（新课标版）备战2018高考数学二轮复习 思想3.2 分类讨论思想教学案.doc

思想3.2 分类讨论思想 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用 分类讨论的原则(1)不重不漏(2)标准要统一，层次要分明(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论(2)对所讨论的对象进行合理的分类(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.【热点分类突破】类型一：分类讨论思想在集合与简易逻辑中的运用例1. 【山东省济南市2018届期末】已知集合， ，且，则实数的所有值构成的集合是（ ）a. b. c. d. 【答案】d 例2.已知命题指数函数的定义域为；命题不等式，对上恒成立.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围.试题分析：（1） 命题为真命题等价于在上恒成立，分与由二次函数的性质讨论即可；（2） 命题“”为真命题，命题“”为假命题等价于命题与命题一真一假，先分别求出命题为真命题、命题为真命题时的范围，再求“真假”与“假真”时的范围，再求的并集即可.试题解析：（1）由题意：当时，的定义域不为，不合题意. 当时，且，故 ； （2）若为真，则，对上恒成立，为增函数且，故. “”为真命题，命题“”为假命题，等价于一真一假，故. 规律总结：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、venn图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论 举一反三1.设集合，（1）若，求；（2）若，求实数的取值集合试题解析：集合（1）若，则，则（2），当，即时，成立；当，即时，（i）当时，要使得，只要解得，所以的值不存在；（ii）当时，要使得，只要解得综上，的取值集合是 2.已知命题函数的定义域为，命题关于的方程的两个实根均大于3，若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围类型二：分类讨论思想在导数中的运用例3. 【安徽省池州市2018届期末】已知函数在内有极值.（）求实数的取值范围；（）若， ，且时，求证： .试题分析：（1）根据题意得到即在内有实根，转化为有实根，令， , 则函数在上单调递增,进而求得参数范围；（2）根据题意得到，函数值之差大于等于两个极值之差， 根据二元化一元得到原式，证明这个式子大于即可.（）由（）得： ,设 的两根为，则： ，得： ，当和时， ，函数单调递增；当和时， ，函数单调递减；则， . 则= （利用， ）.令，则， 则函数单调递增， ，又，则，所以： . 规律总结：函数是具体的，其单调性和最值都很明确，定义域是变化的，这类问题分类讨论的标准就是看最值点是否在定义域内【举一反三】已知函数，其中.（）当时，讨论的单调性；（）当时，恒成立，求的取值范围.（）显然，由可知：当时，故成立；当时，.令，得.显然，当时，为减函数，当时，为减函数；若，则，当时，为增函数，故成立；若，则，由在上为减函数可知，当时，为减函数，与题意不符，舍去.综上，的取值范围是. 类型三：分类讨论思想在解析几何中的运用例4. 【福建省龙岩市2018年高三毕业班教学质量检查】已知椭圆： 的左、右焦点分别为和，离心率是，直线过点交椭圆于， 两点，当直线过点时， 的周长为.（）求椭圆的标准方程；（）当直线绕点运动时，试求的取值范围.试题分析：（）由题意结合椭圆的定义可知的周长为 ， ，结合离心率可知， ，则椭圆的标准方程为. （）设， 两点坐标分别为， ，当直线与轴重合时， ，当直线与轴重合时， ，当直线斜率为时， ，当直线斜率存在且不为时，联立直线方程与椭圆方程可得，则， ，结合韦达定理整理计算可得不等式，解得，则.（）设， 两点坐标分别为， ，当直线与轴重合时， 点与上顶点重合时， ，当直线与轴重合时， 点与下顶点重合时， ，当直线斜率为时， ，当直线斜率存在且不为时，不妨设直线方程为，联立，得，则有，设，则，代入得 ，即，解得，综上， 规律总结：求解有关几何问题中，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化【举一反三】已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若过原点的直线与椭圆交于两点，且在直线上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程.分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割