对称性在积分中的应用-毕业论文

河北师范大学汇华学院本科生毕业论文设计对称性在积分中的应用作者姓名：杜飞指导教师：所在学部：信息工程学部专业：数学与应用数学班级（届）：2013届2班二零一三年 月 日目录中文摘要、关键词1对称性1.1人类追求对称1.2对称性的定义2利用对称性简化计算定积分2.1定积分的基本定理2.2对称性在定积分中的定理2.3对称性在定积分中的应用举例3利用对称性简化计算曲线积分3.1利用对称性简化计算第一型曲线积分3.1.1第一型曲线积分的定义及定理3.1.2对称性在第一型曲线积分中的定理及应用3.2利用对称性简化计算第二型曲线积分3.2.1第二型曲线积分的定义及定理3.2.2对称性在第二型曲线积分中的定理及应用4对称性在重积分中的应用4.1 利用对称性简化计算二重积分4.1.1二重积分的定义4.1.2对称性在二重积分中的定理4.1.3对称性在二重积分中的应用举例4.2利用对称性简化计算三重积分4.2.1三重积分的定义4.2.2对称性在三重积分中的定理及应用5利用对称性简化计算曲面积分5.1利用对称性简化计算第一型曲面积分5.1.1第一型曲面积分的定义及定理5.1.2对称性在第一型曲面积分中的定理5.1.3对称性在第一型曲面积分中的应用举例5.2利用对称性简化计算第二型曲面积分5.2.1第二型曲面积分的定义及定理5.2.2对称性在第二型曲面积分中的定理及应用参考文献英文摘要、关键字附录对称性在积分中的应用摘要：积分的计算是积分运用中的一个难点，在某些积分的计算过程中如果能够利用对称性，就可以简化积分的计算过程。本文归纳对称性在积分计算中的一些重要结论，使较复杂的计算变得简单，并结合实例说明这些结论的应用。积分的对称性包括定积分，曲线积分，重积分，曲面积分的对称性。本文介绍了几种常见的对称性在积分计算过程几个结论及应用，并通过实例论证了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化定积分，曲线积分，重积分，曲面积分的计算方法，运用这种办法，往往可以达到事半功倍的效果，另外，对于曲面积分的计算，本文还给出了利用积分曲面关于变量的轮换对称性简化曲面积分的计算，是曲面积分的计算更加便捷。本文结合积分域关于平行于坐标轴的直线，平行于坐标面的平面，平行于坐标轴对角线的直线的对称性定义，以及相应对称区域上定理中的函数约定在该区域都连续或偏导数连续，来讨论积分的对称性。关键词：对称性齐偶性积分区域定积分重积分曲线积分曲面积分对称性在积分中的应用绪论1对称性1.1人类追求对称 日常生活中常说的对称性，是指物体或一个系统各部分之间的适当比例、平衡、协调一致，从而产生一种简单和美感。人类对于自然的认识与自然赋予人类的“财富有直接关系。自然界的大量“对称”必然刺激着人类的思维。很多著名学者在研究工作中追求对称也是一件十分自然的事。下面就给出了一个实例。当奥斯特发现导线电流I的周围存在着磁场H时，年轻的法拉第为此激动、鼓舞。他想：既然电能够产生磁，那么作为对称思想，磁必定能产生电。就以为这一坚定的追求，花去了他生命中的十年时间。开始法拉第以为用强大的磁铁靠近导线，导线中就会产生稳定的电流；或者在一根导线中通以强大的电流，则近旁的另一根导线也会产生电流。但是无数次的实验都以失败告终。1831年10月17日，法拉第采用导线把电流计和空心线圈连接起来，多次的坎坷涌上了他的心头。但是“鬼使神差”，法拉第把一根磁铁猛的插进线圈，电流计突然偏转了。开头几次，法拉第可能还不认为是真正的磁产生电，或许是震动等其他原因。静下心来经过多次的重复，终于迎来了法拉第电磁感应电律：不仅电能产生磁，而且磁（的运动）也能产生电。这10年时间，正是法拉第3040岁的黄金时期。如果没有追求对称的信念，法拉第绝对静不住那么多次坎坷。而正是电磁感应的发现奠定了现在电动机和发电机的基础。1.2对称性的定义在数学中，对称狭义定义：一个物体包含若干等同部分，对应部分相等。下面是对称性的几个定义定义1设平面区域为，若对均有，则称关于直线对称，点与是关于的对称点。若对均有，则关于直线对称，与是关于的对称点。定义2设平面区域为，若对均有，则称关于对称，点与是关于的对称点。注释:空间区域关于平行于坐标面的平面对称;平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称;空间曲面、空间曲线关于平行于坐标面的平面对称,也有以上类似的定义。定义3设函数在空间曲面上有定义，若对均有，且，则称关于为偶函数；若对均有，则称关于为奇函数；那么类似定义函数关于y，z的奇偶性。2对称性在定积分中的应用2.1定积分的基本定理定积分的几何意义：对于上的连续函数，当时，定积分表示曲边梯形的面积；当时，是位于轴下方的曲边梯形面积的相反数，不妨称之为“负面积”；对于一般非定号的而言，定积分值是曲线在轴上方部分曲边梯形的正面积与下方部分曲边梯形的负面积的代数和。定理1若为上的连续函数，则在上可积。定理2若是区间上只有有限个间断点的有界函数，则在上可积。2.2对称性在定积分中的定理定理1设在上可积，证明：（1）若为奇函数，则；（2）若为偶函数，则.证明：因为，对积分作代换，则得. 于是=.（1）当为奇函数，则，从而.（2）当为偶函数，则,从而.例1计算积分解：当计算积分的时候，我们一眼就看到积分区域是对称的，就可以直接联想到用对称性解决问题.因为为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，在对称区间上，积分为0.即：=0定理2设在上连续，则.证明：令，则 例2计算积分解：，应用定理2得，原式= 定理3若在上连续，证明（1）；（2）.证明：（1）令，则 （2）设，则 所以.例3计算积分解：应用定理3（2）得， 2.3对称性在定积分中的应用举例例1计算解：作代换，再利用对称性，则有 例2计算解：由于及点都关于对称，作变换，把对称平移到点，故令，则 因为为奇函数，为偶函数，所以为奇函数，为偶函数.所以在对称区间中， 例3设函数f在区间上连续，且，计算.解：令，则因为所以由定理2得所以例4求椭圆所围成的图形的面积.解1：这椭圆关于两坐标轴对对称，所以椭圆所围成的图形的面积为，其中为该椭圆在第一象限部分与两坐标轴所围成的图形的面积，因此 ，利用椭圆的参数方程应用定积分换元法，令,则当x由0变到a时，t由变到0，所以 当时，就得到大家所熟悉的圆面积的公式.解2：化椭圆的参数方程，由公式，求得椭圆所围成的图形的面积为 显然，当时，这就等于圆的面积.例5求双纽线所围成平面图形的面积.解：如图2-2所示，因为，所以的取值范围是与.由图形的对称性及扇形的面积计算公式，得到 3对称性在曲线积分中的应用3.1对称性在第一型曲线积分3.1.1第一型曲线积分的定义及定理定义1设L为平面上可求长度的曲线段，为定义在L上的函数，对曲线L作分割T，它把L分成n个可求长度的小曲线段的弧长记为，分割T的细度为，在上任取一点.若有极限且J的值与分割T与点的取法无关，则称此极限为在L上的第一型曲线积分，记作.若L为空间可求长曲线段，为定义在L上的函数，则可类似的定义在空间曲线L上的第一型曲线积分，并且记作.性质1（无向性）设存在，是的反向曲线弧段，则.性质2（弧长公式）设曲线L是光滑的，则（表示曲线L的弧长）.定理1设光滑曲线函数为定义在L上的连续函数，则.特别地：1. 如果曲线L由一般方程给出，具有连续导数，则；2. 如果曲线L由极坐标方程给出，具有连续导数，则.需要指出的是：当第一型曲线积分转化为定积分时，不论和对应的积分曲线段是起点还是终点，定积分的下限一定小于上线.这是因为第一型曲线积分定义中的表示弧长，恒为正.注：如果曲线L（或）是闭合曲线，那么函数（或）在L（或）上的曲线积分记为或.3.1.2对称性在第一型曲线积分中的定理及应用定理2（奇偶性与对称性）如果积分弧段L（AB）关于y轴对称，存在，（1） 若关于x是奇函数，0，（2） 若关于x是偶函数，其中O点是曲线弧段L（AB）与y轴的交点.如果积分积分弧段L（AB）关于x轴对称，关于y是奇函数或偶函数的曲线积分的定理，类似定理2.例1计算，其中L：.解：=.由于积分曲线关于x轴对称，而被积函数关于y是奇函数，所以由定理2得 =0=于是=16+0=16.注 此题可以用计算第一型曲线积分的基本方法，建立参数方程： ，利用定理1的式子转化为定积分.。例2计算I=，其中L: .因为积分曲线关于x轴和y轴都对称，而被积函数关于x和y都是偶函数，于是，I等于关于L在第一象限部分的曲线积分的4倍.将积分曲线方程转化为极坐标方程.令，则第一象限积分曲线方程为，弧长微元 ，所以，有I= =例3计算，其中L: 解：因为L关于x轴对称，且是y的奇函数，所以=0.例4计算I=，相交的圆周.解：由于积分曲线关于x,y,z具有轮换对称性（位置是相同的），所以有于是，有I= = =注 轮换对称性3.2利用对称性简化计算第二型曲线积分3.2.1第二型曲线积分的定义及定理定义1设函数与定义在平面有向可求长度曲线L：上.对L的任意分割T，它把L分成n个小曲段，其中.记各小曲线段的弧长为，分割T的细度.又设T的分点的坐标为，并记，.在每个小曲线段上任取一点，若极限存在且与分割T与点的取法无关，则称此极限为函数，沿有向曲线L上的第二型曲线积分，记为.若L为封闭的有向曲线，则记.若L为空间有向可求长度曲线，为定义在L上的函数，则可按上述办法类似地定义空间有向曲线L上的第二型曲线积分，并记为.第二型曲线积分与曲线L的方向有关. .定理1设平面曲线其中上具有具有一阶连续导函数，且点A与点B的坐标分别为.又设与为L上的连续函数，则沿L从A到B的第二型曲线积分=3.2.2对称性在第二型曲线积分中的定理及应用第二型曲线积分有关对称性的结论与第一型曲线积分有关对称性的结论恰好相反：定理1设积分曲线L是平面分段光滑曲线，若曲线L关于x轴对称，且在x轴上半部分与下半部分走向相反，曲线、分别是L位于x轴左、右半部分，则(1) 若，则；(2) 若，则证明：设，则 当，则；当，则.定理2设积分曲线L是平面分段光滑曲线，若曲线L关于y轴对称，且在y轴左半部分与右半部分走向相反，曲线、分别是L位于y轴左、右半部分，则（1） 若，那么.（2） 若，那么.证明：定理2的证明与定理1的证明相似.定理3若积分区域L和函数关于变量x,y具有轮换对称性，则.例1计算，取逆时针方向.解：将写成两部分，即第一个积分，曲线L关于x轴对称，且走向相反，被积函数是y的偶函数，由定理1，得；第二个积分，曲线L关于y轴对称，且走向相反，被积函数是x的偶函数，由定理2，得.所以=0另外，本题中的积分区域L和被积函数关于变量x、y都具有轮换对称性，定理3，得，故=0.4.1对称性在二重积分中的定理及应用4.1.1二重积分的定义定义1设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数. 是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某个正数，使对于的任何分割，当它的细度时，属于的所有积分和都有，则称在上可积，数称为函数在上的二重积分，记作，或几何意义：当时，二重积分在几何上就表示以为曲顶，D为底的曲顶柱体的体积.当时，二重积分的值就等于积分区域的面积.定理1设在矩形区域上可积，且对每个，积分存在，则累次积分也存在，且4.1.2对称性在二重积分中的定理定理3在二重积分计算过程中，1.若积分区域关于x轴对称，记位于x轴上半部分区域，则（1）当，；（2），.2若积分区域关于y轴对称，记位于y轴半右部分区域，则（1）当，；（2），.例1，其中由抛物线与直线所围成的区域.解：=是关于y的偶函数，且关于x轴对称，所以（为第一象限的那部分区域） 定理4设有界闭区域关于x轴和y轴均对称，函数在上连续且关x和y均为偶函数，则，其中是的第一象限的部分：例2计算二重积分，其中区域D：.解：由于积分区域D关于x轴和y轴均对称，原点也对称，=关x和y均为偶函数，所以由定理4得=定理5设有界闭区域关于原点对称，函数在上连续，（1） 若，（2） 若，例3计算积分，其中为直线与围成的有界闭区域.解：关于原点对称，=关于y的偶函数由定理5知：令，则定理6设有界闭区域关于对称，函数在上连续，则.例4设为恒正的连续函数，计算积分.解：由于积分区域关于对称，所以由定理6知：，于是 所以4.1.3对称性在二重积分中的应用举例例1计算二重积分I=，其中是由双纽线围成的区域.解：令，双纽线方程由于区域关于x轴对称，关于y轴的偶函数， 例2，其中由双纽线围成的区域.由围成的区域对称于原点，是关于x,y的偶函数则有 令，代入得且由，知则于是例3计算二重积分，其中.解：因为关于y轴对称，所以积分中关于x的奇次项的积分值为零.从而令，则= 4.2利用对称性简化计算三重积分4.2.1三重积分的定义定义1设是定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数. 是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某个正数，使对于的任何分割，只要时，属于的所有积分和都有，则称在上可积，数称为函数在上的三重积分，记作. 在直角坐标系中，有时也把记作，把三重积分记作当时，在几何上表示的体积.定理1若函数在长方形上的三重积分存在，且对任何，二重积分存在，其中，则积分也存在，且.4.2.2对称性在三重积分中的定理及应用定理2在三重积分的计算过程中，若积分区域关于面对称，记位于面上半部分为，则（1） 当时，（2） 当时，同理还有其它类型的类似公式.若中的的地位相同，则.例1计算三重积分，其中是由平面与三个坐标面所围成的四面体.解：积分区域关于面对称，被积函数是z的奇函数，所以 =0定理3在三重积分的计算过程中，若积分区域关于z轴对称，是位于过z轴的平面一侧的部分.（1）当时，（2）当时，例2求曲面所界的体积.解：由曲面方程知.曲面过原点.曲面关于z轴对称.令，所以V= 令则 定理4在三重积分的计算过程中，若积分区域关于坐标原点对称，是位于过原点的平面一侧的部分.（1）当时，（2）当时，例3，其中为.解：，因为积分区域：关于原点对称，被积函数分别为x,y,z的奇函数，所以=0例4求积分的值，其中由平面以及三个坐标平面所围成的区域.解：由x,y,z的对称性，有 5利用对称性简化计算曲面积分5.1利用对称性简化计算第一型曲面积分5.1.1第一型曲面积分的定义及定理定义1设是空间中可求面积的曲面，为定义在上的函数.对曲面作分割，它把分成个小曲面块，以记小曲面块的面积，分割的细度，在上任取一点，若极限存在，且与分割与的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲线面积，记作.当时，曲面积分就是曲面块的面积.如果积分曲面是一个闭合曲面，通常将在上的曲面面积记作.定理1设有光滑曲面，为上的连续函数，则5.1.2对称性在第一型曲面积分中的定理定理2（奇偶性与对称性）如果光滑或逐片光滑曲面关于xOy坐标面对称，函数在上连续，则（1） 当时，（2） 当时，注 积分曲面关于yOz和zOx坐标面的对称性与函数的关于变量x和y的奇偶性，第一型曲面积分也有类似的结论.例1计算曲面积分，其中.解：由定理2得，曲面S关于yOz和zOx坐标面对称，分别关于x,y为奇函数，所以 于是 推论1如果光滑或逐片光滑曲面关于原点对称，则（1）当时，（2）当时，例2计算曲面积分，其中解：令则，积分曲面关于原点对称，被积函数关于x的偶函数，由推论1得， =定理3若积分区域S关于x，y，z具有轮换对称性，则 例3计算曲面积分，其中解：因为球面关于x，y，z具有轮换对称性，所以由定理3知，所以 5.1.3对称性在第一型曲面积分中的应用举例例1求，S为锥面被曲面所截的部分.解：，其中S：，在xy平面的投影为D: 所以而D关于x轴对称，且是关于y的奇函数，所以= 例2计算曲面积分，其中S是平面在第一卦限部分.解：由于积分曲面S关于x，y，z具有轮换对称性，所以，利用定理3，由 所以 例3计算曲面积分，其中.解： =根据曲面积分的对称性和奇偶性，有又因为积分曲面关于x，y，z具有轮换对称性，于是所以 5.2利用对称性简化计算第二型曲面积分5.2.1第二型曲面积分的定义及定理定义1设在光滑或逐片光滑的双侧曲面上有定义，分割将曲面S分成个小的有向曲面块，第个曲面块在面上的投影为，在第个曲面块上任取一点，设表示所有小块曲面的直径的最大值，若极限，且数与分法和取法无关，则称为函数在曲面上对坐标x,y的第二型曲面积分，或称对坐标x,y的曲面积分，记作，即类似地，可以定义函数在有向曲面上对坐标y,z以及z,x的曲面积分,.若是闭合曲面，则在上关于x,y第二型曲面积分记作.性质1（有向性）设有相反侧的同一光滑曲面，存在，则.定理1设是有向光滑曲面上的连续函数，面上的投影，则，其中，当S是上侧时，取“+”号；当S是下侧