（全国通用）2018高考数学大一轮复习 第二篇 函数 导数及其应用 第11节 导数在研究函数中的应用 第二课时 利用导数研究函数的极值与最值习题 理.doc

第二课时利用导数研究函数的极值与最值【选题明细表】知识点、方法题号导数研究函数极值1,2,4,7,8,12导数研究函数最值3,5,10,13导数研究函数的极值、最值综合题6,9,11,14基础对点练(时间:30分钟)1.如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象,给出下列命题:-3是函数y=f(x)的极值点;-1是函数y=f(x)的极小值点;y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增.则正确命题的序号是(b)(a)(b)(c)(d)解析:由导数的图象知f(-3)=0,且两边异号,-3是函数y=f(x)的极值点,正确;x=-1处,f(-1)=0,但左右同号,错误;x=0处切线的斜率应该大于零,错误;f(x)在(-3,1)上大于等于零,是增函数,正确.故选b.2.下列命题中正确的是(b)(a)函数y=x3-x2+x有两个极值点(b)函数y=48x-x3有两个极值点(c)函数y=x3有且只有一个极值点(d)函数y=ex-x无极值点解析:函数y=x3-x2+x求导得y=3x2-2x+1,=(-2)2-43=-80恒成立,函数单调递增,不存在极值点,a错误;函数y=48x-x3求导得y=48-3x2=3(4-x)(4+x),存在两个变号零点,所以函数y=48x-x3有两个极值点,b正确;函数y=x3求导得y=3x20恒成立,所以函数y=x3单调递增,不存在极值点,c错误;函数y=ex-x的导数y=ex-1,令y=0得x=0,且当x0时,y0时,y0,也就是说函数y=ex-x在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,所以x=0是一个极小值点,d错误.故选b.3.已知a1,f(x)=x3+3|x-a|,若函数f(x)在-1,1上的最大值和最小值分别记为m,m,则m-m的值为(c)(a)8(b)-a3-3a+4(c)4(d)-a3+3a+2解析:当x-1,1时,f(x)=x3+3(a-x)=x3-3x+3a(a1),对函数求导得f(x)=3(x-1)(x+1).当-1x1时,f(x)0,所以函数f(x)在区间-1,1上单调递减,所以m=f(-1)=3a+2,m=f(1)=3a-2,所以m-m=4.故选c.4.已知f(x)=x3-ax2+4x有两个极值点x1,x2,且f(x)在区间(0,1)上有极大值,无极小值,则实数a的取值范围是(a)(a)(72,+)(b)72,+)(c)(-,72)(d)(-,72解析:由题意得f(x)=3x2-2ax+4.因为f(x)在区间(0,1)上有极大值,无极小值,所以f(x)=0的两个根中x1(0,1),x21,所以f(0)=40,f(1)=7-2a72.故选a.5.若函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间-4,4上的最大值为10,则其最小值为(b)(a)-10(b)-71(c)-15(d)-22解析:因为f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).令f(x)=0,解得x=-1或3.列表如下:x-4,-1)-1(-1,3)3(3,4f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知当x=-1时,f(x)取得极大值,且f(-1)=-1-3+9+k=5+k,而f(4)=43-342-94+k=k-205+k,故最大值为f(-1)=5+k,所以5+k=10,解得k=5.所以f(x)=x3-3x2-9x+5.又极小值为f(3)=-22,区间端点值f(-4)=-71.所以函数f(x)在x=-4取得最小值-71.故选b.6.(2016广西北海市高考一模)已知函数f(x)=ax-ln x,当x(0,e(e为自然对数的底数)时,函数f(x)的最小值为3,则a的值为(b)(a)e(b)e2(c)2e(d)2e2解析:函数的定义域为(0,+),函数的导数f(x)=ax-1x,当a0时,f(x)0,f(x)在x(0,e上单调递减,最小值f(e)0时,f(x)=0的根为1a.当01a1e时,f(x)在x(0,1a)上单调递减,在(1a,e)上单调递增.f(x)min=f(1a)=1-ln1a=3,解得a=e2,当1ae,即0a1e时,f(x)0,f(x)在x(0,e)上单调递减,f(e)0,与题意不符.综上所述a=e2,故选b.7.已知函数f(x)=exx2-k(2x+ln x),若x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,则实数k的取值范围为(a)(a)(-,e(b)0,e(c)(-,e)(d)0,e)解析:因为函数f(x)=exx2-k(2x+ln x),所以函数f(x)的定义域是(0,+),f(x)=exx2-2xexx4-k(-2x2+1x)=(ex-kx)(x-2)x3.因为x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,所以x=2是导函数f(x)=0的唯一根.所以ex-kx=0在(0,+)无解,ke.故选a.8.已知函数f(x)=x3-3ax+b的单调递减区间为(-1,1),其极小值为2,则f(x)的极大值是.解析:依题意,f(x)的单调递减区间为(-1,1),由f(x)=3x2-3a=3(x-a)(x+a),可得a=1,由f(x)=x3-3ax+b在x=1处取得极小值2,可得1-3+b=2,故b=4.所以f(x)=x3-3x+4的极大值为f(-1)=(-1)3-3(-1)+4=6.答案:69.(2017湖北襄阳四中高三模拟)若函数f(x)=x2-12ln x+1在其定义域内的一个子区间(a-1,a+1)内存在极值,则实数a的取值范围是.解析:函数的定义域为(0,+),令f(x)=2x-12x=4x2-12x=0,解得x=12或x=-12(舍去),所以函数在子区间(a-1,a+1)内存在极值等价于12(a-1,a+1) (0,+),即a-10,a-112,解得1a0,求函数f(x)=af(x)在a,2a上的最小值.解:(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1-lnxx2.令f(x)=1-lnxx2=0,得x=e,因为当x(0,e)时,f(x)0,f(x)在(0,e)上为增函数;当x(e,+)时,f(x)0,由题知f(x)=alnxx在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,所以f(x)在a,2a上的最小值f(x)min=minf(a),f(2a).因为f(a)-f(2a)=12ln a2,所以当02时,f(a)-f(2a)0,f(x)min=f(2a)=12ln 2a.能力提升练(时间:15分钟)11.导学号 18702117若过点p(a,a)与曲线f(x)=xln x相切的直线有两条,则实数a的取值范围是(b)(a)(-,e)(b)(e,+)(c)(0,1e) (d)(1,+)解析:设切点为(m,mln m),由f(x)=xln x的导数为f(x)=1+ln x,可得直线的斜率为1+ln m.由切线经过点p(a,a),可得1+ln m=mlnm-am-a,化简可得1a=lnmm,(*)由题意可得方程(*)有两解.设g(m)=lnmm,可得g(m)=1-lnmm2,当me时,g(m)0,g(m)递减;当0m0,g(m)递增.可得g(m)在m=e处取得最大值1e,且m0时,g(m)-,m+时,g(m)0,即有01ae.故选b.12.已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则(c)(a)当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值(b)当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值(c)当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值(d)当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值解析:当k=1时,f(x)=(ex-1)(x-1),此时f(x)=ex(x-1)+(ex-1)=exx-1,所以a,b项均错.当k=2时,f(x)=(ex-1)(x-1)2,此时f(x)=ex(x-1)2+(2x-2)(ex-1)=(x-1)ex(x+1)-2,易知g(x)=ex(x+1)-2的零点介于0,1之间,不妨设为x0,则有x(-,x0)x0(x0,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值故f(x)在x=1处取得极小值.故选c.13.已知函数f(x)=ln x-mx(mr)在区间1,e取得最小值4,则m=.解析:因为f(x)=1x+mx2=x+mx2,当m0时,f(x)0,f(x)是1,e上的增函数,函数f(x)在x=1处取最小值,则-m=4,即m=-4不合题意;当m0时,当-m1,即-1m0,f(x)是增函数,故函数f(x)在x=1处取最小值,则-m=4,即m=-4不合题意;当-me时,即m-e时,f(x)0,f(x)是减函数,函数f(x)在x=e处取最小值,则1-me=4,故m=-3e合题意;当1-me,即-em-1时,函数f(x)在x=-m处取最小值,则ln(-m)+1=4,即m=-e3,不合题意.综上m=-3e.答案:-3e14.已知函数f(x)=xex+ax2+2x+1在x=-1处取得极值.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求函数g(x)=f(x)-1在-2,2上的值域.解:(1)f(x)=ex+xex+2ax+2,因为f(x)在x=-1处取得极值,所以f(-1)=0,解得a=1.经检验a=1适合,所以f(x)=xex+x2+2x+1,f(x)=(x+1)(ex+2),当x(-,-1)时,f(x)0,所以f(x)的单调递增区间为(-1,+).(2)因为g(x)=f(x)-1=xex+x2+2x,所以g(x)=f(x)=ex+xex+2x+2.由(1)知g(x)在(-,-1)上单调递减,在(-1,+)上单调递增,故g(x)在-2,2上的极小值也是最小值.g(x)min=g(-1)=-1e-1.又g(-2)=-2e2,g(2)=8+2e2g(-2),所以g(x)max=8+2e2,所以函数g(x)在-2,2上的值域为-1e-1,8+2e2.好题天天练1.(2016河北衡水中学高考模拟)已知函数f(x)=x2+x+a,x0,若函数f(x)的图象在a,b两点处的切线重合,则实数a的取值范围是(c)(a)(-2,-1)(b)(1,2)(c)(-1,+)(d)(-ln 2,+)解题关键:利用导数几何意义求出两段函数的切线,根据切线重合, 将其中一个切点横坐标表示为a的函数,求最值.解析:当x0时,f(x)=ln x的导数为f(x)=1x,设a(x1,f(x1),b(x2,f(x2)为该函数图象上的两点,且x1x2,当x1x20或0x1x2时,f(x1)f(x2),故x10x2,函数f(x)在点a(x1,f(x1)处的切线方程为y-(x12+x1+a)=(2x1+1)(x-x1);函数f(x)在点b(x2,f(x2)处的切线方程为y-ln x2=1x2(x-x2).两直线重合的充要条件是1x2=2x1+1,ln x2-1=-x12+a,由及x10x2得01x21,由得a=ln x2+14(1x2-1)2-1,令t=1x2,则0t1,且a=-ln t+14t2-12t-34,设h(t)=-ln t+14t2-12t-34(0t1),则h(t)=-1t+12t-12h(1)=-ln 1-1=-1,则a-1,可得函数f(x)的图象在点a,b处的切线重合时,a的取值范围是(-1,+).故选c.2.导学号 18702118已知函数f(x)=2ex+12ax2+ax+1有两个极值,则实数a的取值范围为.解析:因