，说明内层函数在上是减函数，且成立，只需对称轴且，解得，故选c.4【解析】（1）设为图象上任意一点，则是点p关于原点的对称点，因为在的图象上，所以，即所以（2），即.设由题意知，只要即可当时，.因为是增函数，也是增函数，所以在上是增函数，所以.故m的取值范围是(，0考点冲关1【答案】d【解析】由，解得或，故选d.2【答案】b3【答案】a【解析】，当时，则，此等式显然不成立；当时，解得，=，故选a.4【答案】d【解析】由题图可知，的图象是由的图象向左平移个单位而得到的，其中，再根据单调性易知，故选d.5【答案】d6【答案】【解析】原式.7【答案】【解析】因为函数为偶函数,所以，即，即，即，即，解得.8【答案】2【解析】依题意，所以，令，所以，解得或，当时，所以，而，所以不合题意，舍去；当时，所以，所以满足条件，所以是原方程的解.【名师点睛】利用，将已知方程变成同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于的指数方程，最后利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.9【解析】（1）因为的定义域为，所以0对任意恒成立，显然时不合题意，从而必有，即，解得.即的取值范围是.（2）,因此，这时.由得，即函数的定义域为.令，则在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，所以的单调递增区间是,单调递减区间是. 10【解析】（1），当时，解得.（2）.由，得，解得，则.故满足的的取值范围是.直通高考1【答案】d【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，.2【答案】d【解析】令，则，则，则，故选d.【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.3【答案】c【解析】用特殊值法，令，得，选项a错误，选项b错误，选项c正确，选项d错误，故选c【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.4【