（普通班）2017届高三数学一轮复习 第三篇 导数及其应用 第2节 导数在研究函数中的应用 第三课时 利用导数证明不等式专题基础对点练 理.doc

第三课时利用导数证明不等式专题【选题明细表】知识点、方法题号构造法证明不等式1,4等价转化法证明不等式2赋值法证明不等式31.(2015高考福建卷)已知函数f(x)=ln x-(x-1)22.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)证明:当x1时,f(x)1,当x(1,x0)时,恒有f(x)k(x-1).(1)解:f(x)=-x+1=-x2+x+1x,x(0,+),由f(x)0,得x0,-x2+x+10.解得0x1+52.故f(x)的单调递增区间是(0,1+52).(2)证明:令f(x)=f(x)-(x-1),x(0,+),则f(x)=1-x2x.当x(1,+)时,f(x)1时,f(x)1时,f(x)1满足题意.当k1时,对于x1,有f(x)x-1k(x-1),则f(x)1满足题意.当k1时,令g(x)=f(x)-k(x-1),x(0,+),则g(x)=-x+1-k=-x2+(1-k)x+1x,由g(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0,解得x1=1-k-(1-k)2+421.当x(1,x2)时,g(x)0,故g(x)在1,x2)内单调递增,从而当x(1,x2)时,g(x)g(1)=0,即f(x)k(x-1),综上,k的取值范围是(-,1).2.(2015皖南八校联考)已知函数f(x)=xln x+mx(mr)的图象在点(1,f(1)处的切线的斜率为2.(1)求实数m的值;(2)设g(x)=f(x)-xx-1,讨论g(x)的单调性;(3)已知m,nn*且mn1,证明mnnm.(1)解:因为f(x)=xln x+mx,所以f(x)=1+ln x+m.由题意f(1)= 1+ln 1+m=2,得m=1.(2)解:g(x)=f(x)-xx-1=xlnxx-1(x0,x1),所以g(x)=x-1-lnx(x-1)2.设h(x)=x-1-ln x,h(x)=1-.当x1时,h(x)=1-0,h(x)是增函数,h(x)h(1)=0,所以g(x)=x-1-lnx(x-1)20,故g(x)在(1,+)上为增函数;当0x1时,h(x)= 1-h(1)=0,所以g(x)=x-1-lnx(x-1)20,故g(x)在(0,1)上为增函数;所以g(x)在区间(0,1)和(1,+)上都是单调递增的.(3)证明:由已知可知要证mnnm,即证lnnm-lnmnln n-ln m,即证n-1nln mm-1mln n,即证mlnmm-1nlnnn-1,即证g(m)g(n),又mn1(m,nn*),由(2)知g(m)g(n)成立,所以mnnm.3.(2016东北三省四市教研联合体模拟)已知函数f(x)=aln x-ax-3(a0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)求证ln (22+1)+ln (32+1)+ln (42+1)+ln (n2+1)0),当a0时,f(x)的单调增区间为(0,1,单调减区间为1,+);当af(1),即-ln x+x-10,所以ln xx-1对一切x(1,+)成立.因为n2,nn*,则有ln (+1)1(n-1)n=1n-1-,要证ln (22+1)+ln (32+1)+ln (42+1)+ln (n2+1)1+2ln n!(n2,nn*),只需证ln (+1)+ln (+1)+ln (+1)1(n2,nn*),ln (+1)+ln (+1)+ln (+1) (1-)+(-)+(1n-1-)=1-1时,f(x)e+12ex-1(x+1)(xex+1).(1)解:因为f(x)=1-a-lnxx2,由已知f(e)=-,所以-=-.得a=1.所以f(x)=1+lnxx.f(x)=-lnxx2(x0).当x(0,1)时,f(x)0,f(x)为增函数;当x(1,+)时,f(x)0,f(x)为减函数.所以x=1是函数f(x)的极大值点.又f(x)在(m,m+1)上存在极值,所以m1m+1,即0m2ex-1(x+1)(xex+1),即为1e+1(x+1)(lnx+1)x2ex-1xex+1,令g(x)=(x+1)(lnx+1)x,则g(x)=(x+1)(lnx+1)x-(x+1)(lnx+1)x2=x-lnxx2再令(x)=x-ln x,则(x)=1-=x-1x.因为x1,所以(x)0,所以(x)在(1,+)上是增函数,所以(x)(1)=10,所以g(x)0,所以g(x)在(1,+)上是增函数,所以x1时,g(x)g(1)=2.故g(x)e+12e+1.令h(x)=2ex-1xex+1.则h(x)=2ex-1(xex+1