《线性代数B》模拟试卷六参考答案.doc

线性代数B模拟试卷六参考答案一、选择题（每题4分，共24分）1设，则中的系数为（ D ）。 (A) 12 ； (B) 2 ； (C) -2 ； (D) -12 。解：先将化为各行各列只有一项含有，然后再将这些含的项移到主对角线上即可求出的系数；所以的系数为：-12， 选（D）2关于矩阵的乘法，下列结论正确的是（ C ）。(A) 若且有两列，则有两列；(B) 若，则；(C) 若和都是矩阵，则和都有意义；(D) 若，则或。 提示：根据矩阵乘法的性质，选（C）3设均为阶方阵，则下列等式正确的是（ B ）。(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。 提示：根据方阵构成的行列式的性质，选（B）。4关于线性方程组，下列叙述正确的是（ A ）。(A) 如果一个方程组有两个不同的解，则它必然有无穷多解；(B) 如果增广矩阵可以通过初等行变换变成行最简形，则方程组有解； (C) 含个变量个方程的线性方程组至多只有个不同的解； (D) 如果方程组有两个不同的解，则也如此。 提示：根据线性方程组是否有解的判定，选（A）。5下列向量组中，（ C ）是线性无关的向量组。(A) ；(B) ；(C) ；(D) 。 提示：利用向量组的线性相关性的判定，可知选项（A）和选项（D）所含向量个数大于向量维数，故线性相关（也可求出其构成的矩阵的秩小于向量个数4）；选项（B），因为，故选项（B）中的向量也线性相关。从而选（C）6设为阶矩阵，是其伴随方阵，则下列命题不正确的是（ B ）(A) 若可逆，则也可逆；(B) 若的秩为，则的秩为；(C) ；(D) 若可逆，则。 提示：因为当时，故选（B） 二、填空题（每空4分，共24分）7设，则 - 10 ；解：8设，则 0 ；解：因为，而，所以（或者）9设方阵，则 ；解：因为为分快对角阵，而，所以10设，则矩阵的秩为 3 ；解法一：因为，所以解法二：因为所以矩阵可逆，故（可逆矩阵的秩等于其阶数）11设3阶方阵有特征值，则方阵有特征值 0 ；解：因为，令，因为有特征值，所以是的特征值。12设，则向量的夹角为 。解：因为，所以与正交，故的夹角为。三、计算下列各题（7小题，共52分）13计算行列式。（6分）解：14设阶行列式 ，为的余子式，计算 。(6分)解：15已知 ，求 A的逆矩阵。（6分）解法一：利用公式解法二：利用矩阵的初等变换：或者答案：16 设，且，求未知矩阵。 （6分）解：因为，所以矩阵、均可逆，且，从而17解方程组 （6分） 解：原方程组的系数矩阵为：所以原方程组的通解为：18问取何值时，线性方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多解时求出解。（12分）解法一：用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形矩阵，由此可知：（1）当时，, 方程组有唯一解；6分（2）当时，方程组无解；7分（3）当时，方程组有无穷多个解；8分将代入矩阵，并利用初等行变换将其化成行简化阶梯形矩阵， 10分即，令，得原方程组的通解为 （，） 12分解法二：原方程组的系数行列式为：（1）当，即时，, 方程组有唯一解；（2）当，即时，原方程组无解或有无穷多解；此时原方程组的增广矩阵为：当时，方程组无解；当时，方程组有无穷多个解；此时，令，得原方程组的通解为 （，）19设，求一正交矩阵，使得，其中为对角阵。（10分）解： 分令，得特征值，。分对