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基于傅里叶变换的精确频率测量算法 牟龙华 邢锦磊 同济大学电子与信息工程学院 上海市200092 摘要 传统的傅里叶频率测量算法 通过傅里叶算法求出相邻2个周期的相位 采用相位差对采样 频率进行修正和迭代 计算量大而精度差 文中根据严格推导得到傅里叶算法计算值的准确数学 形式 通过对相位差的三角函数进行分解展开 代入傅里叶算法计算值 即可在不需要计算相位的 情况下得到相邻2个周期相位差的准确值 从而得到真实的信号频率 仿真分析结果表明 该算法 精度高 计算量小 实现简单 完全适合于微机保护测控类装置的实际应用 关键词 频率测量 傅里叶变换 相位差 中图分类号 TM935 收稿日期 2008205219 修回日期 2008209208 0 引言 电力系统交流采样普遍采用傅里叶算法 要求 采样频率和原始信号严格同步 即采样频率是基波 频率的整数倍 否则会产生频谱泄漏 不能正确反映 被测信号的各种参数 引起傅里叶算法计算误差 为了减少傅里叶变换的频谱泄漏 提高傅里叶算法 的计算精度 频率跟踪技术成为现代微机保护装置 必不可少的重要组成部分 目前 频率跟踪测量方法主要可分为硬件法和 软件法2类 123 硬件法通过滤波整形电路和锁相 环实现 需要一定的成本 并且实现较复杂 不适应 微机保护装置微型化的发展方向 软件测频方案无 需额外硬件电路 实现方式灵活 因而得到了广泛的 重视 常用的软件跟踪测频算法有傅里叶算法 最 小二乘法 卡尔曼滤波 小波分析法等多种算法 429 传统的傅里叶频率测量算法 通过计算得到相邻 2个周期的相位 10212 再用得到的频率偏差值进行 迭代修正 需多次迭代运算 计算量大且测量精度得 不到保证 本文在对傅里叶算法进行分析的基础上 介绍 了一种精确的傅里叶频率测量算法 该算法能在电 力系统频率偏离额定值的情况下自动跟踪频率变化 测得其精确值 1 基本原理 1 1 信号中仅含基波分量 假设输入电压或电流信号是理想的正弦波信 号 即仅含有基波分量 令基波的理想频率为f0 50 Hz 对应的理想角频率为 0 周期为T0 由于 电力系统的实际频率通常在50 Hz上下波动 故可 以设基波的实际频率为f f0 f 对应的实际角 频率为 周期为T f表示频差 输入信号可以 表示为 x t Umsin 2 f0t 2 f t 0 1 式中 Um 和 0分别为输入正弦信号的幅值和初相 角 由于 在 0附近波动 所以在实际角频率 未 知的情况下 通常采用理想角频率 0近似计算 得 近似傅里叶变换为 a 2 T T 0 x t sin tdt 2 T0 T0 0 x t sin 0tdt b 2 T T 0 x t cos tdt 2 T0 T0 0 x t cos 0tdt 2 将式 1 代入式 2 并进一步展开 得展开后的 正弦项和余弦项分别为 a 2 T0 T0 0 Umsin 2 f0t 2 f t 0 sin 2 f0tdt 2Umf0 T0 f 2f0 f cos f T0 0 sin f T0 3 b 2 T0 T0 0 Umsin 2 f0t 2 f t 0 cos 2 f0tdt 2Um f 0 f T0 f 2f0 f sin f T0 0 sin f T0 4 相位 的表达式如下 arctan b a arctan f0 f f0 sin f T0 0 cos f T0 0 5 76 第32卷 第23期 2008年12月10日 Vol 32 No 23 Dec 10 2008 进一步考虑在第2个采样周期进行的近似傅里 叶变换 则有 a 2 T 2T T x t sin tdt 2 T0 2T0 T0 x t sin 0tdt b 2 T 2T T x t cos tdt 2 T0 2T0 T0 x t cos 0tdt 6 同理 可以得到式 6 展开后的正弦项和余弦项 分别为 a 2Umf0 T0 f 2f0 f cos 3 f T0 0 sin f T0 7 b 2Um f 0 f T0 f 2f0 f sin 3 f T0 0 sin f T0 8 根据第2个采样周期得到的相位 为 arctan b a arctan f0 f f0 sin 3 f T0 0 cos 3 f T0 0 9 分别考察式 3 与式 7 式 4 与式 8 可以得 到 A a a cos f T0 0 cos 3 f T0 0 10 B b b sin f T0 0 sin 3 f T0 0 11 对式 10 和式 11 进一步展开分析 得 A 1 cos 2 f T0 sin 2 f T0 sin f T0 0 cos f T0 0 12 B 1 cos 2 f T0 sin 2 f T0 cos f T0 0 sin f T0 0 13 消去式 12 与式 13 中的 sin f T0 0 cos f T0 0 项 化简得 cos 2 f T0 AB 1 A B ab a b ab a b 14 由此得到傅里叶频率测量算法的基本公式如 下 f 1 2 T0 arccos ab a b ab a b f f0 f 15 在实际应用中 一般采用C语言作为开发工 具 可以直接采用C语言库函数中提供的反余弦函 数 具有相当高的计算精度 为减少计算量 也可采 用如下的近似计算方法 13 arccosx 1 998 26X 1 2 0 641 06X 3 2 0 289 96X 5 2 0 076 5X 7 2 式中 X 1 x 1 x 采用该式计算时 其计算误差值约为10 4 1 2 符号选取 考虑到余弦函数是偶函数 故式 15 中 f取 正还是取负将取决于角度2 f T0的符号 分析 式 3 得 a 2Umf0 T0 2f0 f sin f T0 f cos f T0 0 令 f的变化范围为 12 5 Hz 12 5 Hz 该 区间已足够满足实际的测频应用要求 则2 f T0 的取值范围为 2 2 且满足 2Umf0 T0 2f0 f 0 sin f T0 f 0 16 因此 a的符号完全取决于 cos f T0 0 同理 b的符号取决于 sin f T0 0 a 的符号取 决 于cos 3 f T0 0 b 的 符 号 取 决 于 sin 3 f T0 0 为此 可首先根据a和b的符 号 判断 f T0 0所在象限 记为P 然后 根据 a 和b 的符号 判断3 f T0 0所在象限 记为Q 显然P和Q将在相同或相邻象限 若 f T0 0和3 f T0 0这2个角度在相 同象限 即P Q 显然可以通过三角函数的增减特 性判断角度2 f T0的符号 具体判据如下 1 P和Q为第1或第2象限 余弦函数满足递 减特性 若a a 则2 f T0为正 反之为负 2 P和Q为第3或第4象限 余弦函数满足递 增特性 若a a 则2 f T0为负 反之为正 若这2个角度在不同象限 具体判据如下 1 若象限P与象限Q相邻 且Q P 1或Q P 3 则2 f T0为正 2 若象限P与象限Q相邻 且Q P 1或Q P 3 则2 f T0为负 由于式 15 并不需要计算相邻2个周期的相位 以得到准确的相位差值 故无需根据频率偏差值对 算法进行迭代修正 即可求得系统的真实频率f 显 然优于根据相角变化值求频率的方法 1 3 信号中含谐波分量 若傅里叶算法以额定频率50 Hz为基础 采样 频率固定为N 50 Hz N为每周期采样点数 当 频率发生偏移时 谐波频率必然也发生偏移 在此情 况下傅里叶算法不能很好地抑制谐波分量 从而可 能导致测频误差的明显增大 1 86 2008 32 23 若傅里叶算法基于系统真实频率 采样频率以 上一次计算频率为基础进行自适应调整 采样间隔 得到修正 则可得到更佳的滤波效果 减少傅里叶变 换的误差 实现采样频率自适应调整的测频流程如 图1所示 通过循环迭代计算 以软件方法实现频率 跟踪 锁相 其中 为迭代计算中设定的频率差门 槛值 由式 2 式 6 可知 迭代1次需2个周期的 采样数据 图1 测频流程 Fig 1 Flowchart of frequency measurement 迭代计算的关键是迭代次数与迭代算法的收敛 性 考虑到电网频率偏移通常不会很大 为加快迭代 计算速度 推荐将迭代频率初值设为额定值50 Hz 由于初始基准频率选为50 Hz 刚开始采样计算时 若实际频率偏差较大则存在误差 但后续循环迭代 计算可很快减小此误差 一般迭代2次后即可满足 精度要求 随着迭代次数的增加 测频的精度也将 大大提高 大量仿真计算发现 以上迭代算法不存 在发散现象 并且迭代次数在3次以上时 频率精度 的提高将十分有限 因此实际应用时可以考虑将迭 代次数限制在4次 5次 2 算法仿真与分析 为验证本文所提出的算法的测频效果 对不同 输入信号情况下算法的性能进行了仿真 式 2 和 式 6 的积分采用梯形法近似计算 各仿真中迭代频 率初值设为50 Hz 每周期采样点数N 24 当测 量频率与上次测量频率之差 0 01 Hz 则停止迭 代 并将该频率作为真实值 若迭代次数大于迭代上 限 则视最后一个测量频率为真实值 2 1 不含谐波时的情况 当输入信号为纯正弦波时 设信号为 x t sin 2 f t 其频率变化范围为38 Hz 62 Hz 初 相角随机选择 利用式 15 进行仿真计算 6 时 频率测量结果如表1所示 表1 不含谐波时频率测量算法仿真结果 Table 1 Simulation results of frequency measurement for a signal without harmonics 实际频率 Hz 测量频率 Hz 绝对误差 Hz 相对误差 计算次数 6262 000 10 000 10 000 161 5857 999 90 000 10 000 171 5555 000 0001 5151 000 0001 5050 000 0001 4949 000 0001 4545 000 0001 4242 000 10 000 10 000 251 3838 000 10 000 10 000 261 表1数据表明 对于纯正弦信号 测频精度可达 到0 000 1 Hz 算法的数据窗为2个基波周期 能够 满足频率跟踪的要求 2 2 含谐波时的情况 为考察含谐波时算法的性能 设输入信号为 x t sin 2 f t 1 0 05sin 2 2 f t 2 0 2sin 3 2 f t 3 0 1 其频率变化范围为38 Hz 62 Hz 初相角随机选 择 1 6 2 3 3 2时 频率测量结果如 表2所示 表2 含有谐波时频率测量算法仿真结果 Table 2 Simulation results of frequency measurement for a signal with harmonics 实际频率 Hz 1次计算测 量频率 Hz 2次计算测 量频率 Hz 3次计算测 量频率 Hz 3次计算后 绝对误差 Hz 6261 922 962 000 162 000 00 5855 244 858 015 058 000 00 5554 568 655 002 855 000 00 5151 012 951 000 051 000 00 5050 000 050 000 050 000 00 4949 022 449 000 049 000 00 4545 435 945 004 445 000 00 4040 429 540 004 840 000 00 3838 031 338 001 238 000 00 可见 在含谐波的情况下 只需3次迭代计算 即可实现对真实频率的精确跟踪 算法本身不存在 误差 2 3 含谐波与噪声时的情况 为进一步考察含谐波与噪声条件下算法的性 能 设输入信号为 x t sin 2 f t 1 0 05sin 2 2 f t 2 0 2sin 3 2 f t 3 0 1 其中 为 40 dB的零均值高斯白噪声 测量频率 变化范围为45 Hz 55 Hz 初相角随机选择 1 96 研制与开发 牟龙华 等 基于傅里叶变换的精确频率测量算法 6 2 3 3 2时 频率测量结果如表3所 示 表3 含有谐波及噪声时频率测量算法仿真结果 Table 3 Simulation results of frequency measurement for a signal with harmonics and noise 实际频率 Hz 测量频率 Hz 绝对误差 Hz 相对误差 计算次数 5555 008 40 008 40 015 274 5352 999 90 000 10 000 193 5150 992 10 007 90 015 493 5050 000 0001 4949 006 50 006 50 013 272 4747 007 20 007 20 015 323 4544 992 50 007 50 016 675 显然 即使在含谐波与噪声的情况下 测频误差 的绝对值仍低于0 01 Hz 而迭代次数在5次以内 算法仍具有较高的精度 考虑到实际电力系统中的 噪声通常在50 dB 70 dB之间 12 故此时测频算 法受到的影响将更小 3 结语 本文提出的基于傅里叶算法的测频新方法 无 需计算相邻2个周期相位的准确值 即可得到真实 的信号频率 该算法原理简单 不存在理论误差 迭 代次数少 传统的傅里叶频率测量算法只能适用于 实际频率在50 Hz附近小范围内波动的场合 而本 文提出的算法在较大频率波动范围内皆可保证精确 的频率测量 且即使存在谐波与噪声成分 仍可达到 很高的测量精度 实际应用中 仅一次计算就可以 达到相当高的测量精度 并且该算法的微机实现简 单 完全适用于电网频率的微机实时测量要求 参 考 文 献 1 李一泉 何奔腾 一种基于傅氏算法的高精度测频方法 中国电 机工程学报 2006 26 2 78281 LIYiquan HE Benteng Ahigh2accuracyalgorithm for measuring frequency of power system based on Fourier filter Proceedings of the CSEE 2006 26 2 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Accuratemeasurementofpowersystem frequency using a digital signal processing technique IEEE Trans on Instrumentation and Measurement 1999 48 1 752 81 13 姜路 李耀华 齐智平 等 伺服系统中复杂函数的处理 电工电 能新技术 2000 19 1 125 JIANG Lu LI Yaohua QI Zhiping et al Processing of complex functions in servo motor control system Advanced Technology ofElectricalEngineeringandEnergy 2000 19 1 125 牟龙华 1963 男 通信作者 教授 博士生导师 主要 研究方向 电力系统微机保护 智能电器与电能质量 E2mail lhmu vip 邢锦磊 1983 男 硕士研究生 主要研究方向 电力 系统微机保护与嵌入式系统开发 下转第94页 continued on page 94 07 2008 32 23 An OPC Technology Based SCADA System Design for Wind Power Plants LU Xiaojun1 DON G Dalong2 SON G Bin1 TA N G Chenghong1 1 Shenzhen NARI Technologies Co Ltd Shenzhen 518057 China 2 Tangshan Power Supply Company Tangshan 063000 China Abstract In view of the coexistence of multiple control systems in wind power plant this paper introduces an integration of the wind motor control system and electric control system for wind power plants based on the OPC technique and the characteristics of SCADA system Thus the interconnection problem of multiple control systems is solved At the same time the issue on network security is discussed and some security strategies and measures are proposed Finally the advantages of this supervisory control scheme in the electric power system are also analyzed Key words wind power plant object linking and embedding for process control OPC supervisory control and data acquisition SCADA system network security 上接第50页 continued from page 50 Left2inversion Soft2sensing Method for the Directly Immeasurable Variables in the Synchronous Generator Z HA N G Kaif eng DA I Xianzhong MA Chao Z HA N G Ga Key Laboratory of Measurement and Control of CSE of Ministry of Education School of Automation Southeast University Nanjing 210096 China Abstract The problem of soft2sensing of directly immeasurable variables in the synchronous generator such as the power angle thedandqaxis transient electromotive forces thedandqaxis stator circuit currents is investigated Firstly the model of synchronous generator suitable for soft2sensing is proposed which includes the directly measurable variables of generator such as the active and reactive powers the amplitude of current etc The proposed model is a type of nonlinear differential2algebraic sub2systems Secondly aiming at the specialty of the proposed model an expanded left2inversion soft2 sensing algorithm is proposed for the soft2sensing of synchronous generator Then a left2inversion soft2sensor is designed considering the 42order transient practical model of synchronous generator and all directly immeasurable variables in the model can be soft2sensed Finally simulations are performed using MATLAB SimPowerSystems in which a 62order sub2transient practical model of generator is used and the results demonstrate the validity of the proposed method This work is supported by National Natural Science Foundation of China No 50507002 No 60574097 Key words power system soft2sense synchronous generator directly immeasurable variab