复变函数参考答案(1-8章).pdf

复变函数与积分变换 同步练习参考答案 中北大学复变函数教研室编印 1 复变函数同步练习第一章参考答案复变函数同步练习第一章参考答案 三 作业题三 作业题 1 1 设 2 34 1 2 i z i 则z 5 辐角主值为 4 arctan 3 2 设 5 5 1 1 1 1 i z i 则其实部为 1 25 虚部为 32 25 提示 本题注意到 2 1 2ii 2 1 2ii 则 52 22 52 22 1 1 1 1 1 2 1 1132 1 1 1 1 1 2 1 12525 iiiii zi iiiii 3 一复数对应的向量按逆时针方向旋转 2 3 时对应的复数为1 i 则原复数为 1313 i 22 提示 本题相当于解 2 3 131313 1 1 2222 i zeiiii 4 设 1 1 2 i z 2 3zi 则 1 2 z z的指数式 i 12 2e 1 2 z z 的三角式为 155 cossin 21212 i 5 2 1 22 lim 1 z zzzz z 3 2 提示 2 111 22 2 1 23 limlimlim 1 1 1 12 zzz zzzzzzz zzzz 6 设复数z满足arg 2 3 z 5 arg 2 6 z 那么z 13i 提示 利用复数的几何意义 向量2z 与向量2z 夹角为 5 632 在复平面上 代表复数2z z 2z 的点在平行于x轴的直线上 由于此三点的虚轴没有发生变 2 化 连接 0 2z 2z 的三角形为Rt 因此推出向量2z 2 arg 3 z 即 13iz 本题也可以利用代数法来做 2 把复数 0 sincos1iz化为三角表示式与指数表示式 并求z的辐 角主值 可参照例题 4 解 解法一 222 1 cos sin4sin2sin 22 r 因为当0 1 cos0 则 sin argarctanarctan cot 1 cos2 z arctan tan 22 所以1 cossin2sin cos 22 i sin 2 i i 2 2sin 2 e 即1 cossini i 2 2sin 2 e 上式对于0 及 时也成立 解法二 利用三角公式 有 2 1 cossin2sin2 sincos 222 ii 2sin sin2 cos 2sin cossin 222222 ii 三角表示式 i 2 2sin 2 e 指数表示式 3 解下列方程 55 1 1 zz 分析 显然原方程可化简为一个典型的二项方程 解 由直接验证可知原方程的根1z 所以原方程可改写为 5 1 1 1 z z 令 1 1 z z 1 则 5 1 2 方程 2 的根为 2468 5555 1 iiii eeee 即 i e 2468 0 5555 但 3 由 1 i i 2sin sincos 11cossin1 222 11cossin1 2cos cossin 222 i ei z ei i tan 2 i 故原方程的根为tan 2 zi 其中 2468 0 5555 4 函数 1 z 把z平面上的下列曲线映射成 平面上怎样的曲线 1 3x 2 22 1 1xy 且0y 解 1 令zxiy uiv 11 z z 即 22 1uiv xiy uivuv 因此 22 u x uv 22 v y uv 而已知曲线方程为3x 故z平面上直线3x 在 1 z 下 的像曲线为 22 1 0 3 uvu 这是 平面上过原点的圆周 2 方程 22 1 1xy 化为 22 1 2 x xy 而 2222 1 xy uv zxyxy 因 此所求的像恰为 1 2 u 且0v 5 证明 2222 121212 2 zzzzzz 并说明其几何意义 证明 利用公式 2 zzz 左式 22 12121212 zzzzzzzz 22 12121 12212 222 zzzzz zz zzz 得证 几何意义 平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和 6 如果 it ze 证明 1 2 sin n n zint z 成立 证明 iiii 1 2isin ntntnntnt n zeeeent z 得证 7 设 1 2 zz f z i zz 0z 试证 当0z 时 f z的极限不存在 证明 1 令 i zre i zre 则 1 sin2 2 ii ii rere f z i rere 因为 4 0 arg0 lim 0 z z f z 0 arg 4 lim 1 z z f z 所以 f z在0z 无极限 证明 2 22 2222 12Re2 Im2Re Im2 2 2 zzzizzzxy f z izzxy i zz 令z沿直线ykx 趋向于零 有 222 00 00 22 lim lim 1 xx y kxy kx xyk u x y xyk 显然 当取不同值时 u x y趋 向于不同的值 所以 0 lim z f z 不存在 8 试确定极限 2 lim za zab zab za 存在与否 解 由于 2 zab zabza zb 故 2 limlimlim zazaza zab zabza zb zbab zaza 9 试确定函数 22 33 x yixy f zf xiy xiy 连续与否 解 当0 x 0y 时 即0z 时 由于 f z的分子 分母皆为连续函数 故 f z为 连续函数 当0 x 0y 时 即0z 由于 f z在该点无定义 即 f z在0z 不连续 故 在除去原点的复平面上 f z连续 5 复变函数同步练习第二章参考答案复变函数同步练习第二章参考答案 1 1 函数 222 2 f zxyxixyy 在 1 2 y 处可导 在 z平面处处不解析 2 函数 f zuiv 是解析函数 则 22 uv 的共轭调和函数是2uvC 3 设 iz ie 则Rez 2 0 1 2 2 kk 函数 5 z f ze 的周期是10 i 1 ii 的辐角主值是 1 ln2 2 1 ii 的模为 2 4 0 1 2 k ek 提示 1 ii 11 ln 1 2 ln2 2 2 ln2 1 42442 iiikiikki iLni eeeee 0 1 2 k 故 1 arg 1 ln2 2 i i 2 4 1 0 1 2 k i iek 4 2 2 i 2 ln2 2 e cos ln22 2 k k i sin ln22 2 ik i k 0 1 2 方程sinh zi 的解为 2 0 1 2 2 zki k 5 设函数 Ref zzz 求 0 f 0 2 试证下列函数在复平面上任何点都不解析 1 Re z 2 z 1 解 1 利用 C R 条件 即用解析的充要条件判别 Re zx 即ux 0v 1 u x 6 0 u y 0 v x 0 v y 以上四个偏导存在且连续 但由于 uv xy 不满足 C R 条件 故在复平面上处处不解析 2 利用 C R 条件 即用解析的充要条件判别 即 22 x u xy 22 y v xy 44222 222 22 uxyx yx xxy 222 2 uxy yxy 222 2 vxy xxy 44222 222 22 vxyx yx yxy 以上四个偏导存在且连续 但由于 uv xy 不满足 C R 条件 故在复平面上处处不解析 注 判断一个函数 f zu x yiv x y 解析 须满足一下两个条件 f z的实部 u x y与虚部 v x y关于变量 x y的偏导存在且连续 即可微 C R 条件 3 设 2323 lxyxiynxmy 为解析函数 试确定nml 的值 解 令 3232 f zmynx yi xlxy 因为 f z解析 所以满足 C R 条件 由 32 u x ymynx y 32 v x yxlxy 得2 u xyn x 22 3 u y mx n y 22 3 v xly x 2 v xyl y 由 C R 条件 有22xynxyl 2222 33y mx nxly 比较系数得ln 1 3 ml 3n 故3n 3l 1m 4 下列函数在何处可导 何处解析 1 2 f zxiy 解 令 2 ux vy 则 u v在z平面上处处可微且2 u x x 0 u y 0 v x 1 v y 要使 uv xy uv yx 须21x 因此在直线 1 2 x 上时 f z可 7 导 在z平面上处处不解析 2 2 f zzz 解 设zxiy 则 222232 f zz zxiyxiyxiy xyxxy 23 i x yy 令 32 uxxy 23 vx yy 则 u v在z平面上处处可微且 22 3 u xy x 2 u xy y 2 v xy x 22 3 v xy y 若使 uv xy uv yx 须使 2222 33xyxy 22xyxy 解得0 xy 故函数 2 f zzz 仅在点 0z 处可导 在复平面上处处不解析 5 写出下列函数的解析区域 并求其导数 1 2 2 f zz 解 由于 2 2 2 2 fzzz 故 f z在复平面内处处解析 2 2 2 1 1 f zz z 解 当1z 时 53 22 24 1 zz fz z 故 f z在复平面内除1z 外处处解析 3 2 2 1 z f z zz 解 当 13 22 zi 时 2 222 243 1 1 zzz fz zzzz f z在复平面内除 13 22 zi 外处处解析 4 azb f z czd c d中至少有一个不为零 解 若0c 则 1 azba azb czddd 在全平面成立 若0c 且 d z c 则 22 azba azbazb cadbc czdczdczd 在全平面内除 8 点 d z c 外处处解析 6 设u及v是解析函数 f z的实部及虚部 且 22 4 uvxy xxyy zxiy 求 f z 解 1 将u v分别对x和y求导 得 22 4 24 uv xxyyxyxy xx 22 4 42 uv xxyyxyxy yy 利用 C R 条件 并对上述两式右边化简得 22 363 uu xxyy xy 22 363 uu xxyy yx 于是得 22 33 u xy x 6 u xy y 2 d3 u uyxyC x y 再对上式关于x求偏导并进行比较 得 222 3 33 u yC xxy x 2 3C xx 于是 3 C xxC 23 3uxyxC 2223 4 3vuxy xxyyxyxC 2232 4 33xy xxyyyx yC 故 23323 3 33 f zxyxiyx yCzC 解 2 将u v分别对x和y求导 得 2222 4 24 363 uv xxyyxyxyxxyy xx 2222 4 24 336 uv xxyyxyyxyxxy yy 对 两式利用 C R 条件有 22 363 uv xxyy xx 22 336 vu yxxy xx 9 解上述两方程有 22 33 u xy x 6 v xy x 而 222 33 63 uv fzixyixyz xx 积分得 3 f zzC 7 已知调和函数2 1 uxy 2 fi 求解析函数 f zuiv 解 1 由 C R 条件的一个等式 2 uv y xy 从而 2 2 d v x yy yF xyF x 而 v F x x 2 1 u x y 再由 C R 条件 得 2 1 F xx 从而 2 1 F xxC 因此 22 1 v x yyxC 于是 22 2 1 1 f zxyCiyx 又 2 fi 解之得0C 故 2 1 f zuivi z 解 2 由题意及 C R 条件有2 u y x 2 1 vu x xy 所以 22 1 2 1 uv fziyi xi z xx 积分得 2 1 f zi zC C 为 复 常 数 又 由 于 2 fi 解 之 得0C 故 2 1 f zuivi z 8 求下列函数的值 1 1 1 i i ln22 ln2 2 44 1 ln 1 arg 1 2 1 n 1 kik iiiik i Li eee 2 4 2 cos ln2 sin ln2 44 k ei 0 1 2 k 2 33 Lni 10 ln 33i arg 33i 2 ln2 3 2 6 ikik 0 1 2 k 3 ln 1 Re i i ln 1 iiarg 1 i ln ii argi2 ln 1 i i Re Re k Ln ee ln 2 i i 2 2 ln 2 2 424 22 Re e Re e kkk 2 4 2 cos ln 2 2 sin ln 2 2 22 Re e k kik 2 4 2 cos ln 2 2 2 e k k 4 2 Im 1 212 1 0 2 2 2 Im Im Im sin2 2 Lnlnikik eeek 0 1 2 k 9 解方程 1 130 z ei 2 sincos2zz 求Imz 解 1 原方程等价于13 z ei 两边取对数 得 13 zLni ln 13 arg 13 2 ln2 2 3 iiikik 0 1 2 k 2 由于sinsin sin coshcos sinhzxiyxyixy coscos cos coshsin sinhzxiyxyixy 则由所给方程得 sincos cosh2 cossin sinh0 xxy xxy sinh0 cossin y xx 或 即0y 或 4 xk 0 1 2 k 当0y 时 sincos2zz 无解 当 4 xk 时 若k为偶数 则cosh2y 即 1 221 2 yyy eee 11 解关于 y e的方程 故ln 21 y 若k为奇数时 则cosh2y 无解 所以 sincos2zz 的解为 ln 21 4 zki 0 1 2 k 故Imln 21 z 10 证明 121212 cos coscossinsinzzzzzz 证明 1122 1212 11 coscossinsin 22 iziziziz zzzzeeee 112212122112 111 224 izizizizi zzi zzi zzi zz eeeeeeee i 121221121212 12 11 cos 42 i zzi zzi zzi zzi zzi zz eeeeeezz 12 复变函数同步练习第三章参考答案复变函数同步练习第三章参考答案 1 1 沿yx 的 积 分 1 2 0 841 d i zzz 1331 33 i 沿 2 yx 的 积 分 1 2 0 841 d i zzz 1331 33 i 提示 解析函数在单连域内的积分与路径无关 只与起 终点有关 1 232 0 81331 841 d 1 2 1 1 333 i zzziiii 2 设 f z在单连域B内解析且不为零 C为B内任一闭路 则 2 4d C fzfz z f z 0 3 设 1Cz 则当1a 时 2d z C e z za 0 4 1 d z z z z 2i 3 d z z z z 6i 5 设 f z在1z 内解析 则 2 1 d z r f z z z 2 0 if 1 d 2 z r f z z zr 0 6 积分 3 3 d 2 z z e z z 2 ie 7 积分 1 2 2 1 d 2 3 z z ez zz 0 2 计算积分d i i Izz 积分路线C为 1 直线段 2 左半圆周1z 解 1 设C zi t 11 t 则zt ddzi t 故 11 10 dd2d i i Izzi ttitti 13 2 设C i t ze 3 22 t 则1z dd i t ziet 故 33 22 22 d d2 i i ti t i Izzietei 3 计算下列沿指定曲线正向的积分 1 sec d C z z 1Cz 解 由于secz在圆域 C 内解析 由柯西积分定理有 sec d0 C z z 2 2 6 cosd C zzz 1Cz 解 由于 2 6 coszz在圆域 C 内解析 由柯西积分定理有 2 6 cosd0 C zzz 3 2 2 d 710 z C ez zz 1Cz 解 由于 2 2 710 z e zz 在在圆域 C 内解析 由柯西积分定理有 2 2 d 710 z C ez zz 0 4 22 d C z z Cz 解 被积函数 22 1 z 有两个奇点z 但在z 在圆 C 内 而z 在圆 C 外 根据柯西积分公式有 22 1 d d1 2 CC z z ziz i zzz 5 22 d 4 27 C z zz 1Czr 解 由于 22 1 4 27 zz 在圆域 C 内解析 故由柯西积分定理有 14 22 d 0 4 27 C z zz 6 21 cos d n C z z z 1Cz n为自然数 解 因为 21 cos n z z 在圆域 C 内有奇点0z 而cosz在1z 内解析 所以由高阶导数公式 有 2 21 00 cos222 d cos cos 2 2 2 n n C zz ziin zzz znn 22 cos 1 2 2 n ii n nn 4 计算积分 2 sin 4 d 1 C z z z 其中 1 1 1 2 Cz 2 1 1 2 Cz 解 1 2 sin 4 1 z z 在 1 1 2 z 内有奇点1z 而 sin 4 1 z z 处处解析 所以由柯西积分公 式有 2 1 sinsin 1 sin 1 444 dd22 1112 CC z zzzz zzii zzz 2 2 sin 4 1 z z 在 1 1 2 z 内有奇点1z 而 sin 4 1 z z 处处解析 所以由柯西积分公 式有 2 1 sinsin 1 sin 1 444 dd22 1112 CC z zzzz zzii zzz 5 求积分 3 1 d 1 2 C Iz zzz 之值 其中C为圆周zr 1 2r 解 1 当01r 时 1 1 2 f z zz 在C及其内部解析 从而由高阶导数公式有 15 2 0 333 0 0 21666 d 2 1 2 1 2 z C z z f zizz Izfzii zzzzz 33 44 ii 2 当12r 时 作圆周 1 1 2 Cz 正向 2 1 1 2 Cz 正向及 3 1 2 2 Cz 从 而有 12 333 111 ddd 1 2 1 2 1 2 CCC Izzz zzzzzzzzz 3 3 1 d 1 2 C z zzz 由 2 知 12 33 111 dd 1 2 1 2 12 CC zzi zzzzzz 又因为 3 1 1 zz 在 3 C内解析 所以 3 33 2 111 d2 1 2 1 12 C z zii zzzzz 16 故 11 0 1212 Iii 6 设 1 C与 2 C为不经过 0 z的两条互不包含也互不相交的闭路 求 12 2 00 1dsin d 2 CC zzz z izzzz 的值 解 1 当 0 z在 1 C的内部时 由柯西积分公式有 012 2 22 0 00 1dsin d1 20 22 z zCC zzz z izz izzzzi 2 当 0 z在 2 C的内部时 由柯西积分公式有 0 12 2 0 00 1dsin d1 02sin sin 22 z z CC zzz z izz izzzzi 3 当 0 z不在 1 C与 2 C的内部时 由柯西积分定理有 12 2 00 1dsin d1 00 0 22 CC zzz z izzzzi 7 设C为正向圆周3z 2 0 0 371 d C zz f zz zz 求 1 fi 的值 解 令 2 371zzz 则 z 在复平面上解析 故 2 0 00 0 371 d 2 C zz f zz izzz 3 3 z z 时 0 0fz 当3z 又因123i 故 1 2 6 1 7 2 136 fiiii 8 设函数 f z在01z 内解析 且沿任何圆周 01Czrr 的积分等于 0 问 17 f z在0z 处是否解析 试举例说明 答案 不一定解析 例如 2 1 f z z 则其在01z 内解析 且沿任何圆周 01Czrr 的积分 2 1 dd0 Czr f zzz z 但显然 f z在0z 处不解析 9 求积分 d nn C z zazb 的值 其中曲线C为正向圆周1z 且1ab 3 能否求出 2 F 解 1 若2z 内 由柯西积分定理得 2 2 21 d0F z z 18 由于 0 2z 故 0 0F z 3 若2z 时 则不能求出 2 2 21 dF z z 故不能求出 2 F 11 计算积分d z C e z z C为圆周2z 正向与圆周1z 组成的 解 当C为圆周2z 正向与圆周1z 负向组成时 根据复合闭路的定义 可知圆 周2z 正向与圆周1z 的负向构成一个复合闭路 根据闭路变形公式得 d0 z C e z z 当C为圆周2z 正向与圆周1z 正向组成时 由于被积函数的奇点0z 位于圆周 2z 正向与圆周1z 内 则 2 d2d4 i zz C z ee zz zz 19 复变函数同步练习第四章参考答案复变函数同步练习第四章参考答案 1 1 设 3 0 cos 1 ln 2 z z n n n ez a z zziz 则收敛半径R 1 2 设幂级数 0 2 n n n a z 在4z 收敛而在22zi 发散 则收敛半径R 2 3 罗朗级数 00 1 1 1 2 2 nn n nn z z 的收敛圆环域为122z 和函数为 2 3 4 z zz 4 幂级数 2 0 1 3 n n n iz 的收敛半径是 1 410 5 设 f z在圆环域 102 D RzzR 内解析 它在D内的罗朗级数展开式为 0 n n n f za zz C为D内围绕 0 z的任一条正向简单光滑闭曲线 则 3 0 d C f z z zz 2 2ia 用罗朗系数来表示 解 由罗朗系数公式 2 3 0 1 d 2 C f z az izz 即可知 3 0 d C f z z zz 2 2ia 2 下列数列 n 是否收敛 如果收敛 求出它们的极限 1 n 1 1 ni ni 解 n 1 1 ni ni 2 22 12 11 nn i nn 设 2 2 1 1 n n a n 2 2 1 n n b n 且lim1 n n a lim0 n n b 根 据数列收敛的充要条件的 n 收敛 2 n 1 1 n i n 20 解 由于limlim 1 lim 1 0 1 nn n nnn i n 根据数列收敛的必要条件知 n 发散 3 求下列各级数的收敛半径 1 n n n z n 1 解 n n n C n 1 1 1 1 limlimlim 1 1 1 n nn nnn n n n C n Re n Cn n 2 2 1 1 1 n n n z n 解 21 1 n n C n 2 1111 limlimlim 1 1 1 1 nnn n n n n n R e C n n 4 求幂级数的收敛半径 收敛圆域及和函数 1 0 1 3 1 n n zn 解 1 n Cn 1 limlim1 1 n nn n Cn R Cn 故收敛圆域为31z 当31z 设 0 1 3 n n f znz 则 1 000 3 d 1 3 d 1 3 d 3 4 nnn nnn z f zznzznzzz z 1 2 0 33 1 3 3 3 4 4 n n zz nzzf zz zz 2 0 1 n n n z n 解 1 n n C n 1 1 limlim1 n nn n Cn R Cn 故收敛圆域为1z 当1z 设 0 1 n n n f zz n 则 00 1 1 nn nn nn fzzz nn 21 1 00 1111 1 1 11 nnnn nn zz zzzz z 0 1 1 dln 11 n n n z zz nz zz 5 幂级数 n n n zC 2 0 能否在0 z收敛而在3 z发散 不能 由 Abel 定理知 如果幂级数 n n n zC 2 0 在点0 z收敛 则在22z 内绝对收敛 而3 z属于收敛圆22z 内的点 故不可能在3 z发散 6 求下列各函数展开成z的幂级数 并指出它们的收敛半径 1 22 2 1 zz 解 因为 222 12 1 1 z zz 故 22 2 1 2 1 1 zz z 又 22 2 00 1 1 1 1 nnn nn zzz z 因为幂级数在收敛圆内可逐项求导 且收敛半径不变 所以 2221 222 001 21 1 1 2 1 1 nnnnnn nnn z zznz zz 1z 其收敛半径为 1 2 2 sin 2 ze z 解 2 0 2 n n z z ez n 且 22 2 sin 2 i zi z ee z i 故 22 2 00 22 22 22 1 1 11 1 1 sin 222 zz nn nnnniziz i zi z eeiziz ezeee iiinn 22 2 22 22 0000 2 2 sin 1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 2 n nnnnnn nn nnnn n i izizii zz inninin 2 2 0 2 sin 4 n n n n z n z 3 2 sin z 解 22212 00 1 cos211 1 1 1 sin 2 2 222 2 2 2 nn nnn nn z zzz nn 212 1 1 2 2 n nn n z n z 4 2 ln 32 zz 解 解 因为 2 23 32 z fz zz 故 2 2 0 23 ln 32 d 32 z f zzzzC 0000 1111111 d ddd 121212 1 2 zzzz CCC 1 00 00 dd 2 n zz n n zzC 1 00 0 dd 2 n zz n n zzC 111 11 000 11 1 12121 nnn nn zzz CC nnn 或 1 1 1 2 n n z C n 而在0z 处 0 ln2f 故ln2C 所以 1 2 1 0 1 ln 32 ln2 1 21 n n z f zzz n 或 1 1 1 ln2 2 n n z n 23 7 求下列各函数在指定 0 z处的泰勒展开式 并指出它们的收敛半径 1 2 z z 0 1z 解 0 22121 111 1 1 2 1 3333 1 3 n n n zz z zz 13z 2 2 32 z zz 0 2z 解 2 21211111 22 3221 2 4 2 323 11 43 z zz zzzzzz 00 11111212 1 1 22 232433 11 43 nn nn nn zz zz 211211 000 1111 1 2 1 2 1 2 2323 nnnnnn nnnn nnn zzz 23z 3 2 1 z 0 1z 解 2 0 1111 1 1 11 1 n n z zzzz 1 01 1 1 nn nn zn z 11z 4 1 za zb 0 1ab z 解 1111111 1 1 1 1 za zbab zazbabzazb 24 00 1111111111 11 111111 11 11 nn nn zz zz ab abab aabb ab 11 0 11 1 1 1 n nn n z ab bab a 1min 1 1 zab 8 将下列各函数在指定的圆环域内展成罗朗级数 1 2 1 1 2 zz 12z 解 2 111321121 1 2 2105552 ii zzziziz 1132111121 2105255 111 2 ii iiz zz zz 000 1321112 1 21052552 nnn n nnn iiz ii zzzz 111 000 1321121 2105552 n nn nnn nnn i iiiz zz 12z 2 3 sin z z 0z 解 21 220 33 0 1 sin 1 21 21 n n n