（江苏专版）2019版高考数学一轮复习 第二十一章 概率统计 21.1 离散型随机变量及其分布、超几何分布讲义.doc

21.1离散型随机变量及其分布、超几何分布考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.随机变量及其分布1.求随机事件发生的概率2.求随机变量的分布列b解答题2.相互独立事件求相互独立事件的概率b解答题3.n次独立重复试验的模型及二项分布1.n次独立重复试验模型2.二项分布的求解b解答题4.离散型随机变量的均值与方差求期望与方差b22题10分23题10分解答题分析解读概率、随机变量与期望是江苏高考的热点,试题一般考查离散型随机变量及其分布列、超几何分布、相互独立事件、n次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的均值与方差等.命题探究15(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球,所以p=c42+c32+c22c92=6+3+136=518.(2)随机变量x所有可能的取值为2,3,4.x=4表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故p(x=4)=c44c94=1126;x=3表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他颜色的球”,故p(x=3)=c43c51+c33c61c94=20+6126=1363;于是p(x=2)=1-p(x=3)-p(x=4)=1-1363-1126=1114.所以随机变量x的概率分布如下表:x234p111413631126因此随机变量x的数学期望e(x)=21114+31363+41126=209.五年高考考点随机变量及其分布1.(2013广东理改编,4,5分)已知离散型随机变量x的分布列为x123p35310110则x的数学期望e(x)=.答案322.(2017课标全国理,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量x(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,y的数学期望达到最大值?解析本题考查随机变量的分布列,数学期望.(1)由题意知,x所有可能取值为200,300,500,由表格数据知p(x=200)=2+1690=0.2,p(x=300)=3690=0.4,p(x=500)=25+7+490=0.4.因此x的分布列为x200300500p0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200n500.当300n500时,若最高气温不低于25,则y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间20,25),则y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n;若最高气温低于20,则y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此ey=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.当200n70)=p(t1=35,t2=40)+p(t1=40,t2=35)+p(t1=40,t2=40)=0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09.故p(a)=1-p(a)=0.91.10.(2014北京,16,13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;(3)记x为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记x为李明在这场比赛中的命中次数.比较ex与x的大小.(只需写出结论)解析(1)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件a为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件b为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件c为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”.则c=abab,a,b独立.根据投篮统计数据,可知p(a)=35,p(b)=25.p(c)=p(ab)+p(ab)=3535+2525=1325.所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为1325.(3)ex=x.11.(2014江西,21,14分)随机将1,2,2n(nn*,n2)这2n个连续正整数分成a,b两组,每组n个数.a组最小数为a1,最大数为a2;b组最小数为b1,最大数为b2.记=a2-a1,=b2-b1.(1)当n=3时,求的分布列和数学期望;(2)令c表示事件“与的取值恰好相等”,求事件c发生的概率p(c);(3)对(2)中的事件c,c表示c的对立事件,判断p(c)和p(c)的大小关系,并说明理由.解析(1)当n=3时,的所有可能取值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成a,b两组,不同的分组方法共有c63=20种,所以的分布列为2345p1531031015e=215+3310+4310+515=72.(2)和恰好相等的所有可能取值为n-1,n,n+1,2n-2.又和恰好相等且等于n-1时,不同的分组方法有2种;和恰好相等且等于n时,不同的分组方法有2种;和恰好相等且等于n+k(k=1,2,n-2)(n3)时,不同的分组方法有2c2kk种,所以当n=2时,p(c)=46=23,当n3时,p(c)=2(2+k=1n-2c2kk)c2nn.(3)由(2)知当n=2时,p(c)=13,因此p(c)p(c),而当n3时,p(c)p(c).理由如下:p(c)p(c)等价于4(2+k=1n-2c2kk)c2nn.用数学归纳法来证明:(i)当n=3时,式左边=4(2+c21)=4(2+2)=16,式右边=c63=20,所以式成立.(ii)假设n=m(m3)时式成立,即4(2+k=1m-2c2kk)c2mm成立,那么,当n=m+1时,左边=4(2+k=1m+1-2c2kk)=4(2+k=1m-2c2kk)+4c2(m-1)m-1c2mm+4c2(m-1)m-1=(2m)!m!m!+4(2m-2)!(m-1)!(m-1)!=(m+1)2(2m)(2m-2)!(4m-1)(m+1)!(m+1)!(m+1)2(2m)(2m-2)!(4m)(m+1)!(m+1)!=c2(m+1)m+12(m+1)m(2m+1)(2m-1)c2(m+1)m+1=右边,即当n=m+1时式也成立.综合(i),(ii)得,对于n3的所有正整数,都有p(c)p(c)成立.12.(2013湖南理,18,12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量y(单位:kg)与它的“相近”作物株数x之间的关系如下表所示:x1234y51484542这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.解析(1)所种作物总株数n=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有c31c121=36种.选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种.故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为836=29.(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量y的分布列.因为p(y=51)=p(x=1),p(y=48)=p(x=2),p(y=45)=p(x=3),p(y=42)=p(x=4).所以只需求出p(x=k)(k=1,2,3,4)即可.记nk为其“相近”作物恰有k(k=1,2,3,4)株的作物株数,则n1=2,n2=4,n3=6,n4=3.由p(x=k)=nkn得p(x=1)=215,p(x=2)=415,p(x=3)=615=25,p(x=4)=315=15.故所求的分布列为y51484542p2154152515所求的数学期望为e(y)=51215+48415+4525+4215=34+64+90+425=46.13.(2013浙江理,19,14分)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量为取出此2球所得分数之和,求的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量为取出此球所得分数.若e=53,d=59,求abc.解析(1)由题意得=2,3,4,5,6.故p(=2)=3366=14,p(=3)=23266=13,p(=4)=231+2266=518,p(=5)=22166=19,p(=6)=1166=136.所以的分布列为23456p141351819136(2)由题意知的分布列为123paa+b+cba+b+cca+b+c所以e()=aa+b+c+2ba+b+c+3ca+b+c=53,d()=1-532aa+b+c+2-532ba+b+c+3-532ca+b+c=59,化简得2a-b-4c=0,a+4b-11c=0.解得a=3c,b=2c,故abc=321.14.(2013天津理,16,13分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为x,求随机变量x的分布列和数学期望.解析(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件a,则p(a)=c21c53+c22c52c74=67.所以取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量x的所有可能取值为1,2,3,4.p(x=1)=c33c74=135,p(x=2)=c43c74=435,p(x=3)=c53c74=27,p(x=4)=c63c74=47.所以随机变量x的分布列是x1234p1354352747随机变量x的数学期望ex=1135+2435+327+447=175.三年模拟a组20162018年模拟基础题组考点随机变量及其分布1.(2018江苏扬州中学高三月考)抛掷甲,乙两枚质地均匀且四面上分别写有1,2,3,4的正四面体,其底面落于桌面,记底面上的数字分别为x,y.设为随机变量,若xy为整数,则=0;若xy为小于1的分数,则=-1;若xy为大于1的分数,则=1.(1)求p(=0);(2)求的分布列,并求其数学期望e().解析(1)依题意,数对(x,y)共有16种可能情况,其中使xy为整数的有以下8种情况:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),所以p(=0)=816=12.(2)随机变量的所有可能取值为-1,0,1,由(1)得p(=0)=12.使xy为小于1的分数的数对(x,y)有以下6种情况:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).故p(=-1)=616=38.使xy为大于1的分数的数对(x,y)有以下2种情况:(3,2),(4,3),故p(=1)=216=18.所以的分布列为-101p381218e()=-138+012+118=-14.故的数学期望为-14.2.(苏教选23,二,4,7,变式)在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数x的分布列;(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张.求顾客乙中奖的概率;设顾客乙获得的奖品总价值为y元,求y的分布列.解析(1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情况,故x的取值只有0和1两种情况.p(x=1)=c41c101=410=25,则p(x=0)=1-p(x=1)=1-25=35.因此x的分布列为x01p3525(2)顾客乙中奖可分为互斥的两类事件:所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.故所求概率p=c41c61+c42c60c102=3045=23.y的所有可能取值为0,10,20,50,60,且p(y=0)=c62c102=1545=13,p(y=10)=c31c61c102=1845=25,p(y=20)=c32c102=345=115,p(y=50)=c11c61c102=645=215,p(y=60)=c11c31c102=345=115.因此随机变量y的分布列为y010205060p13251152151153.(2017江苏宿迁中学质检)一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球,从中有放回地摸球,每次摸出一个,若有3次摸到红球即停止.(1)求恰好摸4次停止的概率;(2)记4次之内(含4次)摸到红球的次数为x,求随机变量x的分布列.解析(1)设事件“恰好摸4次停止”的概率为p,则p=c321423414=9256.(2)由题意,得x的所有可能取值为0,1,2,3,p(x=0)=c40344=81256,p(x=1)=c4114343=2764,p(x=2)=c42142342=27128,p(x=3)=1-81256-2764-27128=13256,所以x的分布列如下:x0123p81256276427128132564.(2017江苏扬州高三第一学期期中,22)某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖,学生来源如下表:班级高一(1)班高一(2)班高一(3)班人数361若要求从10名学生中选出两名学生介绍学习经验,设其中来自高一(1)班的人数为,求随机变量的分布列及数学期望e().解析随机变量的取值可能为0,1,2.p(=0)=c72c102=715,p(=1)=c31c71c102=715,p(=2)=c32c102=115.则随机变量的分布列为012p715715115e()=0715+1715+2115=35.b组20162018年模拟提升题组(满分:15分时间:10分钟)解答题(共15分)(苏教选23,二,16,变式)某商场为减少库存,加快资金周转,特举行一次购物抽奖活动,此次活动共设奖券100张,其中一等奖奖券5张,每张可获价值100元的购物券;二等奖奖券10张,每张可获价值50元的购物券;三等奖奖券15张,每张可获价值10元的购物券;其余奖券无奖.某顾客从此100张奖券中任取2张.(1)求该顾客中奖的概率;(2)记该顾客获得奖券的总价值为x元,求x的概率分布及p(5x120)的值.解析(1)从100张奖券中任取2张共有c1002种结果,令a=“该顾客中奖”,则a=“该顾客没有中奖”.p(a)=1-p(a)=1-c702c1002=1-161330=169330. (2)由题意可知x的取值可能为0,10,20,50,60,100,110,150,200.p(x=0)=c702c1002=161330,p(x=10)=c701c151c1002=733,p(x=20)=c152c1002=7330,p(x=50)=c701c101c1002=1499,p(x=60)=c101c151c1002=133,p(x=100)=c51c70