（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.5 独立性及二项分布教师用书 理 苏教版.doc

第十二章 概率、随机变量及其分布 12.5 独立性及二项分布教师用书 理 苏教版1条件概率及其性质(1)对于两个事件a和b，在已知事件b发生的条件下，事件a发生的概率叫做条件概率，用符号p(a|b)来表示，其公式为p(a|b)(p(b)0)在古典概型中，若用n(b)表示事件b中基本事件的个数，则p(a|b).(2)条件概率具有的性质0p(b|a)1；如果b和c是两个互斥事件，则p(bc|a)p(b|a)p(c|a)2相互独立事件(1)设a，b为两个事件，若p(ab)p(a)p(b)，则称事件a与事件b相互独立(2)若a与b相互独立，则p(b|a)p(b)，p(ab)p(a)p(b|a)p(a)p(b)(3)若a与b相互独立，则a与，与b，与也都相互独立(4)若p(ab)p(a)p(b)，则a与b相互独立3二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有_两_种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)在n次独立重复试验中，用x表示事件a发生的次数，设每次试验中事件a发生的概率为p，则p(xk)cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量x服从二项分布，记为xb(n，p)，并称p为成功概率【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率()(2)相互独立事件就是互斥事件()(3)对于任意两个事件，公式p(ab)p(a)p(b)都成立()(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n二项展开式的通项公式，其中ap，b1p.()(5)p(b|a)表示在事件a发生的条件下，事件b发生的概率，p(ab)表示事件a，b同时发生的概率()1袋中有3红5黑8个大小、形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为_答案解析第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为.2(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是_答案解析所求概率pc()1(1)31.3(2015课标全国改编)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为_答案0.648解析3次投篮投中2次的概率为p(k2)c0.62(10.6)，投中3次的概率为p(k3)0.63，所以通过测试的概率为p(k2)p(k3)c0.62(10.6)0.630.648.4(2016镇江模拟)口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列an，an 如果sn为数列an的前n项和，那么s73的概率为_(用式子作答)答案c25解析由s73知，在前7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为，摸取白球的概率为，则s73的概率为c25.5(教材改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为_答案解析记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件a，“乙去北京旅游”为事件b，又p( )p()p()1p(a)1p(b)(1)(1)，“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”，故所求概率为1p( )1.题型一条件概率例1(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件a为“取到的2个数之和为偶数”，事件b为“取到的2个数均为偶数”，则p(b|a)_.(2)如图所示，efgh是以o为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用a表示事件“豆子落在正方形efgh内”，b表示事件“豆子落在扇形ohe(阴影部分)内”，则p(b|a)_.答案(1)(2)解析(1)p(a)，p(ab)，p(b|a).(2)ab表示事件“豆子落在oeh内”，p(b|a).引申探究1若将本例(1)中的事件b：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？解p(a)，p(b)，又ab，则p(ab)p(b)，所以p(b|a).2在本例(2)的条件下，求p(a|b)解由题意知，eoh90，故p(b)，又p(ab)，p(a|b).思维升华条件概率的求法(1)定义法：先求p(a)和p(ab)，再由p(b|a)求p(b|a)(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件a包含的基本事件数n(a)，再求事件ab所包含的基本事件数n(ab)，得p(b|a).(2016无锡模拟)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为_答案解析方法一设事件a为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件b为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则p(a)，p(ab)，则所求概率为p(b|a).方法二第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为.题型二相互独立事件的概率例2设某校新、老校区之间开车单程所需时间为t，t只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：t(分钟)25303540频数(次)20304010 (1)求t的概率分布； (2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率解(1)由统计结果可得t的频率分布为t(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得t的概率分布为t25303540p0.20.30.40.1(2)设t1，t2分别表示往、返所需时间，t1，t2的取值相互独立，且与t的概率分布相同，设事件a表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件a对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”方法一p(a)p(t1t270)p(t125，t245)p(t130，t240)p(t135，t235)p(t140，t230)0.210.310.40.90.10.50.91.方法二p()p(t1t270)p(t135，t240)p(t140，t235)p(t140，t240)0.40.10.10.40.10.10.09，故p(a)1p()0.91.思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算(2016宿迁模拟)为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度不超过22千米的地铁票价如下表：乘坐里程x(单位：km)0x66x1212p(x5)3已知a，b是两个相互独立事件，p(a)，p(b)分别表示它们发生的概率，则1p(a)p(b)是下列哪个事件的概率_事件a，b同时发生；事件a，b至少有一个发生；事件a，b至多有一个发生；事件a，b都不发生答案解析p(a)p(b)是指a，b同时发生的概率，1p(a)p(b)是a，b不同时发生的概率，即事件a，b至多有一个发生的概率4甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为_答案解析设“甲命中目标”为事件a，“乙命中目标”为事件b，“丙命中目标”为事件c，则击中目标表示事件a，b，c中至少有一个发生又p( )p()p()p()1p(a)1p(b)1p(c).故目标被击中的概率p1p( ).5(2017南通质检)设随机变量x服从二项分布xb(5，)，则函数f(x)x24xx存在零点的概率是_答案解析函数f(x)x24xx存在零点，164x0，x4.x服从xb(5，)，p(x4)1p(x5)1.6(2016无锡模拟)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人，且各人之间互不影响，有下列结论：3位病人都被治愈的概率为0.93；3人中的甲被治愈的概率为0.9；3人中恰有2人被治愈的概率是20.920.1；3人中恰好有2人未被治愈的概率是30.90.12；3人中恰好有2人被治愈，且甲被治愈的概率是0.920.1.其中正确结论的序号是_答案7设随机变量xb(2，p)，随机变量yb(3，p)，若p(x1)，则p(y1)_.答案解析xb(2，p)，p(x1)1p(x0)1c(1p)2，解得p.又yb(3，p)，p(y1)1p(y0)1c(1p)3.8如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_答案解析灯泡甲亮满足的条件是a，c两个开关都开，b开关必须断开，否则短路设“a闭合”为事件a，“b闭合”为事件b，“c闭合”为事件c，则甲灯亮应为事件ac，且a，b，c之间彼此独立，且p(a)p(b)p(c)，由独立事件概率公式知p(ac)p(a)p()p(c).9(2016无锡模拟)高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙二人相邻的概率是_答案解析设“甲、乙二人相邻”为事件a，“甲、丙二人相邻”为事件b，则所求概率为p(b|a)，由于p(b|a)，而p(a)，ab表示事件“甲与乙、丙都相邻”，故p(ab)，于是p(b|a).10(2016苏州质检)把一枚硬币任意抛掷三次，事件a“至少一次出现反面”，事件b“恰有一次出现正面”，则p(b|a)_.答案解析由题意知，p(ab)，p(a)1，所以p(b|a).11现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用x，y分别表示这4个人中去参加甲，乙游戏的人数，记|xy|，求随机变量的概率分布解依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有k人去参加甲游戏”为事件ak(k0,1,2,3,4)则p(ak)ck4k.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为p(a2)c22.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件b，则ba3a4.由于a3与a4互斥，故p(b)p(a3)p(a4)c3c4.所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)的所有可能取值为0,2,4.由于a1与a3互斥，a0与a4互斥，故p(0)p(a2)，p(2)p(a1)p(a3)，p(4)p(a0)p(a4).所以的概率分布是024p12.在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设x表示在这块地上种植1季此作物的利润，求x的概率分布；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率解(1)设a表示事件“作物产量为300 kg”，b表示事件“作物市场价格为6 元/kg”，由题设知p(a)0.5，p(b)0.4，因为利润产量市场价格成本所以x所有可能的取值为500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,30061 000800.p(x4 000)p()p()(10.5)(10.4)0.3，p(x2 000)p()p(b)p(a)p()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，p(x800)p(a)p(b)0.50.40.2，故x的概率分布为x4 0002 000800p0.30.50.2(2)设ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i1,2,3)，由题意知c1，c2，c3相互独立，由(1)知，p(ci)p(x4 000)p(x2 000)0.30.50.8(i1,2,3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为p(c1c2c3)p(c1)p(c2)p(c3)0.830.512；3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为p(1c2c3)p(c12c3)p(c1c23)30.82(10.8)0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.5120.3840.896.*13.李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率解(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场