（江苏专用）2018年高考数学总复习 专题9.2 圆与点、线、圆的位置关系试题（含解析）.doc

专题2 圆与点、直线、圆的位置关系 【三年高考】1【2016高考江苏】如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）求圆的标准方程，关键是确定圆心与半径：根据直线与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径（2）本题实质已知弦长求直线方程，因此应根据垂径定理确定等量关系，求直线方程（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，解对应参数取值范围 (2)因为直线l|oa，所以直线l的斜率为.设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心m到直线l的距离 因为 而 所以，解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设 因为,所以 因为点q在圆m上，所以 .将代入，得.于是点既在圆m上，又在圆上，从而圆与圆有公共点，所以 解得.因此，实数t的取值范围是. 考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆位置关系.2【2013江苏，理17】如图，在平面直角坐标系xoy中，点a(0,3)，直线l：y2x4.设圆c的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心c也在直线yx1上，过点a作圆c的切线，求切线的方程；(2)若圆c上存在点m，使ma2mo，求圆心c的横坐标a的取值范围.【答案】(1) y3或3x4y120.；(2) 【解析】解：(1)由题设，圆心c是直线y2x4和yx1的交点，解得点c(3,2)，于是切线的斜率必存在.设过a(0,3)的圆c的切线方程为ykx3，由题意，1，解得k0或，故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)因为圆心在直线y2x4上，所以圆c的方程为(xa)2y2(a2)21.设点m(x，y)，因为ma2mo，所以，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点m在以d(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点m(x，y)在圆c上，所以圆c与圆d有公共点，则|21|cd21，即.由5a212a80，得ar；由5a212a0，得0a.所以点c的横坐标a的取值范围为.3【2016高考山东文数改编】已知圆m：截直线所得线段的长度是，则圆m与圆n：的位置关系是【答案】相交【解析】考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.4【2016高考新课标文数】已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则_.【答案】4【解析】试题分析：由，得，代入圆的方程，并整理，得，解得，所以，所以又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，考点：直线与圆的位置关系【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决5【2016高考新课标1文数】设直线y=x+2a与圆c：x2+y2-2ay-2=0相交于a,b两点,若,则圆c的面积为 .【答案】考点：直线与圆【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r、弦长l、圆心到弦的距离d之间的关系：在求圆的方程时常常用到.6【2015高考重庆，理8】已知直线l：x+ay-1=0（ar）是圆c：的对称轴.过点a（-4，a）作圆c的一条切线，切点为b，则|ab|=_.【答案】6【解析】圆标准方程为，圆心为，半径为，因此，即，.7.【2015高考广东，理5】平行于直线且与圆相切的直线的方程是_. 【答案】或【解析】依题可设所求切线方程为，则有，解得，所以所求切线的直线方程为或8.【2015高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为_.【答案】或【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 ，设反射光线所在直线的斜率为 ，则反身光线所在直线方程为： ，即：. 又因为光线与圆相切， 所以， ,整理： ，解得： ，或9.【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由得， 圆的圆心坐标为；（2）设， 点为弦中点即， 即， 线段的中点的轨迹的方程为； （3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，又直线：过定点，ldxyocef当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点 【2018年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，对圆与点、直线、圆的位置关系这部分的考查，主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会与其他圆锥曲线部分结合起来，综合考察直线和圆是两个基本图形，对它们的研究，既可以从几何的角度来探索它们的位置关系，又可以从方程角度来解决一些度量问题，体现用代数方法研究几何问题的思想，同时又是研究圆锥曲线的基础，所以对这部分内容的复习要倍加关注对直线与圆位置关系的考查一般会涉及弦长、距离的的计算和圆的切线问题和直线与圆位置关系的判定，还可能会考查轨迹问题和与圆有关的最值问题，其中渗透数形结合思想和转化与化归思想的运用圆与圆位置关系的考查，属于简单题，主要涉及位置关系的判定和长度问题预测2018年直线与圆的位置关系可能涉及，新课标卷可能会出一道选择题 【2018年高考考点定位】高考对圆与直线、圆位置关系的考查有三种主要形式：一是考查直线与圆的位置关系；二是考查圆的切线问题；三是与圆有关的弦长问题；四是考查圆与圆的位置关系；五是考查与圆有关的最值问题；六是考查与圆有关的轨迹问题，注意几何法在解题中的重大作用【考点1】点、直线、圆与圆的位置关系【备考知识梳理】1直线与圆的位置关系有三种：（1）若，；（2）；（3）还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心c到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=r0；相交d0；相离dr0)，若圆c上至少存在一点p，使得apb=90，则m的取值范围是_【答案】3，7；【解析】由于a、b两点在以原点为圆心，m为半径的圆上，若圆c上至少存在一点p，使得apb=90，则两圆有公共点，设圆心距为d，d=5，则d-2md+2，则3m7，则m的取值范围是3,7.4【河北省衡水中学2017届高三高考猜题卷（一）（文）】如果圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离2的点，则实数a的取值范围是_【答案】-3,-11,3【解析】圆心(a,a)到原点的距离为2|a| ，圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离2的点，则22|a|32,1|a|3 ，则-3a-1 或1a3.5【山东省淄博市2017届高三第二次模拟考试（理）】过点(1,1)的直线l与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于a，b两点，当|ab|=4时，直线l的方程为_【答案】x+2y-3=0【点睛】直线与圆相交的弦长问题，我们常用垂径定理解决，而不用弦长公式，这样可以简化运算。6【湖南省长沙市一中2017届高三模拟（二）（文）】在平面直角坐标系中，已知圆：，点，若圆上存在点，满足，则实数的取值范围是_【答案】0,3【解析】设m(x,y),则,，|ma|=2|mo|,x2+(y+3)2=4(x2+y2)，整理得：x2+(y-1)2=4，m的轨迹是以n(0,1)为圆心，以2为半径的圆n，又m在圆c上，圆c与圆n有公共点，1|cn|3，即13，解得0a3.实数的取值范围是0,3.7【四川省师范大学附中2017届高三下学期5月模拟（理）】已知圆，圆上的点到直线的最短距离为，若点在直线位于第一象限的部分，则的最小值为_【答案】8【福建省宁德市2017届高三第三次质量检查（文）】已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则_【答案】【解析】如图，圆的圆心为(0,0)，半径，因为弦，所以直线经过圆心，所以.直线的方程为.所以直线的倾斜角.在中， .9【黑龙江哈尔滨市第六中学2017届高三下学期第三次模拟（文）】在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，则的取值范围为_【答案】【解析】圆心（1,1）半径为1，要使ab的长度最小，则最小，即最小，即pc最小，由点到直线的距离公式可得： ，则=60，=120，即ab=，当p在无限远取值时， 趋近180，此时ab趋近直径2，故的取值范围为点睛：利用直线和圆的位置关系，求出两个极端位置的ab的值，是解题关键10【河北省保定市2017届高三二模文】在平面直角坐标系xoy中，设圆x2+y2-4x=0的圆心为q.（1）求过点p(0,-4)且与圆q相切的直线的方程；（2）若过点p(0,-4)且斜率为k的直线与圆q相交于不同的两点a，b，以oa、ob为邻边作平行四边形oacb，问是否存在常数k，使得平行四边形oacb为矩形？请说明理由.【答案】（1）y=34x-4，x=0（2）k=2【解析】试题分析：（1）设切线方程为：y=kx-4，由圆心到直线的距离等于半径，可解得k=34。（2）设直线方程为：y=kx-4与圆组方程组，由韦达定理与弦长公式，求得|oc|2=801+k2，|ab|=44k-31+k2，由矩形的对角线相等|oc=|ab|，可解得k=2，注意要检验判别式。试题解析：（1）由题意知，圆心q坐标为(2，0)，半径为2，设切线方程为：y=kx-4，所以，由|2k-4|1+k2=2解得k=34所以，所求的切线方程为y=34x-4，x=0（2）假设存在满足条件的实数k，则设a(x1,y1)，b(x2,y2)，联立y=kx-4x2+y2-4x=0得(1+k2)x2-(8k+4)x +16=0=16(2k+1)2 -64(1+k2)0，k34（或由（1）知k34）x1+x2=8k+41+k2,且y1+y2=k(x1+x2)-8，x1+x2=8k+41+k2,且y1+y2=k(x1+x2) -8=4k-81+k2，oc=oa+ob =(x1+x2,y1+y2)，|oc|2=(x1+x2）2 +（y1+y2)2=801+k2，又|ab|=24-(2k-4)21+k2 =44k-31+k2要使oacb矩形，则|oc|2=801+k2= |ab|2=16(4k-31+k2)所以k=2存在常数k=2，使得平行四边形oacb为矩形11【黑龙江省大庆第一中学2017届高三考前冲刺模拟（文）】已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方（）求圆的标准方程；（）过点的直线与圆交于两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（）; （）当点的坐标为时，能使得成立.【解析】试题分析：（）设圆心，由圆与直线相切，求出 ，得到圆c的标准方程；（）当直线轴，在轴正半轴上任一点，都可使轴平分； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立直线与圆的方程，消去，得到一个关于的二次方程，由韦达定理，求出 ，因为,求出的值.试题解析：（）设圆心，则（舍去）所以圆的标准方程为 （）当直线轴，在轴正半轴上任一点，都可使轴平分； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立圆的方程和直线的方程得， 故，若轴平分，则.当点的坐标为时，能使得成立点睛：本题主要考查了求圆的方程、直线与圆位置关系等，属于中档题.考查了学生的计算能力.12【江西省抚州市临川区第一中学2017届高三4月模拟（理）】已知动圆与圆外切，与圆内切（1）试求动圆圆心的轨迹方程；（2）过定点且斜率为的直线与（1）中轨迹交于不同的两点，试判断在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由【答案】（1）;（2）【解析】【试题分析】（）先运用两圆的位置关系建立等式，再运用椭圆的定义进行分析探求；（）建立直线的方程与椭圆方程联立，借助坐标之间的关系分析探求：（1）由得，由得，设动圆的半径为，两圆的圆心分别为，则，根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以为焦点的椭圆， 动圆圆的轨迹方程为（2）存在，直线的方程为，设， 的中点为假设存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形，则，由，得， ，即，当时， ，；当时， ，因此，存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形，且实数的取值范围为点睛：本题旨在考查椭圆的定义及几何性质，同时考查直线与椭圆的位置关系等知识的综合运用。求解解答本题的第一问时，先运用两圆的位置关系建立等式，然后在运用椭圆的定义进行分析可知动点的轨迹是椭圆，进而求得其标准方程使得问题获解；求解第二问时先建立直线的方程为，再与椭圆方程联立消去未知数，借助坐标之间的关系分析探求得到，及， ，再运用得到，即，最后解出，进而分类运用基本不等式探求出其范围使得问题获解。13【河南省洛阳市2017届高三第三次统考（5月） （文）】已知椭圆的离心率为，右焦点为，上顶点为，且的面积为（是坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的一点，过的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限，切点为，证明： 为定值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）离心率， ，和得到 ，求解方程；（2）设，根据两点间距离求,再根据弦长公式求，利用点在椭圆上化简得到定值.试题解析：解：（1）设椭圆的半焦距为，由已知得 .椭圆的方程为.（2）以短轴为直径的圆的方程为，.设，则. .又与圆相切于， .14【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】已知圆o：x2y21，圆m：(xa)2(ya4)21若圆m上存在点p，过点p作圆o的两条切线，切点为a，b，使得apb60，则实数a的取值范围为【答案】【解析】由题意得：，因此由两圆有交点得：15【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】在平面直角坐标系xoy中，圆m：(xa)2(ya3)21(a0)，点n为圆m上任意一点若以n为圆心，on为半径的圆与圆m至多有一个公共点，则a的最小值为 【答案】3【解析】由题意得圆n与圆m内切或内含，即，又，所以，因此a的最小值为316【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】若直线与圆始终有公共点，则实数的取值范围是 【答案】【解析】因为，所以由题意得：17【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】已知经过点的两个圆都与直线，相切，则这两圆的圆心距等于 .【答案】【解析】设，则，因为过点，所以，同理又，同理，即为方程两个根，因此18【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】在平面直角坐标系中，圆，圆，若圆 上存在点满足：过点向圆作两条切线切点为，的面积为1，则正数的取值范围是 .【答案】19. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】已知线段的长为，动点满足（为常数），且点总不在以点为圆心，为半径的圆内，则负数的最大值是 .【答案】【解析】设 ，则由得，因此，解得，即负数的最大值是20【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为c，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆c相切的小道ab问：a，b两点应选在何处可使得小道ab最短？【答案】当a，b两点离道路的交点都为2 (百米)时，小道ab最短【解析】如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xoy设a(a，0)，b(0，b)(0a1，0b1)，则直线ab方程为，即bxayab0因为ab与圆c相切，所以化简得 ab2(ab)20，即ab2(ab)2因此因为0a1，0b1，所以0ab2，于是ab2(ab)又ab2(ab)2，解得0ab42，或ab42因为0ab2，所以0ab42， 所以ab2(ab) 2(42)22，当且仅当ab2-时取等号，所以ab最小值为22，此时ab2-答：当a，b两点离道路的交点都为2 (百米)时，小道ab最短 21【南通市2016届高三下学期第三次调研考试】某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形为中心在圆心的矩形，现计划将矩形区域设计为可推拉的窗口.（1）若窗口为正方形，且面积大于（木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；（2）若四根木条总长为，求窗口面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）设一根木条长为，则正方形的边长为因为，所以，即又因为四根木条将圆分成9个区域，所以所以;（2）（方法一）设所在木条长为，则所在木条长为因为，所以设，令，得，或（舍去），或（舍去）列表如下：+0-极大值所以当时，即22【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】如图，地图上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为c，与地面的接触点为g.与圆形标志物在同一平面内的地面上点p处有一个观测点，且pg=50m.在观测点正前方1