圆周角定理与圆内接四边形的性质与判定定理.doc

圆周角定理与圆内接四边形的性质与判定定理学习目标：会证明和应用以下定理：（1）圆周角定理；（2）圆内接四边形的性质定理与判定定理。【知识梳理】1圆周角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_(2)圆心角定理圆心角的度数等于_推论1同弧或等弧所对的圆周角_；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也_推论2半圆(或直径)所对的圆周角是_；90的圆周角所对的弦是_ 2圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1圆的内接四边形的对角_定理2圆内接四边形的外角等于它的内角的_ (2)判定判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点_推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_ 【基本技能】1下列说法中：(1)直径相等的两个圆是等圆；(2)长度相同的两条弧是等弧；(3)圆中最长的弦是通过圆心的弦；(4)一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，正确的个数有 （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个2如图，在O中，弦AB与CD相交于点P，则 （A） （B） （C） （D）3如图，在以BC为直径的半圆上任取一点P，过弧BP的中点A作于（D）连接BP交AD于点E，交AC于点F，则 （A）1:1 （B）1:2 （C）2:1 （D）以上结论都不对 4已知半径为5的O中，弦，弦，则 （A） （B） （C） （D）5如图五，在O中，弦BC平行于半径OA，AC交OB于点M，则 （A） （B） （C） （D） 【典例精讲】考点一、圆周角的计算与证明圆周角是指顶点在圆周上且两边都与圆相交的角，它的度数等于它所对弧的度数的一半或等于同弧所对圆心角的度数的一半，根据这个性质可以知道同一段弧可以对应无数个圆周角，无论这些角的顶点在圆周上的什么位半置，这些角都相等这样就可以把所求圆周角转化成求同弧所对的其他圆周角或求同弧所对的圆心角的一【例1】(2011中山模拟)如图，AB为O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB3，CD1，则sinAPB_审题视点 连结AD，BC，结合正弦定理求解解析连接AD，B（C）因为AB是圆O的直径，所以ADBACB90又ACDABD，所以在ACD中，由正弦定理得：AB3，又CD1，所以sinDACsinDAP，所以cosDAP又sinAPBsin (90DAP)cosDAP答案 解决本题的关键是寻找APB与DAP的关系以及AD与AB的关系【训练1】 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB4，ACB30，则圆O的面积等于_解析连接AO，O（B）因为ACB30，所以AOB60，AOB为等边三角形，故圆O的半径rOAAB4，圆O的面积Sr216答案166如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B60，F在AC上，且AEAF(1)求证：B，D，H，E四点共圆；(2)求证：CE平分DEF证明：(1)在ABC中，因为B60，所以BACBCA120因为AD，CE是角平分线，所以HACHCA60，故AHC120于是EHDAHC120因为EBDEHD180，所以B，D，H，E四点共圆(2)连接BH，则BH为ABC的平分线，所以HBD30由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以CEDHBD30又AHEEBD60，由已知可得EFAD，可得CEF30，所以CE平分DEF7如图所示，O为ABC的外接圆，且ABAC，过点A的直线交O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接C（D）(1)求证：EDFCDF；(2)求证：AB2AFA（D）证明： (1)ABAC，ABCAC（B）四边形ABCD是O的内接四边形，CDFAB（C）又ADB与EDF是对顶角，ADBEDF又ADBACB，EDFCDF(2)由(1)知ADBAB（C）又BADFAB，ADBABF，AB2AFA（D）8(2011辽宁)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且ECE（D）(1)证明：CDAB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EFEG，证明：A，B，G，F四点共圆证明：(1)因为ECED，所以EDCEC（D）因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDCEBA，故ECDEB（A）所以CDA（B）(2)由(1)知，AEBE，因为EFEG，故EFDEGC，从而FEDGE（C）连接AF，BG，则EFAEGB，故FAEGBE又CDAB，EDCECD，所以FABGBA，所以AFGGBA180，故A，B，G，F四点共圆10(2011课标)如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若A90，且m4，n6，求C，B，D，E所在圆的半径解：(1)证明：连接DE，根据题意在ADE和ACB中，ADABmnAEAC，即又DAECAB，从而ADEAC（B）因此ADEAC（B）所以C，B，D，E四点共圆(2)m4，n6时，方程x214xmn0的两根为x12，x212故AD2，AB12取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH由于A90，故GHAB，HFA（C）从而HFAG5，DF(122)5故C，B，D，E四点所在圆的半径为511(2011哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)已知四边形PQRS是圆内接四边形，PSR90，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QTTS证明：(1)PHQPKQ90，Q、H、K、P四点共圆(2)Q、H、K、P四点共圆，HKSHQP， PSR90，PR为圆的直径，PQR90，QRHHQP， 而QSPQRH， 由得，QSPHKS，TSTK，又SKQ90，SQKTKQ，QTTK，QTTS12(2011河南省教学质量调研)如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB、F（C）(1)求证：FBFC；(2)求证：FB2FAFD；(3)若AB是ABC外接圆的直径，EAC120，BC6 cm，求AD的长解：(1)证明：AD平分EA（C）EADDA（C）四边形AFBC内接于圆，DACFB（C）EADFABFCB，FBCFCB，FBF（C）(2)证明：FABFCBFBC，AFBBFD，FBAFDB，FB2FAF（D）(3)AB是圆的直径，ACB90EAC120，DACEAC60，BAC60D30BC6 cm，AC2cm，AD2AC4cm2(2011湖南)如图，A、E是半圆周上的两个三等分点，直线BC4，ADBC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为_解析：如图所示，A、E是半圆周上两个三等分点，ABO和AOE均为正三角形AEBOBC2ADBC，AD，BD1又BOAOAE60，AEB（D）BDFEAF，AF2FD，3AF2(FDAF)2AD2，AF答案：3(2011深圳卷)如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC4，BE10，且BCAD，则DE_解析：连接AB，设BCADx，结合图形可得CAB与CED相似，于是即x2又因为AC是小圆的直径，所以CBA90，由于CDECBA，所以CDE90在直角三角形CDE中，DE6答案：64(2011佛山卷)如图，过圆外一点P作O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE、BE，APE的平分线分别与AE、BE相交于点C、D，若AEB30，则PCE_解析：由切割线性质得：PE2PBPA，即，PBEPEA，PEBPAE，又PEA的内角和为2(CPAPAE)30180，所以CPAPAE75，即PCE75答案：755如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，ABADa，CD，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF_分析：本题考查勾股定理及三角形中位线的性质解析：连接BD、DE，由题意可知DEAB，DEa，BCDEa，BD a，EFBD答案：6如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B60，F在AC上，且AEAF(1)证明：B，D，H，E四点共圆；(2)证明：CE平分DEF证明：(1)在ABC中，因为B60，所以BACBCA120因为AD，CE是角平分线，所以HACHCA60，故AHC120于是EHDAHC120因为EBDEHD180，所以B，D，H，E四点共圆(2)连接BH，则BH为ABC的平分线，所以HBD30由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以CEDHBD30又AHEEBD60，由已知可得EFAD，可得CEF30，所以CE平分DEF7如图所示，O为ABC的外接圆，且ABAC，过点A的直线交O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接C（D）(1)求证：EDFCDF；(2)求证：AB2AFA（D）证明： (1)如图所示，ABAC，ABCAC（B）四边形ABCD是O的内接四边形，CDFAB（C）又ADB与EDF是对顶角，ADBEDF又ADBACB，EDFCDF(2)由(1)知ADBAB（C）又BADFAB，ADBABF，AB2AFA（D）8(2011辽宁)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且ECE（D）(1)证明：CDAB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EFEG，证明：A，B，G，F四点共圆证明：(1)因为ECED，所以EDCEC（D）因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDCEBA，故ECDEB（A）所以CDA（B）(2)由(1)知，AEBE，因为EFEG，故EFDEGC，从而FEDGE（C）连接AF，BG，则EFAEGB，故FAEGBE又CDAB，EDCECD，所以FABGBA，所以AFGGBA180，故A，B，G，F四点共圆1如图所示，四边形ABCD内接于O，BOD110，则BCD_度2(2009广东卷)如图所示，点A、B、C是圆O上的点，且AB4，ACB45，则圆O的面积等于_3如图所示，AB是半圆的直径，弦AD、BC相交于P，已知DPB60，D是弧BC的中点，则tanADC_4已知O是ABC的外接圆，I是ABC的内切圆，A80，那么BOC_，BIC_思路点拨：由A的度数易得BOC的度数，然后抓住圆的切线性质及三角形内角和可得到BIC的度数考点二、四点共圆证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补 5在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，为垂足求证：E、B、C、F四点共圆 6如图，已知ABC中的两条角平分线和相交于，B=60，在上，且。wwwks5u（C）om （1）证明：四点共圆；（2）证明：CE平分DEF。 【能力提升】1图所示，已知AB为O的直径，AC为弦，交AC于点D，BC=4cm， (1)试判断OD与A