（全国通用）2018年高考数学 考点一遍过 专题15 三角函数的图象与性质（含解析）理.doc

考点15 三角函数的图象与性质（1）能画出y=sin x，y =cos x，y = tan x的图象，了解三角函数的周期性.（2）理解正弦函数、余弦函数在上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x轴的交点等），理解正切函数在内的单调性.（3）了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数对函数图象变化的影响.（4）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.一、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质函数图象定义域值域最值当时，；当时，当时，；当时，既无最大值，也无最小值周期性最小正周期为最小正周期为最小正周期为奇偶性,奇函数，偶函数，奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；无对称轴，是中心对称图形但不是轴对称图形.二、函数的图象与性质1函数的图象的画法（1）变换作图法由函数的图象通过变换得到（a0,0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.（2）五点作图法找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为： 先确定最小正周期t=,在一个周期内作出图象； 令,令x分别取0，,求出对应的x值，列表如下：由此可得五个关键点； 描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.2函数（a0,0）的性质（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数. （2）周期性：存在周期性，其最小正周期为t= .（3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间. （4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x. 利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.3函数（a0,0）的物理意义当函数（a0,0,）表示一个简谐振动量时，则a叫做振幅，t=叫做周期，f =叫做频率,叫做相位，x=0时的相位叫做初相.三、三角函数的综合应用（1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为.（2）函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为.（3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为（4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数 （5）函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定【注】函数，（有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后求解【注】函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于轴的直线都为对称轴. 函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴.考向一 三角函数的图象及其性质1三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如y=asinxbcosxk的三角函数化为y=asin(x)k的形式，再求最值(值域)；（2）形如y=asin2xbsinxk的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；（3）形如y=asinxcosxb(sinxcosx)c的三角函数，可先设t=sinxcosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)3三角函数单调性问题的常见类型及解题策略（1）已知三角函数解析式求单调区间求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如y=asin（x）或y=acos（x）（其中，0）的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0）的最小正周期为4，则a函数f（x）的图象关于点对称b函数f（x）的图象关于直线x=对称c函数f（x）的图象向右平移个单位后，图象关于原点对称d函数f（x）在区间（0，）内单调递增【答案】c故选c.2已知函数（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，试求的最值，并写出取得最值时自变量的值考向二 三角函数的图象变换函数图象的平移变换解题策略（1）对函数y=sin x，y=asin(x)或y=acos(x)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|个单位，都是相应的解析式中的x变为x|，而不是x变为x|.（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.典例3 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点a向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）b向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）c向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）d向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）【答案】b【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向3为得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度（，均为正数），则的最小值是abcd考向三 函数的图象与性质的综合应用1结合图象及性质求解析式y=asin(x)b(a0，0)的方法（1）求a，b，已知函数的最大值m和最小值m，则.（2）求，已知函数的周期t，则. （3）求，常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，a，b已知)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为x=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为x=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x=；“第四点”(即图象的“谷点”)为x=；“第五点”为x=2.2图象变换的综合问题（1）图象变换与解析式的综合问题，要特别注意两种变换的区别（2）图象变换与性质的综合问题，可根据两种图象变换的规则，也可根据图象的变换求出变换后的函数解析式，再研究函数的性质3函数图象与性质的综合问题常先通过三角恒等变换化简函数解析式为y=asin(x)b的形式，再结合正弦函数y=sinx的性质研究其相关性质4三角函数模型的应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.典例4 函数f（x）=sin（x）（其中|0，|-3)上的值域为-1,2，则等于a6 b4 c23 d7128已知函数f(x)=2cos22x-2给出下列命题：r,f(x+)为奇函数；(0,34)，f(x)=f(x+2)对xr恒成立；x1,x2r，若|f(x1)-f(x2)|=2，则|x1-x2|的最小值为4；x1,x2r，若f(x1)=f(x2)=0，则x1-x2=k(kz)其中的真命题有a b c d9已知函数f(x)=sinx，g(x)=sin(2-x)，直线x=m与f(x)、g(x)的图象分别交于m、n 两点，则|mn|的最大值是_10若将函数f(x)=|sin(x-8)|(0)的图象向左平移12个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是_11已知函数=4tan xsin()cos() .（1）求的定义域与最小正周期；（2）讨论在区间上的单调性.12已知函数的部分图象如图所示（1）求函数的解析式；（2）在中，角的对边分别是，若，求的取值范围13已知向量m=(3sinx,1)，n=(cosx,cos2x+1)，设函数f(x)=mn+b（1）若函数f(x)的图象关于直线x=6对称，且0,3时，求函数f(x)的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当x0,712时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围1（2017年高考新课标卷）已知曲线c1：y=cos x，c2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是a把c1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线c2b把c1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线c2c把c1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线c2d把c1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线c22（2017年高考新课标卷）设函数，则下列结论错误的是a的一个周期为b的图象关于直线对称c的一个零点为d在(,)单调递减3（2017年高考天津卷）设函数，其中若且的最小正周期大于，则abcd4（2017年高考新课标卷）函数()的最大值是 .5（2017年高考浙江卷）已知函数（1）求的值（2）求的最小正周期及单调递增区间6（2017年高考江苏卷）已知向量（1）若ab，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值变式拓展1【答案】c【解析】f(x)=12sin2x2sinx=，所以当时，当sinx=1时，f(x)min=3，故选c.2【答案】（1），（）；（2）时，取得最大值；时，取得最小值（2）因为，所以， 当，即时，取得最大值，当，即时，取得最小值3【答案】b【解析】依题意可知，所以当时，的最小值是，故选b4【答案】（1），；（2）；（3）【解析】（1）由已知得当时，取得最小值，此时，即，故取最小值时的集合为（2）当时，所以，从而，即的值域为（3）即求函数的单调递减区间令，解得，故的单调增区间为5【答案】（1）；（2）.所以解得.则，由，可得：，所得函数的单调减区间为.（2）由，可得，即.解得，即.因为，所以，因为恒成立，所以恒成立，即.所以实数的取值范围是.考点冲关1【答案】a2【答案】d【解析】由图象可知，解得，所以，令，解得,故函数的单调减区间为（，）,故选d.3【答案】c【解析】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得故选c 4【答案】c【解析】令，因此，所以选项a错误；，但时，所以选项b错误，事实上；，时，因此是其对称中心，所以选项c正确；，不含，所以选项d错误故选c【名师点睛】图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心5【答案】c 6【答案】b 【解析】，令，由得，且在上是增函数.依题意有在上是减函数，即，故选.7【答案】b【名师点睛】本题学生容易经验性的认为a=2,但此时在|0,0)的图象求解析式：(1)|a|=ymax-ymin2,b=ymax+ymin2.(2)由函数的周期t求,t=2.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求.8【答案】c【解析】因为函数变形为f(x)=cos4x-1，不可能通过左右平移变为奇函数，所以错.因为=8时，f(x+2)=cos(4x+2)-1=f(x)成立，所以对.因为|f(x1)-f(x2)|=2，即f(x1),f(x2)分别为最大值1与最小值1，所以|x2-x1|min=t2=4成立，所以对.因为f(x)=0，即cos4x=1,x=k2(kz)，x2-x1=k2，所以错.故选c.9【答案】2【解析】|mn|=|sinx-sin(2-x)|=|sinx-cosx|2 ，|mn|的最大值是2.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y=asin(x+)+b的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征10【答案】32【解析】若将函数f(x)= |sin(x-8)|(0)的图象向左平移12个单位后，所得图象对应的函数g(x)=|sin(x+12)-8|为偶函数，根据正（余）弦函数的奇偶性可知：则g(0)=|sin(12-8)|=1，或g(0)=|sin(12-8)|=0，则sin(12-8)=1，或sin(12-8)=0，则12-8=k2，即：=6k+32，当k=0时，k取得最小值为32.11【答案】（1），；（2）在区间上单调递增, 在区间上单调递减.所以, 当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.12【答案】（1）；（2）【解析】（1）由图象知，图象过，将点代入解析式得,，故函数故13【答案】（1）k-3,k+6(kz)；（2）b(-2,3-32-52.【解析】向量m=(3sinx,1)，n=(cosx,cos2x+1)，f(x)=mn+b=3sinxcosx+cos2x+1+b=32sin2x+12cos2x+32+b=sin(2x+6)+32+b,（1）函数f(x)的图象关于直线x=6对称，26+6=k+2(kz)，解得：=3k+1(kz)，0,3，=1，f(x)=sin(2x+6)+32+b，由2k-22x+62k+2，解得：k-3xk+6(kz)，所以函数f(x)的单调增区间为k-3,k+6(kz)（2）由（1）知f(x)=sin(2x+6)+32+b，x0,712，2x+66,43，2x+66,2，即x0,6时，函数f(x)单调递增；2x+66,43，即x6,712时，函数f(x)单调递减又f(0)=f(3)，当f(3)0f(712)或f(6)=0时函数f(x)有且只有一个零点即sin43-b-32sin56或1+32+b=0，所以满足条件的b(-2,3-32-52直通高考1【答案】d【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量而言.2【答案】d【解析】函数的最小正周期为，则函数的周期为，取，可得函数的一个周期为，选项a正确；函数图象的对称轴为，即，取，可得y=f(x)的图象关于直线对称，选项b正确；，函数的零点满足，即，取，可得的一个零点为，选项c正确；当时，函数在该区间内不单调，选项d错误.故选d.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的